名师系列双绝对值问题的新认识

名师系列双绝对值问题的新认识男，中学一级教师，研究方向：初等数学，绍兴鲁迅中学任教，柯桥区百名优秀青年教师，在《中学数学杂志》，《中学数学教学》，《数学教学通讯》《数学通讯》等期刊发表多篇论文。一、文章摘要浙江高考、学考对绝对值函数的考查素来情有独钟，热度可谓持续不减。绝对值的应用本身就是一个重要的数学概念，众多文献资料对绝对值问题的处理方法列举颇多，层出不穷，本文从另外的视角，

对双绝对值问题带来新的认识。二、试题呈现2018年8月浙江20校联考填空题压轴题（第17题）笔者在阅卷的过程中，发现得分率几乎为零。在与学生的交流中发现，此题对学生而言，有一种最熟悉的陌生人的感觉。熟悉的是题目条件又是绝对值形式，问题也是熟悉的最值嵌套问题，陌生的则是此题该如何下手，如何成功地破解题中的双绝对值。三、常规解法这道题主要考查的是双绝对值函数最值的求解，考验学生的阅读理解能力，转化能力，对绝对值不等式的理解与应用的能力。下面笔者先谈谈这个试题的常规解法：如何处理这两个绝对值呢，有以下的三种视角：视角一：利用绝对值三角不等式解法1：由二次函数的性质可知,|6-I-a+*j同理卜工-志十口-=max故二max所以如』｛+应+4-|6所以如』｛+应+4-|6+fl+Z»|+孑+0+16+。+』+］：卜&—8—（6+a—占）二马视角二：以形助数，利用图像处理绝对值函数值域

下面把a+b与口看成整体，作为变量，分别画出函数图像，如下图j./士切ii_25解法2:同前『山（口,&）=max】6十度+牛^a-b4视角三：利用绝对值的几何意义TOC\o"1-5"\h\z|o+>o解法3：㈤二二J1件+日口+叩"+"3+6）芝o玷（令，二矽+3!，6）⑴；二{「1牛（子+时（心酊<0阳*疗—乩（饥攻zl6）（2）.L4--1、6这一区间上一动点/与定点（。+用两点间距离的最大值6--的矗小值r显然为一-2对于（2）式：数轴上这一区间上一动点1与定点（。-下面把a+b与口看成整体，作为变量，分别画出函数图像，如下图j./士切ii_25解法2:同前『山（口,&）=max】6十度+牛^a-b4视角三：利用绝对值的几何意义-1对于（2）式：数轴上■“点评：以'上三种方法应该说是解决绝对值函数问题最基本的手段,三种方法核心之处在于都用了一个重要恒等式|a|+|b|二max{|a+b|,|a-b|},其本质是把两个绝对值问题转化为一个绝对值问题进行研究，自然可以从绝对值函数图象与值域，绝对值三角不等式，以及绝对值的几何意义等方面思考，水到聚成。

四、新的解法如前解法，我们习惯于利用降维的思想，将两个绝对值减为一个绝对值，其实两个绝对值之和结构本身也具有良好的几何意义。笔者仍从三个不同的几何视角给出新的认识。视角四：我们知道在线性规划里|x|+|y|=1是一个对角线长度为2的正方形，那么|x|+|y|=k呢？显然可以当成对角线长度为2k的，并随着k的变化可以缩放的正方形。解法4:/(x)=x2-+=|y-(-i7)|+|x(记v=x2.tg[-2t2])则点(W)的轨迹可以视为以(-)为对称中心,对称轴垂直于坐标轴的正方形内部[含边界)*随着财的变化.正方形的大小变化曜故题意即为画一个正方形r要求抛物线v=x\xe[-Z2]完全包裹在正方形内.如图是临界状态「易知尸9)=》十6tPS:v=一力'十6,OR.v-x--』SR:v=-x~-—4，4il-kDrl-「、斗Ici口门JL_n同样的方法我们可以巧妙而快速地解决2017年浙江金华十校模拟卷中的填空压轴题，如下：ikkD；+—J已知/=由如9+阮0御+|膈曲一白。0如一1|的最大值为ikkD；+—J已知/=由如9+阮0御+|膈曲一白。0如一1|的最大值为11,求cr+b~的值解;令折==5in9+Acos8,th=Z?sni8-acosO]w|+|v-l|=Z,随着Z的变大,正方形逐斯变大当正方形边界与圆相切时「取得乙娜=11已知&档是实数，对任意的最大值为所以ksm.r已知&档是实数，对任意的最大值为所以ksm.r+5|=如下图所示，作出可行域为菱形A8CD,解:令口士38=令/二|治|+同「其表示的区域为如图所示的正方形EFGH,故可知当正方形经过视角五：两个绝对值之和除了几何意义可以表示为四边形外，还有什么其他意义呢？其实在现实生活中也有它的背景-----曼哈顿距离i

曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼・闵可夫斯基所创词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和”曼哈顿的街道纵横交错（如图）-若要从」地经过C1地到达方地，行走的最短距离显然是pCj+pCj.在Rt^ACB中，我们用|』Cj+|BC|来表示且5间的折线距离，这种表示法就是著名的曼哈顿距离，又称为出租车儿何。如圈』我们也可以发现三种线型的不同路径（L2.3）都对应.按的曼哈顿距离.数学表示如下：点J（xL,1；）与点BG%当）之间的曼哈顿距离为:刁（刁伊）二|叫一沔+卜一巧|解法5:/（3，）=卜」_（一席）|+卜一（一方）=X2+这个目标函数式可以理解为点P（Z）与点Mg）之间的惺哈顿距离"/膈=|」w|+gv|I如图』显然由对祢性「当Mg在融上F即迅（0,町时.廿心取得最大值的最小值，即久瘁二|捉_"十》注意到点觇（膈）伽#。）与点刊以好）（0*矣）都可以运动」那么我们不妨先让点（I）若0<f即。服W时rdg=yfir（即点P自<9（00）运动到*（而刃点时心蜘最大）（ii）若,即时，戒竦="：（即点P运动到则'!：）点时心吨最大）所以结合（一）可得结论畔点崎（软）在皿Q）与（0」之间时），（小/=—s=6—遂点评：本解法将目标式子视为〃曼哈顿距离〃的视角非常精巧,后面两动问题的处理也顺理成章，但分类讨论的能力要求较高。如果只是填空题，不少学生和老师会直接取临界状态，虽然少了解法中的严格说明过程，但也不失为一种巧解。其实“曼哈顿距离”在高考中出现很多次，甚至可以有更多的形态，包含了很多变形与创造，形如2014江西高考理科第11题。对任意弟jy7?」尤-1|+闵+侦-1|+|#+1|的最小值为（）A.lB・2C.3D.4解：此题即求平面内动点P（x.y）到两个定点.4（0,-1）,^（J.J）间垂直于坐标轴的方向的

而2014年的浙江高考理科第10题，〃曼哈顿距离”若隐若现。设函数fi（x）=x2,f1（x）=2（x-x2）r£（对二?|血2淮|『纬二法J=0.1,2.…99.记4=|&（务）一£皿）1+1兀（％）—兀（妃I…尤（皈）1"二】-村，则（）A匕<孔<■心B*72<ZL<孔C.</2D.月<,/2<看解：不妨取一个区间王E[0.1],显然|码—％+的-丹…+|&-点蠲|=1目桁。进行变形,即4W/iSJ-方（为）+i/iw）-肩m…+成0网）-儿（唱）1=I/（%）_/（%）+一4（口£）-.从舟）""+.4（。国）二4（%8）1+I。】一％I+屈一角I…+1"网一改T问题的实质表不质点从原也出发.沿函数图像（阁二）到认点00）,相邻两个点％与舟_1之间的“景哈顿距商"之和,由于水平方向所走的路程均为L故只需比较竖直方向上所走路程之和大小的问题，如图得：rIrrI1r-，Innii官…ci4■视角六：分拆函数，V型函数开路的图象恒在为=就-IE（国-顼）的下方的大致圈象ry2=M-1*的图象恒在为=就-IE（国-顼）的下方的大致圈象ry2=M-1*+科是如图1,随便画一个M一个开口向下的V字图，其中尖角的点在」（-瓦以殍E牛m应"EL_n从瓦7洎即|疔+寸WMW+耳在应司一2一?]上恒成立/+4+k+&杉H在应司一2疽]上恒成立（由图可以解释，如图当点在如图点且处，V字图可以先向左平移f再向下平移』尖甬到达点g处时，红色的v字匿|到达临界状态）故题目简化为|/-卜|在xe[-2,2]上恒成立,求H的31小值接着让日变化，显然当点。越来越高，点DE越来越低时，红色的V字图还可以继续下移『函IJ如图2的临界状态此时y^a-x-=>i'=-2x=1^xf=--r故0I-.iX.__又D(-LE)所以小'…点评：本解法是用动静分离的手段，将不等关系转化为两个函数图象的位置问题。尤其是两动问题，〃一定一动，先定后动，逐步调整'’的原则更是重要。五、解后反思新的视角呈现的三种解法，也是对两个绝对值处理的一种新的理解。从此题的探究过程中，我们有这样的认识，双绝对值直接理解就是两个点之间的曼哈顿距离，若是换一个视角那么双绝对值的几何意义可以认同为正方形的对角线长度。我们在解题中若是从不同视角多样化处理，那么我们的问题会变得层次分明，更有意思，我们学习数学的兴趣也会被更好地激发。浙江高考《考试说明》明确指出高考试题对学生的个性品质提出了要求。何谓个性品质？个性品质是指学生个体的情感，态度和价值观，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学