平面向量的数量积练习题含答案

平面向量的数量积练习题一、选择题21•已知|b|=3,a在b方向上的投影是3,则a・b为()TOC\o"1-5"\h\z「C.3D.22解析：由数量积的几何意义知所以a・.b=§X3=2.答案：D设向量a,b满足|a+b|=i；|fT0,|a—b|=、/6，则a•b=()A．1B．2C．3D．5解析：因为|a+b〔2=(a，+b)2=a_2+b2+2a・b=10,|a—b〔2=(a—b)2=a_2+b2—2a・b=6,两式相减得：4a・b=「4，所以a・b=1.答案：A已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a•b=1,则向量a与a—b的夹角为()解析：|a—b|=(a—b)2=\；a2+b2—2a・b=\；'3,设向量a与a—b的夹角aa・（a—b）cosn又ee[0，n],所以ep答案：A（2015•陕西卷）对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是（）A.|a•b|W|aJ|b|B.|a—b|W||aJ—|b||C.（a+b）2=|a+b〔2D.（a+b）・（a—b）=a2—b2解析：根据a・b=|a||b|cose,又coseWi,知|a・b|W|a||b|,A恒成立.当向量a和b方向不相同时，|a—b|>||a|—|b||,B不恒成立.根据|a+b〔2=a2+2a・b+b2=（a+b）2,C恒成立.根据向量的运算性质得（a+b）・（a—b）=a2—b2,D恒成立.答案：B若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,且（a+2b）・（a—3b）=—72,则a的模为（）A.2B.4A.2B.4C.6D.12解析：因为（a+2b）・（a—3b）=a2—a・b=6b2=|a〔2—|a|・|b|cos60°—6|b|2=r|a〔2—2|a|—96=—72,

所以|a|2—2|a|—24=0,所以|a|=6.答案：C解析：因为a〃b，所以4+2x=0,已知向量a=(1,—2),b=(x,4),且a〃解析：因为a〃b，所以4+2x=0,所以x=—2,a—b=(l,—2)—(—2,4)=(3,—6),所以|a—b|=3“J5.答案：B(2015•杭州模拟)如图，在圆0中，若弦AB=3,弦AC=5,则AO・BC的值是()A.—8B.—lC.lD.8［答案］D［解析］取BC的中点D,连接AD、0D,则有0D丄BC,AD=|(AB+AC),BC=AC—AB,AO・BC=(AD+DO)・BC=AD・BC+DO・BC=AD・bC=1(AB+AC)・(AC—AB)乙

=1=2(AC2—AB2)=2x(52—32)=8，选D.8．(2015•福建卷)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.右b丄c,则实数k的值等于()A．35——B——2B3解木斤：c=a+kb=(1+k,2+k)，又b丄c,所3久1X(1+k)+1X(2+k)=0,解得k=—》.答案：A9.已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(l,2)、B(4,l)、C(O,—1),则厶ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确解析：AC=(—1,—3),AB=(3,—1).因为AC•AB=—3+3=0,所以AC丄AB.又因为|IC|=\元，|両=\冗,所以AC=AB.所以AABC为等腰直角三角形.答案：C10•点0是厶ABC所在平面上一点，且满足OA•OB=OB-OC=OA-OC，则点0是厶ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心解析：因为0A・0B=0B・0C,所以0B^(0A-0C)=0,即0B・CA=o,则0B丄C!「同理0A丄BC,0C丄AB.所以0是厶ABC的垂心.答案：B11•在△ABC所在的平面内有一点P,满足PA+PB+PC=AB，则△PBC与厶ABC的面积之比是()解析：由fA+PB+PC=AB,得PA+ra+BA+PC=o,即pc=2Ap,所以点P是CA边上的三等分点，如图所示.SPC2故△PBC———故SAC3*△ABC答案：C12・0是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(PB-PC)-(OB+OC)二(PC-PA)-(OA+OC)=°，则0为AABC的()一内心一一氏外心一C.重心p•垂心解析：因为(PB—PC)・(OB+OC)—O,贝lJ(OB—OC)・(OB+OC)=O,所以OB2—OC2=0,所以|OB|=|OC|.同理可得|OA|=|Oc|,即p|Oa|=|OB|=|Oc|.所以。为厶ABC的外心・「答案：B二、填空题13•如图所示,△ABC中ZC=90。且AC=BC=4,点M满足bm=3ma，则cm-cb=解析：CM•CB=CA+fAB•CB=-AB•CB=4（CB—CA）・CB=-CB2=4.k4丿444答案：414•如图所示，已知点A（1,1）,单位圆上半部分上的点B满足OA•OB=0，则向量OB的坐标为．解析：设B（x，y），y>0，xx=X2+y2=l,x+X2+y2=l,x+y=O,<所以OB=[—¥，答案：15•在△ABC中，bc=a,ca=b,ab=c，且满足：|a|=l,|b|=2,|c|=ij3,贝Ua•b+b•c+c•a的值为•解析：在厶ABC中，因为|a|=1,|b|=2,|c|=\：3.所以△ABC为直角三角形，且BC丄BA，以BA,BC为x,y轴建立坐标系，^UB(O,0),AQ3,0),C(0,1),所以a=BC=(0,1),b=CA=(\/3,—1),c=AB=(—-3,0)・所以a・b+b・c+a・c=—1—3+0=—4・答案：—416•在△ABC中，已知|ab|=|ac|=4,且ab.ac=8,则这个三角形的形状是解析：因为AB•AC=4X4・cosA=8,1n所以cosA=2所以ZA=$,所以△ABC是正三角形.答案：正三角形三、解答题已知向量a=(2,0),b=(l,4).⑴求|a+b|的值；(2)若向量ka+b与a+2b平行，求k的值；⑶若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角，求k的取值范围.解：(1)因为a=(2,0),b=(1,4).,所以a+b=(3,4),贝川a+b|=5.因为a=(2,0),b=(1,4),所以ka+b=(2k+1,4),”a+2b=(”4,8)；因为向量ka+b与a+2b平行，所以8(2k+1)=16，则k=|.„因为a=(2,0),b=(1,4),所以ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8)；因为向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，4（2k＋1）＋32>0，所以］91解得k>_2或k^2-如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求AAEM的面积.解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N,则N是AM的中点，又正方形边长为8,所以M（8，4），N（4，2）．设点E(e,0),则AM=(8,4),AN=(4,2),AE=(e,0),EN=(4—e,2),由AM丄EN得AM・EN=o,即(8,4)・(4—e,2)=0,解得e=5,即|AE|=5.Iff1所以S=-|AE||BM|=X5X4=10.△AEM2219•设向量a,b满足|a|=|b|=l,|3a—b|=../5.(1)求|a+3b|的值；(2)求3a—b与a＋3b夹角的正弦值．解：⑴由|3a—b|=、J5，得(3a—b)2=5,所以9a2—6a*b+b2=5.

因为a2=|a〔2=l,b2=|b2〔=l.所以9—6a・b+l=5.5所以a・b=6.所以（a+3b）2=a2+6a・b+9b2=1+6X3X1＋8X+9X1=15.3X1＋8X所以|a+3b|=*'T5.⑵设3a—b与a+3b的夹角为9.因为（3a—b）・（a+3b）=3a2+8a・b—3b2=203X1P20所以cos（3a—b）・（a+3b）所以cos~|3a—b||a+3b|~因为0°W9W180°,所以sin9=0S9=J—呼卜芈.所以3a—b与a+3b夹角的正弦值为罟^f2~CPf2~CP=3CD=-3所以AP・BP=(AD+DP)・(BC+CP)=在四边形ABCD中，已知AB=9,BC=6,CP=2PD.(1)若四边形ABCD是矩形，求AP・BP的值；⑵若四边形ABCD是平行四边形，且AP・BP=6，求AB与AD夹角的余弦值.解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD・DC=0.—>—>—>—>由CP=2PD，得DPpDC，五一3五一3乔・Dc-|dC2=362-X81=18.9(f1f(f2fAD+3DC•AD—DC3k3丿k3丿—>—>—>—>—>—>—>(2)由题意，AP=AD+DP=AD+3DC=AD+3AB,fffffffbp=bc+cp=bc+3cd=ad-3ab,f(f(f2f•BP=AD+石AB•AD—AB3k。丿k3丿所以APffffffffAD2—3AB•AD—|AB2=36—3AB•AD—18=18—3AB•rAD.

又AP•BP=6，所以18—§AB•AD=6,所以AB•AD=36.又AB・AD=|AB|・|AD|cos9=9X6Xcose=54cos9,2所以54cos9=36，即cos9=-.ff2所以AB与AD夹角的余弦值为3.(2015•济宁模拟)已知向量a=(cos9,sin9),9u[o,n],向量b=(护,—1).(1)若a丄b,求9的值；(2)若|2a—b|〈m恒成立，求实数m的取值范围.[解析](1)Ta丄b'/.^cose—sinOhO,n得tan9=\：'3,又9u[0,n],=石.⑵*.*2a—b=(2cos9—马3,2sin9+1),/.|2a—b12=(2cos9—^'3)2+(2sin9+1)2=8+8(2sin92cos9=8+8(2sin92cos9)=8+8sin(9—石),nn2又9u[0,n],.・.9—严[—亍尹],.•.sin(O—•)u[2,1],.•.sin(O—•)u[2,1],・・.|2a—b|2的最大值为16.・・.|2a—b|的最大值为4.又|2a—b|<m恒成立.m>4.(本题满分12分)(2015•厦门模拟)已知向量a=(cosa,sina),b=(cosx,sinx),C=(sinx+2sina,cosx+2cosa),其中0<a<x<n.n-若a=才，求函数f(x)=b•c的最小值及相应的x的值；n若a与b的夹角为石，且a丄c，求tan2a的值.［解析］n*.*b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sina,cosx+2cosa),a=了f(x)=b・c=cosxsinx+2cosxsina+sinxcosx+2sinxcosa=2sinxcosx+“J2(sinx+cosx).

TOC\o"1-5"\h\zni—令t=sinx+cosx(忑〈x〈n)，则t丘(一1,且2sinxcosx^t21.123y=t+\：2t一1=(t+~^)2—2，tu(—1,\；2).当t=—3…,y[2当t=—，ymi=—2,此时sinx+cosx=一亍即冷2sin(x~~)=,''2,即冷2sin(x~~)=亍sin(x+_4)=