2021年数学高考真题卷-北京卷（含答案解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试・北京卷数学第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.⑴已知集合A={x|-l<x<l},B={x|0S烂2},则AUB=(A){x|0Sr<l} (B){*-1〈后2}(C){x|l〈后2} (D){x|0<x<l)(2)已知复数z满足(l-i)・z=2,则z=(A)l(B)i(C)l-i(D)l+i⑶设函数於)的定义域为［o』］,则“函数yw在［0,1］上单调递增”是“函数以)在［o』］上的最大值为川)”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(4)某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(C手(D殍(5)双曲线=1(“>0力>0)过点(迎，百)，离心率为2,则双曲线的标准方程为(A)y-y2=l (B)fg=lz2v2 x2v2(C5看=1 0亭与=1(6)已知{%}和也}是两个等差数列，旦兴修仁5)是常值，若0=288/5=96,6=192,则例的值为bk(A)64 (B)100(C)128(D)132(A)64 (B)100(C)128(D)132(7)已知函数火x)=cosx-cos2x,(7)已知函数火x)=cosx-cos2x,则该函数(A)是奇函数，最大值为2(B)是偶函数，最大值为2积水厚度Anm0-1010-225-550-15000等级小雨中雨大雨暴雨(C)是奇函数,(D)是偶函数,(8)对24小最大值为，最大值为:O时内降落在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义:小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(A)小雨(B)中雨(C)大雨(D)暴南(9)己知圆。/+^=4,直线打=丘+，”,当k的值发生变化时，直线/被圆C所截得的弦长的最小值为2,则，〃的值为(A)£2(B)±V2(C)±5/3(D)i3(10)数列｛册｝是递增的整数数列，且a仑3,0+02+03+…+呢=100,则〃的最大值为(A)9 (B)10(C)ll(D)12第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题,每小题5分，共25分.(11)(炉一)4的展开式中常数项是.(12)已知抛物线(7:炉=4乂(7的焦点为F,点M在C上，且成M|=6,则点M的横坐标是.(13)已知。=(2,1)力=(2,-1),c=(0,l),则3+〃>c=\ab-.(14)若尸(cos9,sin0)与(235(。+》揄(。+》)关于y轴对称，写出一个6的值 .O O(15)已知凡r)=|lgx卜h-2,给出下列四个结论:稣H0,则兀v)有两个零点；鲂&<0,使得贝X)有一个零点；(3B&<0,使得犬外有三个零点；@Q0,使得<x)有三个零点.以上正确结论的序号是.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(16)(本小题13分)已知在△ABC中,c=2/?cosB,C=—.(/)求3的大小；(〃)在三个条件中选择一个作为己知，使AABC存在且唯一确定，并求8C边上的中线的长度.①?=&比②周长为4+2百;③®积SaABC二号4(17)(本小题13分)已知正方体ABCDAiBiGG,点E为的中点，直线由G交平面CCE于点F.(/)求证:点F为5G的中点；(〃)若点M为棱481上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为唱求誓■.(18)(本小题14分)为加快新冠病毒检测效率，某检测机构采取‘%合1检测法”,即将《个人的拭子样本合并检测，若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人，已知其中两人感染病毒.(/)独采用“10合1检测法”,且两名感染患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，两名感染患者在同一组的概率为去求检测次数X的分布列和数学期望E(X).(〃)若采用“5合1检测法”，检测次数y的期望为E(y),试比较E(X)和E(F)的大小(直接写出结果).(19)(本小题15分)已知函数1》)=就.(/)若a=O,求曲线y=/(x)在点(1川))处的切线方程；(〃)若函数人x)在x=-l处取得极值，求_/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.(20)(本小题15分)已知椭圆若+5=13>">0)过点40,-2),其四个顶点的连线围成的四边形面积为4低(/)求椭圆E的标准方程；(〃)过点P(0,-3)的直线/的斜率为匕交椭圆E于不同的两点8,C,直线A84C分别交直线y=-3于点M,N,若|PA/|+|P7V|<15,求上的取值范围.（21）（本小题15分）定义既数列｛斯｝:对pGR,满足：（2i7］+pN0,a2+p=O;（^V"eN",a4"-i<a4"；（^V/n,〃eN*,am+"G［am+an+p,am+an+p+\］.（/）对前4项是2,20』的数列，可以是&数列吗?说明理由.（〃洁｛〃“｝是Ro数列，求的的值.（例是否存在pCR,使得存在品数列｛小｝》〃6?4*,满足S2Sio（S,为数列｛m｝的前〃项和）?若存在，求出所有这样的p的值；若不存在，说明理由.1 2 345 6 7891011121314 15BDAABCDBCC-4B03-居（答案不唯一）①②④LB【考查目标】本题主要考查集合的并运算，考查的学科素养是理性思维.［解析］集合A=｛x|-1<x<l｝,B=｛x|0灸2｝,所以4UB=｛x|-1〈烂2｝,故选B..D【考查目标】本题主要考查复数的运算，考查的学科素养是理性思维.【解析】 通解设z=a+砥a,bCR）,由（l-i>z=2,可知a+b+（6-a）i=2,所以解得｛;二所以z=l+i.故选D.优解由（l-i>z=2,可知z1■=；（：：?.、=1+i,故选D.1—1（卜1）（1+1）.A【考查目标】本题主要考查函数的性质、充要条件的判定，考查的学科素养是理性思维、数学探索.【解析】设P：函数y（x）在［0,1］上单调递增,q：函数_Ax）在上的最大值为7（1）,由单调性的定义可知,p用成立，而qnp不成立，举反例如图所示.

.A【考查目标】本题主要考查三视图及几何体表面积的求解，考查的学科素养是理性思维.T)【解析】将四面体ABCO放入正方体中，如图所示，故5& dT)=3x：xlxl+4x(夜)2=萼故选a.【解题关犍】求解本题的关键在于正确还原出四面体的直观图. B5.B【考查目标】本题主要考查双曲线的方程和几何性质,考查的 学科素养是理性思维.【解析】 设双曲线的半焦距为c,由题意可知」;='=2，解得则双曲线的标准方程为<c2=a2+b2故选B..C【考查目标】本题主要考查等差数列的性质，考查的学科素养是理性思维.【解析】 因为｛斯｝和｛儿｝是两个等差数列，所以2a3=0+的=288+96=384,所以8=192,又当\<k<5时,詈是常bk值,所以詈=詈=绥=警，从而历=128.故选C..D【考查目标】必备知识:本题以余弦函数为出题背景,考查函数的奇偶性、最值等.关键能力:运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】 因为y(・x)=cos(-x)・cos(・2x)=cosx・cosZrjx)，所以函数段)=cosx-cos2r为偶函数.又｛x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2(cosX+产+,当且仅当cos时次x)取得最大值，所以/(x)的最大值为泉故选D..B【考查目标】必备知识:本题以雨水的等级为出题背景，考查圆锥、圆柱的体积.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力.学科素养:理性思维、数学应用.【解析】作出截面图如图所示，设圆锥形容器中水面的半径为rmm,则 V―j—7*=黑，所以r=50(mm),所以24小时所接雨水的体积y=W7rx(5O)2xl5O](mm3).设底面半径 \jr为100mm的圆柱的高为hmm,由题意可知,1x(50)2x150=71X(100)2x6,得a=12.5(mm),即 \; 这一天的积水厚度为12.5mm,属于中雨.故选B..C【考查目标】必备知识:本题主要考查直线与圆的位置关系.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】设直线/与y轴交于点A(O,m),由题意知，圆心C(0,0),当上的值发生变化时，要使直线/被圆C所截得的弦长最小，则圆心C到直线/的距离最大，为|AC|,即即|=序返=b,所以m=±^3..C【考查目标】必备知识:本题主要考查数列的概念、数列的单调性.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【解析】因为数列｛m｝满足三个特征，整数数列，递增，前"项和为100,所以欲求〃的最大值，需要保证次+L以(依"-1)的值取最小的正整数，又。仑3,故可取0=3,诙+15=1,数列｛%｝的前10项为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,则第11项01=100-(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)=25,满足题意,取数歹的前11项为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,则第12项02=100-(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)=12,不满足题意，故"的最大值为11.11.-4【考查目标】必备知识:本题主要考查二项式定理的应用.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维.【核心问答】师:二项展开式的通项是什么?生:1师:如何确定常数项?生:对r合理赋值.【解析】解法一刀+产禺(7)4-"*"尸=(_1)毛；/24,令12-4，=0,解得『3,所以常数项为-4.解法二由于评2)4可以看成4个因式，与的乘积，则要得到常数项，即在4个因式中有1个因式选出总其X X余3个因式选出即禺/.(_)3=-4,所以常数项为4【思维价值】解法二是从排列组合的角度来解决“指定项''问题，是对二项式定理本质的理解和应用.12.5【考查目标】必备知识:本题主要考查抛物线的定义及几何性质.关键能力:通过利用抛物线定义求点的横坐标,考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维.【核心问答】师:抛物线的定义是什么?生:平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的集合(该定点不在定直线上).师:怎么转化呢?生:抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化.【解析】解法一抛物线C：V=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-l,设点M的横坐标为xo,则有冲+1=6,所以Xo=5,故填5.解法二抛物线C：V=4x的焦点/(1,0),又点M在抛物线C上，设“修),则尸闸=J(l-：)2+t2=6,整理得t2一+8涔560=0,(尸-20)(d+28)=0,解得於=20,所以点M的横坐标二=5,故填5.4【思维价值】解法一，从抛物线的定义入手，将至『'焦点”的距离转化为至『'准线"的距离，运算简洁;解法二，从距离定义入手，通过构造方程求得点M的横坐标，思维量不大，运算量增大.更能印证“多考想的少考算的”基本命题思想.13.03【考查目标】必备知识:本题主要考查向量的坐标表示以及数量积运算.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用.【核心问答】师:向量是怎样用坐标表示的?生:将向量的起点与坐标原点重合，终点坐标即向量的坐标表示.师:向量的线性运算和数量积运算是什么？生:若a=(x,y),6=(〃i,”),则a+b-(xim,y±n),ab-nvc+ny.【解析】 由题意得,(a+b>c=(4,0>(0,l)=4x0+0xl=0,a-b=(2,l)-(2,-l)=2x2+lx(-l)=3..*(答案不唯一)【考查目标】必备知识:本题主要考查三角恒等变换.关键能力:逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【核心问答】师:两点关于y轴对称的基本特征是什么?生:两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同•师:两个角的同名三角函数值相等，这两个角相等吗?生:不一定相等,因为三角函数具有周期性.【解析】由题意可得cos0=-cos(0+-),sine=sin(6+，所以cos6=-cos6tos-+sin^sin-,sinJ=sin^teos-+cos6 6 6 6 6仇in二两式相加得cos6»+sin(9=(sin仇cos0)cos-+(sin0+cos<9)sin)得学”萼=VI,即上空=tai4所以6 6 6sin0-cosw l-tan83F^=tanG+(9)=tan(T),所以可令&=0,则6=片，故9的一个值为用.i-tantz4 3 4 d iz iz【思维价值】以开放式答案设计试题,对学生的理性思维和创新能力进行了很好考查..①②④【考查目标】必备知识:本题主要考查函数的零点.关键能力:通过参数&取值的不同，探求函数零点的个数,考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.【核心问答】师:函数零点问题的一般求解策略有哪些?生:函数y=/(x)-g(x)的零点个数u方程贝x)=g(x)的根的个数u函数yXx)与y=g(x)的图象的交点个数.师:y=|lgx|的图象是怎么得到的?>=息+2的图象特征是什么?生:可以先作出函数y=lgx的图象，保持x轴上方的图象不变,将位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，即可得到函数y=|lgx|的图象;y=h+2表示过定点(0,2)的直线系方程.【解析】 作出函数y=|lgx|和y=kx+2的大致图象如图所示，对于①当％=0时，显然直线y=2与y=|lgx|的图象有两个交点,即函数y(x)=|lgx卜息-2有两个零点，所以,正确;对于②由图可知,三依<0,使得直线产如：+2与y=|lgx|的图象相切,即当上心时,函数火x)=|lg小&-2有一个零点,所以②正确；对于③由图可知，当K0时，直线y=kx+2与y=|lgx|的图象不可能有三个交点,即函数Rx)=|lgx卜履-2不可能有三个零点，所以③不正确；对于④由图可知,mh>0,使得直线y=kyx+2与y=|lgx|的图象相切,所以当04<心时，直线y=kx+2与y=|lgx|的图象有三个交点,即函数/(x)=|lgxHlr-2有三个零点,所以④正确.【思维价值】试题以函数的零点为背景，将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，对学生的数形结合思想以及分类讨论思想进行了较好考查..【考查目标】必备知识:本题主要考查正、余弦定理，三角形的面积公式及三角公式.关键能力:本题通过利用正、余弦定理解三角形考查逻辑思维能力和运算求解能力.学科素养:理性思维和数学探索.解:(/)因为在△ABC中,c=2反osB,所以由正弦定理，得sinC=2sinBcosB,又C=拳所以sin2B=当因为TT86(0)所以28G(0,§),所以则3 3 6(〃)由(/)知,。=空,8=2,所以A=7t-B-C=-,BPaABC是等腰三角形，且a=b,c2=a2+b2-2abcosC=3ft2,BPc-y[3b.3 6 6条件公=&万与c=V3b矛盾,故条件。不成立,所以不能选择条件①若选条件②长为4+2百,则a+6+c=2%+H%=4+2>/5懈得6=2,此时△ABC存在且唯一确定，所以条件②足题意.如图，设D为BC的中点，连接4£),在4ACD中(AC=2,Cn=l,C=学，由余弦定理，得AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=4+l-2x2xlx(』)=7,即所以8c边上的中线的长度为c若选条件③面积Saabc=¥，则+加in ，解得6=旧,此时△ABC存在且唯一确定，所以条件③i帝足题4 2 4 4忌.如图，设D为BC的中点，连接4£>,在4ACD中4c=百,。=当《卷由余弦定理，得AE^^A^+CEP-lACCDcosC=3+：2xV5x，x(-｝=^,即4。=亨，所以BC边上的中线的长度为亨..【考查目标】必备知识:本题主要考查线面平行的判定和性质、利用空间向量解决二面角相关问题.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力和空间想象能力.学科素养:理性思维和数学探索.【解题思路】(/)先证明CO〃平面再利用线面平行的性质可得所〃C£>,即可证点F为8G的中点;(〃)建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,写出相关点的坐标，设A|M=f,然后分别求出平面CEF和平面MC尸的法向量，根据二面角M-CF-E的余弦值为客，求出/=1,进而求出整.解:(/)因为ABCD-A\B\C\D\是正方体，所以CD〃CD,又CZM平面4BiCi£)i,CiO|U平面AiSCQi,所以8〃平面AiBiCQi,又CCu平面CCE,平面COED平面4BiGOi=EF,所以CO〃EF,所以EF//C\D\,又点E为4。1的中点，所以点F为BC的中点.(〃)以点。为坐标原点，以DA,DC,DD,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),£(l,0,2),F(l,2,2).设4M=f,则曰0⑵，则M(2,f,2).设平面CEF的法向量〃=(xi,yi,zi).因为#=(1,0,2),丽=(0,2,0),所以｛:第二患啕彳=。得巾=°，令zi=l，则M=-2,所以”=(-2,0,1).设平面Mb的法向量/n=(X2,y2,Z2),又而=(-1,24,0),所以｛：需：器即图方;鼠=0,令Z2=bP!，J及=-因为二面角和CRE的余弦值为孚所以心向扁匚一李因为疙[。,2],所以=，即4M=1,.【考查目标】必备知识:本题主要考查随机变量的分布列及数学期望.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学应用、数学探索.解:(/)①100人分成10组,每组检测一次，共需要检测10次，又两名感染患者在同一组，则这一组需要逐个检测,故又需要检测10次，所以共需要检测20次，即总检测次数为20.②*①可知，两名感染患者在同一组需要检测20次,若两名感染患者不在同一组，又要多检测10次，所以两名感染患者不在同一组，共需要检测30次，所以X的可能取值为20,30.因为两名感染患者在同一组的概率为今所以P(X=20)哈P(X=30)=l*=当则X的分布列为所以E(X)=20x^+30x^=^.(//)E(X)<E(Y).理由如下：若采用“5合1检测法”，则两名感染患者在同一组的概率为萼量=总此时需要检测25次，两名感染患者不在同一组的概率为威啜此时需要检测30次，则y的分布列为

所以E(y)=25x±+30xg=^2>E(X)..【考查目标】必备知识:本题主要考查导数的几何意义，函数的单调性、极值及最值.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.解:因为/(x)=W^,解:因为/(x)=W^,所以9+a和/(x)=(3-2幻口2+。)-(3-2吗("+。)'_2--6六2。—(x2+a)2 -(x2+a)2'(/)若a=0,则尸(1)=4/(1)=1,代入y次1)=/•'⑴31),得4x+y-5=0,所以曲线y=/(x)在点(1/))处的切线方程为4x+y-5=0.(〃)由函数_/(x)在x=-l处取得极值可知/'(-1)=0,即今号=0,得＜7=4.此时4X)=言，所以f'(X)=2(蓝啰),当天£(・8,-1)口(4,+8)时,(幻＞0,所以7(1)的单调递增区间为(《),・1),(4,+00);当x£(14)时尸a)vo,所以/(X)的单调递减区间为(・1,4).又当X—-8时次X)—＞0,当工1+8时人¥)-0,所以yw的最大值为4-1)=1风0的最小值为14)=].【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.学科素养:理性思维、数学探索.解：(/)由题意可知力=2,2ab=4倔所以4=圾所以椭圆E的标准方程为＜+艺=1.TOC\o"1-5"\h\z5 4—kx.3(〃)直线/的方程为产丘3,联立，得“2y2 消去y得(4+5%2)/-30h+25=0,/=(-30k)2・4乂25乂(4+5/)=400优2・1)>0,所以k>l或kv・l,设B(X|Ji),C(X2J2),则XI+^2=77777^>^2=7^—.①5k'+4 5k'+4直线AB的方程为>+2=/马,令y=3,则*=3，Xi V1+N所以知(一痣3，・3),|户知|=卜:缶|=|£^|,V1十/ 十/Vi十/同理得|PN|=|二三|.因为W,即为田正负相同，且y+2＞。加2＞。,所以FM+冲向的+岛的5,即产图募%+%5,从而|：|<15.x1(kx2-l)+x2(kx1-l)

(kXvlX/CXz-l)

由&@可得「34<-1或1〈仁3.从而|：|<15.所以k的取值范围为[・3,.1)U(1,3].21.【考查目标】 必备知识:本题主要考查数列知识.关键能力:逻辑思维能力.学科素养:理性思维、数学探索.解：(/)不可能是Q数列.若加=〃=1,因为a\=2,a2=-2,2a\+2=6,2«i+2+1=7,而a2=-2e{6,7},所以前4项是2,-2,0』的数列不是&数列.(〃)若{。〃}是Ro数列，则p=0,所以。2=0,若m=J=l厕{2ai,2«i+l)，所以2ai=0或2勿