第5讲MATLAB多项式及插值

1、第5讲MATLAB多项式及插值第第5讲讲 MATLAB数据分析与多项式计算数据分析与多项式计算第5讲MATLAB多项式及插值5.1 数据统计处理数据统计处理5.1.1 最大值和最小值最大值和最小值 MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。1求向量的最大值和最小值求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：(1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。(2) y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。求向量X的最小值的

2、函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。第5讲MATLAB多项式及插值例5-1 求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量x中的最大值y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置第5讲MATLAB多项式及插值2求矩阵的最大值和最小值求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。(3) max(A,dim)：dim取1

3、或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。求最小值的函数是求最小值的函数是min，其用法和，其用法和max完全相同。完全相同。第5讲MATLAB多项式及插值例5-2 分别求34矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。第5讲MATLAB多项式及插值3两个向量或矩阵对应元素的比较两个向量或矩阵对应元素的比较 函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应

4、元素的较大者。(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。第5讲MATLAB多项式及插值例5-3 求两个23矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。第5讲MATLAB多项式及插值5.1.2 求和与求积求和与求积 数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一

5、个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。第5讲MATLAB多项式及插值例5-4 求矩阵A的每行元素，每列元素的乘积和全部元素的乘积。第5讲MATLAB多项式及插值5.1.3 平均值和中值平均值和中值 求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量X的算

6、术平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于median(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。第5讲MATLAB多项式及插值第5讲MATLAB多项式及插值5.1.4 排序排序 MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数

7、返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为： Y,I=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。第5讲MATLAB多项式及插值第5讲MATLAB多项式及插值1121nnnnyc xc xc xc1231()nnyc xc xc xc xc112()()()nyc xrxrxr5.2 多项式运算多项式运算1、多项式表示第5讲MATLAB多项式及插值幂系数:在MATLAB里，多项式用行向量表示，其元素为多项式的系数，并从左至右

8、按降幂排列。 例： 被表示为 p=2 1 4 5 poly2sym(p) ans = 2*x3+x2+4*x+5Roots: 多项式的零点可用命令roots求的。 例： r=roots(p) 得到 r = 0.2500 + 1.5612i 0.2500 - 1.5612i -1.0000 所有零点由一个列向量给出。32245yxxx第5讲MATLAB多项式及插值Poly: 由零点可得原始多项式的各系数，但可能相差一个常数倍。例：根据上例： poly(r) ans = 1.0000 0.5000 2.0000 2.5000注意：若存在重根，这种转换可能会降低精度。例： 舍入误差的影响，与计算精度

9、有关。665432(1)615201561yxxxxxxx第5讲MATLAB多项式及插值4323721yxxxx 如果xi是含有多个横坐标值的数组，则yi也为与xi长度相同的向量。 c=3,-7,2,1,1; xi=2.5,3; yi=polyval(c,xi)yi = 23.8125 76.0000第5讲MATLAB多项式及插值1、Lagrange插值方法介绍 对给定的n个插值点 及对应的函数值 ，利用n次Lagrange插值多项式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求的： MATLAB中没有直接实现拉格朗日算法的函数，我们已经介绍过该函数的书写：12,nx xx12,ny yy11(

10、 )()nnjkkjkjjkxxy xyxx第5讲MATLAB多项式及插值function y=lagrange (a,b,x)y=0;for i=1:length(a) l=1; for j=1:length(b) if j=i l=l; else l=l.*(x-a(j)/(a(i)-a(j); end end y=y+l*b(i);end11( )()nnjkkjkjj kxxy xyxx第5讲MATLAB多项式及插值11( )()nnjkkjkjj kxxy xyxx第5讲MATLAB多项式及插值21()1fxx第5讲MATLAB多项式及插值第5讲MATLAB多项式及插值功能 ： 一维

11、数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。 格式：yi = interp1(x,Y,xi,method) %用指定的算法计算插值： nearest：最近邻点插值，直接完成计算； linear：线性插值（缺省方式），直接完成计算； spline：三次样条函数插值。 cubic： 分段三次Hermite插值。 第5讲MATLAB多项式及插值t = 1900:10:1990;p = 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669. 150.697 179.323 203.212 226.505

12、 249.633;对应于美国从1900年到1990年的每10年的人口数，求1975年的人口。由此推断美国1900年到2000年每一年的人口数，并画出图形。与1阶拉格朗日算法比较：lagrand(1970 1980,203.212 226.505,1975)ans = 214.8585第5讲MATLAB多项式及插值推广到多个点计算： t = 1900:10:1990; p = 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669.150.697 179.323 203.212 226.505 249.633; x=1965 1975x = 1965 1975 y=inter

13、p1(t,p,x)y = 191.2675 214.8585lagrand(1960 1970,179.323 203.212,1965)ans = 191.2675lagrand(1970 1980,203.212 226.505,1975)ans = 214.8585第5讲MATLAB多项式及插值 x0=-1+2*0:10/10; y0=1./(1+25*x0.2); x=-1:.01:1; y=lagrange(x0,y0,x); % Lagrange 插值 ya=1./(1+25*x.2); plot(x,ya,x,y,:)第5讲MATLAB多项式及插值第5讲MATLAB多项式及插值

14、所谓数据拟合是求一个简单的函数,例如是一个低次多项式,不要求通过已知的这些点,而是要求在整体上“尽量好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,数据拟合就是从整体上使误差,尽量的小一些。第5讲MATLAB多项式及插值为已求出的曲线数据点设iiyx ,nnnnxcxcxcxcxg111100)(为待定系数kc下面我们练习一个具体例题 某种铝合金的含铝量为x%，其溶解温度为y摄氏度，由试验测得的x与y的数据表如下，试用最小二乘算法建立x,y的经验公式。第5讲MATLAB多项式及插值（1）根据所给出数据，画出图形，观察数据关系（2）通过图形，我们可以确定该曲线可以通过一次方程y=ax+b的形式

15、来进行拟合。可以确定，n=1，L=6。第5讲MATLAB多项式及插值（3）建立法方程组。616161261616iiiiiiiiiiiyxybaxxx3 .101176145828.283659 .3969 .3966ba带入具体数据 A=6 396.9; 396.9 28365.28; B=1458;101176.3; X=inv(A)*BX = 94.7479 2.2412 则 a=94.7479，b=2.2414拟合方程为y=94.7479 + 2.2414x第5讲MATLAB多项式及插值画出比较图形：x=36.9 46.7 63.7 77.8 84 87.5;y=181 197 235

16、 270 283 292;plot(x,y,x,y,o) hold on x1=35:5:90; y1=2.2412*x1+ 94.7479;plot(x1,y1,r)第5讲MATLAB多项式及插值其中，xy为原始样本点构成的向量 n为选定的多项式阶数 P为多项式系数（降幂排列）则上例采用命令求解： x=36.9 46.7 63.7 77.8 84 87.5; y=181 197 235 270 283 292; a=polyfit(x,y,1)a = 2.2337 95.3524第5讲MATLAB多项式及插值 x0=0:.1:1; y0=(x0.2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0); p3=polyfit(x0,y0,3); %先进行三次拟合p3