教程数学公式

一、基础代数公

（a＋b）×（a－b）＝a2－b2（a±b）2＝a2±2ab＋b2（a±b）3=（a±b）(a2am×an＝am＋n（m、n同底数幂相除：am÷an＝am－n（m、na-

1（a≠0，pa

＝(a1an)2

2

n(n-（3）n＝ana1da,A,bm+n=k+i，则：am+an=ak+ai（其中：n，a1为首项，an为末项，d，sn为等差数列前n （1）a＝a ·（2）sn＝ （q1）1a,G,bm+n=k+i，则：am·an=ak·aiam-an=(m-am＝q(m-an（其中：n，a1为首项，an为末项，q，sn为等比数列前n bb b2

bb b2

（b2-4ac根与系数的关系a二、基础几何公

a180°；内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等形的三个顶点的距离相等直角三角形：9030°；直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：a、bc若c2＝a2＋b2，则以a、b、c长方形＝长×宽；三角形＝12（梯（2圆 ＝平行四边形＝扇

正方体＝6×球的表面积＝4圆柱体＝底面积×高圆 ＝3

＝43设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有d﹤r：点在圆内（即圆的是到圆心的距离小于半径的点的集合d＝r：点在圆上（即圆上部分是到圆心的距离等于半径的点的集合如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么直线l与⊙O相交直线l与⊙O相切直线l与⊙O相离：d﹥r；设两圆半径分别为Rr，圆心d，那dRrdRr两圆相交： rdRr（RrdRr（RrdRr（RrC＝2πR＝πd（其中R为圆半径，d n的圆心角所对的弧长ll＝nR

＝n2扇扇

＝1l扇2扇若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧＝πrl圆锥的体积：V＝3

Sh＝3

πr2h三、其他常用知5X6X56，x对任意两数a、b，如果a－b＞0a＞b；如果a－b＜0a＜b；如果－b＝0，则a＝ba、ba/b＞1，a＞b；a/b＜1，a＜b；如果a/b＝1，a＝b。a、ba/b＞1，a＜b；a/b＜1，a＞b；如果a/b＝1，a＝b。a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C，如果a＞C，且C＞b，则我们说a＞b1。实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数最外层人数＝（310（10－3）×3×4＝84（利润＝销售价（卖出价）－成 销售价＝成本×（1＋利润率；成本利息＝

销售价月利率×12=解：用月利率求。3=12×3=362400×（1+10．2％×36）=2400×1．3672=3281．28（元n排列数公式：Pm＝n（n－1（n－2）…（n－m＋1（m≤n）n＝1 “装错信封”问题问题：关键 差不变几年 ＝大 差÷倍数差－几年 ＝ －大小差÷倍数日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：、、、、、、 天，4、6、9、11是30天，闰年时候2月份29天，平年2月份是28线形植树：棵数＝总长间隔环形植树：棵数＝总长楼间植树：棵数＝总长间隔剪绳问题：对折NM（2N×M＋1）鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数（）不合格品数＝（1）÷（每只合格品得1510003525（4×1000-（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）两次都有盈 （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人两次都是亏 （大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个 人10×8-9=80-9=71（个 桃平均速度：平均速度

v1追及：路程÷速度差＝逆水速度＝列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）S＝3a-b（千米601追及2244180o22A＋B=AB+AA+B+C=ABC+AB+AC+BC-ABABC＝E原有草量＝（牛数－每天长草量）×四、某些数列的前n 一、容斥原理（关键就两个公式中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是()A.22B.18C.28解析：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28A∩B=A+B-A∪B=50-28=22A。【例题2】向100人前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看8频道，11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人？100-85=15人。【例题】某次考试由30到判断题，每作对一道题得4分，做错一题倒扣2分，小周共得96分，问他做错了多少道题？A.12 方法一：假设在做题时前面24道题都做对了,这时他应该得到96分,后面还有6则,2道题,4道题即可,4道,26道4分,2分,6分120分,96分,24分,24÷6=4即可得到做错的题,所以B。7530分钟。李大爷步行到第几棵数时就开始往回走？A.32棵B.32棵C.32棵D.第32棵1571470.5530个棵距，所以答案为B33323352832+28=60【例题2】为了把2008年奥运会办成绿色奥运，各地都在加强环保，植树造6000427545396棵，则共有树苗：A.8500B.12500C.12596棵D.13000 -4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因为2条路共栽4排所以要减4)解得ⅹ=13000，即选择D。【例题】甲班和乙班共有160本，甲班的是乙班的3倍，甲班和乙班各有解析：设乙班的本数为1份，则甲班和乙班本书的合相当于乙班本数的4倍。160÷（3+1)=40(本)40×3=120(本)。【例1】(2008年市应届第14题)甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为是多少()A.20%B.20.6%C.21.2%D.21.4%一个非常复杂的过程，令很多人望而却步。然而，只要抓住了整个过程最为的结果【例1】(2006年市社招第21题)2某单位围墙外面的公路围成了边长为300米的正方9070米，那么经过()甲才能看到乙A.1640B.16C.15D.1440A图中每一个“格档”300米，如此可以将题目化为这样的问题“经过多长时间，甲、15分钟、16米其中，t是甲运动的时间，nA（1）3212（2）5412（3）6512只鸽子。（放法抽屉13210201233243212个苹果。由上可以得出：题号物体数量结果苹果322手帕542鸽子6521nn22个以上的306个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数5？306个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的5？（5）m＋l（1）3只鸽子飞进了2个，则总有1个中至少有几只鸽子？（答案：2只321个书架上至少放着几本书？（答案：2本321个邮筒投进了不止几封信？（答案：1封（4）1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有几只鸽子？（答案：1000÷50＝2020只）从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了几个苹果？（答案：17÷8＝2……1，2＋1＝33）至少拿了7个苹果？（答案：25÷□＝6……□，可见除数为4，余数为1，抽屉数为4，所以答4个）（1（2（4（5113个同学，那么至少有几人是同月出生？（）A13B.12C6D那么问题就变成：1312果和抽屉，用“1”】2302得有几人参赛？（）A30B.31C32D解2：，参赛总人数可作“苹果”，这里需要找“抽屉”，使找到的“抽屉”满足：总人3031种情况（030分，所以“苹果”366400400个苹果，366366（若两名学生是同4002（400÷366＝1……1，1＋1＝2）个苹果”2个学生，他们是同年同月同日出生的。（1）433333个“抽屉”3×3＋1＝10（根）4根筷子同色。537453737个苹果，1212个抽屉，由“2”知，“无论怎么4个苹果”37122本以上的书？分析：从问题“122本以上的书”我们想到，此话对应于“解6：将40个同学看作40个抽屉，书看作是苹果，由“抽屉原理1”知：要保证有一个抽屉中至少有2个苹果，苹果数应至少为40＋1＝41（个。即：小书架上至少要有41本书。 【例7（国家考试2004年B类第48题的珠子问题：有红、黄、蓝、白珠子各B．4C．57：把珠子当成“苹果”10个，则珠子的颜色可以当作“抽屉”珠子之后，所有“抽屉”1个，则一定有一个“抽屉”2颗，2颗珠子颜色一样。答案选C。【例8（国家考试2007年第49题的牌问题从一副完整的牌中，至少抽出（）6张牌的花色相同？A．21B．22C．23D．24大王小王为保证有6张花色一样我们假设现4个“抽屉”里各放了5张后两个“张花色一样。答案选C1（－5）=420×5+5×4=12011120÷（11+4）=82】有一片牧场，246天可以将草吃完；218天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？（）A.8B.10C.12D.14（8－6）=121212815小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？（B.30C.408×15+4×15=180180÷4=45小时漏完。16208012A.10B.8C.6见？（）A.54B.48C.42D.363．2233公亩牧场的草，54天可以吃尽，1728公亩的草，8440公亩的草，24天吃尽？（）A.50B.46C.38D.35“打折”，几折就是百分之几十。如果某种商品打“八折”出售，就是按的80%出售；如果某商品打“八五”折出售就是按的85%出售利润问题中还有一种利息和利率的问题，属于百分数应用题。本金是存入银行的钱。利率是银行的，是把本金看做单位“1”，按A.80B.100C.120【答案B】解析：现在的价格为(1+20%)×80%=96%4÷（1-96%)=100A.100B.120C.180D35元出售可获得利润(45-35)×12=120元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润120÷8=15元，少获得45-15=30元，故每个定价为（1-85%)=20024元，甲店的定价是多少元？A.1000B.1024C.10561000×（1-12%)×（1+20%)=1056元。乙两种书，其中乙书的册数是甲书册数的，只有甲种书得到了，这时，买甲种书所付多少元？A.4B.3C.2D.1某书店对顾客实行一项措施：每次买书200元至499.99元者5%，每次买500元以上者(含500元)10%。某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并付款是第三次付款的，这位顾客第二次买了的书？A.115B.120C.125实际利润的百分数是多少？A.18.4B.19.2C.19.6D.20nnn大于或等2 【例1】面3场击球游戏中，的得分分别为 。为使场游戏得分的平均数为145，第四场他应得多少分？()【答案C】解：4场游戏得分平均数为145，则总分为145×4=580，故第四场应得580-130-143-144=163分。 A.72米/分B.80米/分C.84/D90米/1800÷25=72米/31006360分，平均70分，则男生比多多少人？()A.30B.32C.40D.45分，这样就比实得的总分少300分。这是平均每人比男生高10分，所以这少的300是由于每个少算了10分造成的，可见有300÷10=30人，男生有100-30=70人，故男生比多70-30=40人。51025370，3390。中间的那个数是多少？()A.80B.88C.90D.963476千克，甲比丙3千克，则乙的体重为()千克。A.46B.47C.43D.4235元，则租车费是多少元？()A.320B.2240C.2500D.320A．256人B．250人C．225人D．196 （2002年A类33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？分析:如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人9＝×－1硬币的总价值是()：A．1元B．2元C．3元D．4元（2005年329人。仪仗队总人数为多少？答案：1.C2500十二.问主要特点是：时间发生变化，在增长，但是差始终不变。问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，要抓住差不变这个解题关键。解答几年后的=大小差÷倍数差－小;几年前的=小－大小差÷倍数【例1】甲对乙说：当岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当岁数到你现67A．45岁，26B．46岁，25C．47岁，24岁D．48岁，23岁【答案B】解：甲、乙二人的差为（67－4）÷3=21岁，故今年甲为67－21=46岁，乙的为45－21=25岁。【例2】、哥哥、妹妹现在的和是64岁。当的是哥哥的3倍时，妹妹是9【答案C】解析：解法一：用代入法逐项代入验证。解法二，利用“差”是不变的，列方程求解。设、哥哥和妹妹的现在分别为：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3[y-(z-9)]；y-(x-34)=2[z-(x-34)]x=40。【例1】1998年，甲的是乙的的4倍。2002年，甲的是乙的的3倍。问甲、乙二人2000年的分别是多少岁?A．34岁，12岁B．32岁，8岁C．36岁，12岁D．34岁，10岁【答案C】解析：抓住问题的关键即差，1998年甲的是乙的的4倍，则甲乙的差为3倍乙的，2002年，甲的是乙的的3倍，此时甲乙的差为2倍乙的，根据差不变可得:3×1998年乙的=2×2002年乙的;3×1998年乙的=2×（1998年乙的+4）;1998年乙的=4岁，则2000年乙的为10岁。在过50岁生日时，弟弟说：“等我长到哥哥现在的时，我和哥哥的之和等于那时的”，那么哥哥今年多少岁？A.18B.20C.25D.28甲、乙两人的和正好是80岁，甲对乙说：“我像你现在这么大时，你的正好是的一半。”甲今年多少岁？（）A.32B.40C.48D.45父亲与儿子的和是66岁，父亲的比儿子的3倍少10岁，那么多少年前父亲的是儿子的5倍？（）A.10B.11C.12D.13十三.1】ba20%baaba×（1＋20%）＝bba1.2A/b＝1/1.2＝5/6ab5/6捕上100尾，发现有标记的鱼为5A．200 D．6000（2004年B类解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5＝X/200X=4000BA．2900万元B．3000万元C．3100万元D．3300万元（2003年A类）20%答案为C。特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格的多少？或可运用简化公式，1－X。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要20％，每台的价格比上一年度20%20%200120001－（20%）＝0.96，2001300020003000÷0.96≈3100。10010件，问小号蓝色衬衫有多少件（2003年A类 根据已知大号白=1050件，所以，大号蓝=40件；大号蓝=4075件，所以，小号蓝=35件；大号白=1025件，所以，小号白=15件；小号白=1550件，所以，小号蓝=35件；所以，答案为C51010%；低分按5%提成当利润为40万元时应奖金多少万元?A2B2.75C3D4.5（2003年A类）10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75B。【例6】某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和费200万元两个部分。若年利润必须按P％纳税，年费超出年销售收入2％的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P％为：A．40％B．25％C．12％D．10％（2004年江苏）（1000-即 所以，答案为B【例7】甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，问乙每小时加工多少个零件?A．30个B．35个C．40个D．45个（2002A类X1.3X个零件，并可列 所以，选择C【例8】已知甲的12%13，乙的13%1414%15，丁的15%16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是：A．甲B．乙C．丙D．丁（2001年）A。【例9】某储户于1999年1月1日存人银行60000元，年利率为2.00%，存期2000111999111日后孳生的利息收入应缴20％，则该储户实际提取本金合计为：A．61200B．61160元C．61000元D．60040元解析，如不考虑利息税，则年月日存期日即年月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元/月，但实际上从1999年11月1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税额=200×20%=40元，所以，提取总额为 -40=61160，正确答案为B。十四.知识要点提示：尾数这是数算题解答的一个重要方法，即当四个答案全不相同时，2452＋613＝3065523 差的尾数是由被减数的尾数减去减数的尾数×613＝623得到。2452÷613＝4432【例1】99 的个位数字是（。A．1B．2C．3D．7（2004年A、B类）2】请计算（1.1）2（1.2）2（1.3）2（1.4）2A．5.04B．5.49C．6.06D．6.30 （2002年A类（1.1）21（1.2）24（1.3）29（1.4）261＋3＋9＋60，所以选择D D．3877年B类N次方的尾数变化情况2n24212529……24n+13n是以“4”3，9，7，1，3，9，7，17n是以“4”9，3，1，7，9，3，1，78n是以“4”8，4，2，6，8，4，2，64n是以“2”4，6，9n是以“2”9，1，5n、6n（2005 当偶数方时尾数为“1”，1998为偶数，所以原式的尾数为“1”A。【例 的个位数是:（2000年）A．9B．7C．5解析：由以上知识点我们可知的尾数是由8198949718198981的尾数是相同的，即的尾数为8我们再来看91988的尾数确定的，1988÷4＝4970，这里注意094、98、912……94n9198894的尾1。综上我们可以得到 十五.abab的倍数，baabab的倍数，ba15912天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要：A．60天B．180天C．540天D．1620天（20035，9，125×3×3×4＝180B。2911天去一次，老7A．星期一B期二C．星期三D．星期四85×2×2×3×2＝120。120÷7＝171，所以，下一次相会则是在星期三，选C。 )A．1／2 解析：此题是一道有迷惑性的题，“12圈”和“21圈”是不同概念，不要1分钟之后，无论甲、乙、丙跑几圈都回到了起跑线上。B。第一、两次相遇公式：单岸型S=(3S1+S2)/2型S=3S1-例1：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙相向而行，一艘从甲岸驶向乙720重新相遇。问：该河的宽度是多少?()A.1120 B。1280 C。1520 D。1760典型两次相遇问题这题属于型(距离较近的甲岸720米处相遇距离乙岸400米处又重新相遇)3×720-400=1760D;x例2：某班男生比人数多80%，一次考试后，全班平均成绩为75分，而的平均分比男生的平均分高20%，则此班的平均分是()解析：男生平均分X，1.2X75-X75X1.2X-75得X=70为第三、往返运动问题公式：V均则它的平均速度为多少千米/小时?() 2×30×20/(30+20)=24,选A次( 8126台抽水机，那么需抽多少小时 解：(10-X)*8=(8-X)*12X=410-4)*8=(6-4)*Y求得答案Y=24公式熟练以后可以第六、NM次公式：次数=(N-1)M次方/N，最接近的整数为末次传他人例6：四人进行篮球传接球练每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式()。A.60B65C70D75(4-1)5/4=60.756160为10的余数，尾数法本质上是同余的性质。【例题】173×173×173-162×162×162=( 9，因此只能选D。9，要减去90)，这个数就叫做原数的弃九数1+4+6+3+5+7=26，2+6=8146357【例题】11338×25593 B6。运用提取公因式法进行简化计算是一个最基本的四则运算方法， 考试中往往23333除 如：377,3+7+7=17,17除3等于2，说明377除3余215282152824和25整除特性：只看一个数字的末2位能不能被4整除。275016, 能被整除说明能被整除。被整除特性：末尾是O5即可被整除。623整除的特性。,被7整除。 末3位划分1561/578大的数字减小的数即1561-578=983983÷7 余说 除7余381253位。96624，96/624624878说明这个数能被整93整除的特性。235682356824249=2696被11整除特性：奇数位的和与偶数位的和之差，能被11整除。如 ,间隔相加分别是8+5+2+7=22,9+6+5=20在相减22一20=2,2÷11余2说明这个 1125整除的数是多少？A.XXXYXXB.XYXYXYC.XYYXYYD.2。在招考中，A、B两岗位共有32个男生，8个报考。己知报考A岗位的男（A.15B.16C.12D.则所有五分硬币的总价值是多少元？()A1元B2元C.3元D4捐了？()A780B890Cll83D208323458，求这两个数之和？A.2353B.2896C.3015D.7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子7天A.110B.115C.120D.103人，29人，仪仗队总人数是多少？()A.400B.450C.500D.30381个座位，这个剧院共有多少个座位？()A.1575B.1624C.1775D..(09国考甲乙共有260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那A.75B.87C.174D..(09国考：某公司甲乙两个营业部共有50人，其中犯人为，己知甲营业部5321A.18B.16C.12D..(09国考厨师从12种主料中挑出2种从13种配料中挑选出3种来烹饪某道A.131204B.132132C.130468D..(09国考：甲乙丙个队植树造林，已知甲队的植树亩数是其余三队植树总亩3900亩。那么甲的植树亩数是多少？A.9000B.3600C.6000D.．[答案］B5052整除，所以3B。［答案］C【解析』报考A岗位的男生数与数的比为5:3，所以报考A岗位的女3BAC。2A岗位总和B83AB508*X3*Y=50，X=43*4＝12．答案常规解法：设三角形每条边XYY＝X5同时由于硬币个数相同，那3X=4Y,X=203*20=60（个5分硬币，那么总5x603O0（分）,得出结果。改围成一个正方形，也正好用完（3605分硬币4［89的倍数（8xX=88xx9X9的倍数9C6［解析］上衣和裤子系数比是（89761012117344453471177*(8+6)=11*7=987721129套裤子才能补上，9l29）=33天的生产（33天裤子）+1天裤子983*9125774*12125设第一次列阵，共有xaxa10x329xa329xa+10=xa3-29x13排，ABcD102913整除的。一眼就能看出答案应A符合答案的就只有A400人，此时a3038301）6738394066+67，首尾相加（38+67*15=1575，所以选择A，这是一般的做题方法，通过这个根据等差求和公式Sn（alann/2,30/2=15alan*15一＞那么这个数肯定能被，5整15整除的就是答案。秒杀A。8717412.50.125入法，87100160本，160*0.12520。87满足条10xy2个方程，解得答案。即浪费时间不麻烦。533B，甲乙营业部总人8X3YY6时，X48X3Y50中有女：3*4=122325321，所以甲部门1010、20、3020人，女12人。.77整除的特性，132132=07方法2：给出具体的式子，具体方程是列出方程后，通过尾数法也可马上12。选A601215份，丙是20份，则丁是13份。（3900÷13)*12=l5、l4、l33、4、560，60份，则可