上海市嘉定区外国语学校2023届高一数学第一学期期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．若，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.2．已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.3．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知点P(cosα，sinα)，Q(cosβ，sinβ)，则的最大值是()A. B.2C.4 D.5．已知向量，，则在方向上的投影为A. B.8C. D.6．下列每组函数是同一函数的是（）A. B.C. D.7．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为A. B.1C. D.8．设，表示两条直线，，表示两个平面，则下列命题正确的是A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则9．已知函数是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为A. B.C. D.10．直线与圆交点的个数为A.2个 B.1个C.0个 D.不确定11．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）A. B.C.2 D.412．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使弧AB的长为m，那么圆心角_________．（用弧度表示）14．函数的值域是____.15．设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是_____.16．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数，.（1）若的定义域为，求实数的取值范围；（2）若，函数为奇函数，且对任意，存在，使得，求实数的取值范围.18．已知函数.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）若函数，求函数零点.19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是的中点（1）求证:（2）若，求证:平面平面20．已知函数（1）用函数奇偶性的定义证明是奇函数；（2）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；（3）解不等式21．已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的对称轴和对称中心；（3）若，，求的值22．已知向量，，设函数Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间；Ⅱ求函数在区间的最大值和最小值

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】根据不等式的性质，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：因为，所以，因为，所以，故A错误；对于B：因为，所以，且，所以，故B错误；对于C：因为，所以，又，所以，故C正确；对于D：因为，，所以，所以，故D错误.故选：C2、B【解析】可知分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可【详解】可知函数在R上单调递增，所以；对称轴，即；临界点处，即；综上所述：故选：B3、C【解析】分，，作与的图象分析可得.【详解】当时，由函数与的图象可知不满足题意；当时，函数单调递减，由图知，要使对恒成立，只需满足，得.故选：C注意事项：

用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

本卷共9题，共60分.4、B【解析】,则,则的最大值是2,故选B.5、D【解析】依题意有投影为.6、C【解析】依次判断每组函数的定义域和对应法则是否相同，可得选项.【详解】A．的定义域为，的定义城为，定义域不同，故A错误；B．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故B错误；C．与的定义域都为，，对应法则相同，故C正确；D．的定义域为，的定义域为，定义域不同，故D错误；故选：C【点睛】易错点睛：本题考查判断两个函数是否是同一函数，判断时，注意考虑函数的定义域和对应法则是否完全相同，属于基础题.7、D【解析】因为，所以设弦长为，则，即.考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.8、D【解析】对选项进行一一判断，选项D为面面垂直判定定理.【详解】对A，与可能异面，故A错；对B，可能在平面内；对C，与平面可能平行，故C错；对D，面面垂直判定定理，故选D.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，判断一个命题为假命题，只要能举出反例即可.9、D【解析】本题首先可以根据函数是定义域为R的偶函数判断出函数的对称轴，然后通过在上单调递减判断出函数在上的单调性，最后根据即可列出不等式并解出答案【详解】因为函数是定义域为R的偶函数，所以函数关于轴对称，即函数关于对称，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，因为，所以到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即，，化简可得，，解得，故选D【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性的相关性质，若函数是偶函数，则函数关于轴对称且轴左右两侧单调性相反，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想与化归思想，是中档题10、A【解析】化为点斜式：，显然直线过定点，且定点在圆内∴直线与圆相交，故选A11、D【解析】根据图象求得正确答案.【详解】由图象可知.故选：D12、D【解析】要保证函数在R上单调递减，需使得和都为减函数，且x=1处函数值满足,由此解得答案.【详解】由函数在R上单调递减，可得，解得，故选：D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】由弧长公式变形可得：，代入计算即可.【详解】解：由题意可知：（弧度）.故答案为：.14、##【解析】由余弦函数的有界性求解即可【详解】因为，所以，所以，故函数的值域为，故答案为：15、2【解析】设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，由弧度制下扇形的弧长与面积计算公式可得，，解得半径r=2，圆心角的弧度数，所以答案为2考点：弧度制下扇形的弧长与面积计算公式16、【解析】设扇形的半径和弧长分别为，由题设可得，则扇形圆心角所对的弧度数是，应填答案三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）由函数的定义域为，得到恒成立，即恒成立，分类讨论，即可求解.（2）根据题意，转化为，利用单调性的定义，得到在R上单调递增，求得，得出恒成立，得出恒成立，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由函数定义域为，即恒成立，即恒成立，当时，恒成立，因为，所以，即；当时，显然成立；当时，恒成立，因为，所以，综上可得，实数的取值范围.（2）由对任意，存在，使得，可得，设，因为，所以，同理可得，所以，所以，可得，即，所以在R上单调递增，所以，则，即恒成立，因为，所以恒成立，当时，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得，所以；当时，显然成立；当时，恒成立，没有最大值，不合题意，综上，实数的取值范围.【点睛】利用函数求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.18、(1)(2)为奇函数（3）【解析】（1）要使函数有意义，必须满足，从而得到定义域；（2）利用奇偶性定义判断奇偶性；（3）函数的零点即方程的根.即的根，又为奇函数，所以.易证：在定义域上为增函数，∴由得，从而解得函数的零点.试题解析：（1）要使函数有意义，必须满足，∴，因此，的定义域为.（2）函数为奇函数.∵的定义域为，对内的任意有：，所以，为奇函数.（3）函数的零点即方程的根.即的根，又为奇函数，所以.任取，且，∵，∴，∴∵且，∴，∴，∴，∴，即，∴在定义域上为增函数，∴由得解得或，验证当时，不符合题意，当时，符合题意，所以函数的零点为.点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.19、（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）可根据为等腰三角形得到，再根据平面平面可以得到平面，故.（2）因及是中点，从而有，再根据平面得到，从而平面，故平面平面.详解：（1）证明:因为，点是棱的中点，所以，平面.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）证明:因为，点是的中点，所以.由（1）可得，又因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面点睛：线线垂直的证明，可归结为线面垂直，也可以转化到平面中的某两条直线的垂直问题，而面面垂直的证明，可转化为线面垂直问题，也转化为证明二面角为直二面角.20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）先求出函数定义域，证明即可；（2）根据函数单调性的定义域，作差、定号即可证明函数单调性；（3）将原不等式转化为二次不等式求解即可.【小问1详解】证明：由函数的解析式，得其定义域为，又因为故是奇函数.【小问2详解】证明：任取，，则==，因为，，所以，，所以，综上所述，对任意都有，所以，在区间上是增函数.【小问3详解】因为，所以等价于，当时，，解得；当时，，解得；所以，不等式的解集为.21、（1）；（2），；（3）【解析】（1）利用三角函数的恒等变换，对函数的表达式进行化简，进而可以求出周期；（2）利用正弦函数对称轴与对称中心的性质，可以求出函数的对称轴和对称中心；（3）利用题中给的关系式可以求出和，然后将展开求值即可【详解】（1）.所以函数的最小正周期.（2）由于，令，，得，故函数的对称轴为.令，，得，故函数的对称中心为.（3）因为，所以,即，因为，所以，则，，所以.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期、对称轴、对称中心，及利用函数的关系式求值，属于中档题22、(Ⅰ)最小正周期是，增区间为，；(Ⅱ)最大值为5，最小值为4【解析】Ⅰ根据向量数量积，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期，利用正弦函数的单调性