异面直线所成的角课件

两异面直线所成的角和距离高中数学立体几何两异面直线高中数学立体几何

不在同一平面内共面空间的两条直线的位置关系有：相交、平行、异面两条都是平行直线，但是它们之间有什么区别？“定量”研究平行线，必须引入“距离”的概念不在同一平面内共面空间的两条直线的位置关系有：相交、abca与b是相交直线，a与c也是相交直线，它们之间又有什么区别？“定量”研究相交直线，必须引入“角”的概念abca与b是相交直线，a与c也是相交直线，它们之间又有什么直线a与b，直线a与c,都是异面直线，它们有什么区别？aMbc直线a与b，直线a与c,都是异面直线，它们有什么区别？NaMbcd直线a与b，直线a与c,直线a与d

都是异面直线，它们有什么区别？NaMbcd直线a与b，直线a与c,直线a与d异面直线所成的角的定义aMba1b1

直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1异面直线所成的角的定义aMba1b1直线a,b是异aMba1b1o.a2b2o1.O是空间中的任意一点所成的锐角是否相等？

点o常取在两条异面直线中的一条上aMba1b1o.a2b2o1.O是空间中的任意一点所成的锐aMbo点o常取在两条异面直线中的一条上

相交直线所成角的大小，就是异面直线所成角的大小相交直线a,b所成的角？异面直线所成的角？异面直线所成的角的范围？00°﹤90°≤aMbo点o常取在两条异面直线中的一条上相交直线例正方体ABCD-A1B1C1D1，求：①A1B与CC1所成的角是多少度？②A1B1与CC1所成的角是多少度？③A1C1与BC所成的角是多少度？A1ABB1CDC1D1“垂直”“相交垂直”“异面垂直”④在正方体ABCD-A1B1C1D1棱中，与棱B1B垂直的棱有几条？=+例正方体ABCD-A1B1C1D1，求：A1ABB1CDC1课堂练习如图所示．在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中：（１）哪些棱所在直线与直线ＡＡ１成异面直线且互相垂直？（２）已知ＡＢ＝√３，ＡＡ１＝１，求异面直线ＢＡ１与ＣＣ１所成角的度数．ABCDA１B１C１D１111课堂练习如图所示．在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中：AB★求角的步骤：1.作图；2.证明；3.计算（解三角形）.求异面直线所成角的步骤有哪些？想一想即一作二证三计算★求角的步骤：1.作图；2.证明；求异面直线所成角的步骤有异面直线所成的角课件异面直线所成的角课件正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO练习1900A1B1C1D1ABCDO练习1900在正四面体S-ABC中，SA⊥BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900练习2B在正四面体S-ABC中，SA⊥BC,E,F分别为SCSABEFCDG练习2（解法二）SABEFCDG练习2（解法二）变式:空间四边形ABCD中,E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BC=AD=2EF，求直线EF与直线AD所成的角。ＡＢＣＤＥ·ＦＧ··变式:空间四边形ABCD中,E、F分别是对角线BD、AC的中例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2c于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，解：为什么？O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为

如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F，解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，三、解答题已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取AB的中点E,连BE,有BE∥A1M取CC1的中点G,连BG.有BG∥C1N则∠EBG即为所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF则∠FNC为所求角。想一想：还有其它定角的方法吗？在△EBG中三、解答题已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,小结

（１）两条异面直线所成的角是转化为“平面角”来研究的，这是“空间问题”化为平面问题“的基本思路．（２）求两条异面直线所成角的方法：a.平移相交作出角θ；b.构造含θ的三角形；c.解三角形．小结

（１）两条异面直线所成的角是转化为“平面角”来研究的，说明：异面直线所成角的范围是（0，]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。

说明：异面直线所成角的范围是（0，]，在把异面直线

如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组异面直线所成的角课件两异面直线所成的角和距离高中数学立体几何两异面直线高中数学立体几何

不在同一平面内共面空间的两条直线的位置关系有：相交、平行、异面两条都是平行直线，但是它们之间有什么区别？“定量”研究平行线，必须引入“距离”的概念不在同一平面内共面空间的两条直线的位置关系有：相交、abca与b是相交直线，a与c也是相交直线，它们之间又有什么区别？“定量”研究相交直线，必须引入“角”的概念abca与b是相交直线，a与c也是相交直线，它们之间又有什么直线a与b，直线a与c,都是异面直线，它们有什么区别？aMbc直线a与b，直线a与c,都是异面直线，它们有什么区别？NaMbcd直线a与b，直线a与c,直线a与d

都是异面直线，它们有什么区别？NaMbcd直线a与b，直线a与c,直线a与d异面直线所成的角的定义aMba1b1

直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1∥a,b1∥b,我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1异面直线所成的角的定义aMba1b1直线a,b是异aMba1b1o.a2b2o1.O是空间中的任意一点所成的锐角是否相等？

点o常取在两条异面直线中的一条上aMba1b1o.a2b2o1.O是空间中的任意一点所成的锐aMbo点o常取在两条异面直线中的一条上

相交直线所成角的大小，就是异面直线所成角的大小相交直线a,b所成的角？异面直线所成的角？异面直线所成的角的范围？00°﹤90°≤aMbo点o常取在两条异面直线中的一条上相交直线例正方体ABCD-A1B1C1D1，求：①A1B与CC1所成的角是多少度？②A1B1与CC1所成的角是多少度？③A1C1与BC所成的角是多少度？A1ABB1CDC1D1“垂直”“相交垂直”“异面垂直”④在正方体ABCD-A1B1C1D1棱中，与棱B1B垂直的棱有几条？=+例正方体ABCD-A1B1C1D1，求：A1ABB1CDC1课堂练习如图所示．在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中：（１）哪些棱所在直线与直线ＡＡ１成异面直线且互相垂直？（２）已知ＡＢ＝√３，ＡＡ１＝１，求异面直线ＢＡ１与ＣＣ１所成角的度数．ABCDA１B１C１D１111课堂练习如图所示．在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中：AB★求角的步骤：1.作图；2.证明；3.计算（解三角形）.求异面直线所成角的步骤有哪些？想一想即一作二证三计算★求角的步骤：1.作图；2.证明；求异面直线所成角的步骤有异面直线所成的角课件异面直线所成的角课件正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO练习1900A1B1C1D1ABCDO练习1900在正四面体S-ABC中，SA⊥BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900练习2B在正四面体S-ABC中，SA⊥BC,E,F分别为SCSABEFCDG练习2（解法二）SABEFCDG练习2（解法二）变式:空间四边形ABCD中,E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BC=AD=2EF，求直线EF与直线AD所成的角。ＡＢＣＤＥ·ＦＧ··变式:空间四边形ABCD中,E、F分别是对角线BD、AC的中例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2c于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，解：为什么？O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为

如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F，解法二：方法归纳：补