2021年中考数学重难点题型专题11平行四边形（简答题专练）【含答案】

专题II:平行四边形(简答题专练)1.如图，在长方形Z8CO中，AB=CD=6cm,BC=10cm,点尸从点8出发，以2cm/秒的速度沿8C向点°运动，设点尸的运动时间为‘秒：⑵当,为何值时，"BPmaDCP?(3)当点尸从点5开始运动，同时，点。从点°出发，以vC"/秒的速度沿8向点。运动，当点P到达C点或点Q到达D点时，P、Q运动停止，是否存在这样n的值，使得△Z8P与全等？若存在,请求出v的值；若不存在，请说明理由.(1)PC=W-2t.(2)t=2.5,理由见解析；(3)存在，v=2.4或者v=2.(分析］⑴根据S=vt计算线段BP=2t,利用BP+PC=BC求PC即可：5(2)根据三角形全等，得BP=PC=5,所以t=2秒；(3)分BP=CQ和BA=CQ两种情形讨论求解.(1)点P从点3出发，以2c掰/秒的速度沿8C向点0运动，点P的运动时间为,秒,•BP=2t•• 9・・・PC=10-2^(2)当，=2.5时，4ABp三4DCP理由：•.•当f=2.5时，BP=25x2=5PC=10-5=5•.•在和a。。尸中AB=DC<NB=NC=90。BP=CP,"BP=aDCP（SAS）（3）①当80=CQ时，4B=PC时，aABP三aDCP；A Da DAB=6tPC=6,8尸=10-6=4，2f=4,解得'=2,...CQ=BP=4所以2V=4,v=2.②当BA=CQ,P8=P。时，"BPrDCP.PB=PCPB=PC=-BC=52 ,/.2t=5,解得，=2・5,...CQ=BA=6解得v=2.4；综上所述，当v=2.4或者v=2时与【点评】本题考查了矩形中的动点问题，熟练掌握三角形全等，灵活运用分类思想是解题的关键.2.如图，在正方形/3C。中，E是4。的中点，F是4B上一点,且/产=4/8.求证：CE±EF.证明见解析［分析］利用正方形的性质得出48=8C=CD=D4,ZA=NB=/BCD=ND=90。,设出边长为a，进一步利用勾股定理求得比、EF、CF的长，再利用勾股定理逆定理判定即可.连接。尸，•.•N8CD为正方形•AB=BC=CD=DAZA=NB=ZBCD=ND=90°•• ，设AB=BC=CD=DA=aAF=-AB是AD的中点，且4AE=ED=-aAF=-a2,4BF=-a4在RtACDE中,由勾股定理可得。炉=C02+O炉=：/EF^=AE^AF^(U+(U=^同理可得： ^2)U)16CF2=BF2+BC2=[-a\+a2=—tz2U) 16EF2+CE2=CF2：.△Ca'为直角三角形：.NCEF=9Q。•CE1EF•••【点评】此题考查勾股定理的逆定理，正方形的性质和勾股定理，解题关键在于设出边长为a.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于点F,连接DF.(1)求证：ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE；(2)若AB〃CD,试证明四边形ABCD是菱形：(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使/EFD=NBCD,并说明理由.(1)证明见解析(2)证明见解析(3)当BEJ_CD时，ZEFD=ZBCD【分析】(1)先判断出AABC丝Z^ADC得到NBAC=NDAC,再判断出4ABF且Z\ADF得出NAFB=NAFD,最后进行简单的推算即可；(2)先由平行得到角相等，用等量代换得出NDAC=NACD,最后判断出四边相等：(3)由(2)得到判断出△BCFgZ\DCF,结合BE1.CD即可.(1)证明：在4ABC和4ADC中，[AB=AD\CB=CD[ac=ac:△ABC四△ADC(SSS),・・.NBAC=NDAC,在AABF和4ADF中，AB=ADNBAF=ZDAFAF=AF.".△ABF^AADF(SAS),AZAFB=ZAFD,VZCFE=ZAFB,/.ZAFD=ZCFE,.\ZBAC=ZDAC,ZAFD=ZCFE；(2)证明：VAB/7CD,AZBAC=ZACD,VZBAC=ZDAC,AZBAC=ZACD,AZDAC=ZACD,.\AD=CD,VAB=AD,CB=CD,・・・AB=CB=CD=AD,・・四边形ABCD是菱形；(3)BE_LCD时，ZBCD=ZEFD；理由如下:・•四边形ABCD是菱形，/.BC=CD,ZBCF=ZDCF,VCF=CF,.'.△BCF^ADCF,.\ZCBF=ZCDF,VBE±CD,.,.ZBEC=ZDEF=90o,...NBCD=NEFD..如图，平行四边形Z8C。的对角线4C、8。相交于点O,EF过点O且与4B、CD分别相交于点E、F,连接EC.(1)求证：OE=OF；(2)若£7口_/C,ZXBEC的周长是10,求平行四边形/8CC的周长.B C(1)证明见解析；(2)20.【分析】(1)根据平行四边形的性质得出OD=OB,DC〃AB,推出NFDO=/EBO,证△DFOgZXBEO即可；(2)由平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由线段垂直平分线的性质得出AE=CE,由已知条件得出BC+AB=10,即可得出平行四边形ABCD的周长.解：(1)•••四边形ABCD是平行四边形，,,.OD=OB,DC/7AB,.\ZFDO=ZEBO,2FD0=/LEBO{OD=OB在△DFO和△BEO中，々OD=Z.EOB,.'.△DFO^ABEO(ASA),/.OE=OF.(2)解：•.•四边形ABCD是平行四边形，；.AB=CD,AD=BC,OA=OC,VEF±AC,/.AE=CE,VABEC的周长是10,:.BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=10,，平行四边形ABCD的周长=2(BC+AB)=20..如图1,已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是AC上一点，连结EB,过点A作AM-LbE,垂足为M,AM交BD于点F.(1)求证：OE=OF?(2)如图2,若点E在AC的延长线上，AM’BE于点M,交DB的延长线于点F,其它条件不变，则结论"OE=OF”还成立吗.如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析.解：(1)；四边形ABCD是正方形..,.ZBOE=ZAOF=90°,OB=OA,又；AMJ_BE,/.ZMEA+ZMAE=90°=ZAFO+NMAE/.ZMEA=ZAFO,ARtABOE^RtAAOF；.OE=OF(2)OE=OF成立•四边形ABCD是正方形，.,.ZBOE=ZAOF=90°,OB=OA又；AMJ_BE,ZF+ZMBF=90°=ZE+ZOBE又；NMBF=NOBE/.ZF=ZE，RtABOE^RtAAOF；.OE=OF.如图将矩形ABCD沿对角线ZC对折，使落在△ZCE的位置，且CE与AD相交于点尸,求证:EF=DF.见解析【分析】先由四边形为矩形，得出/E=C£>,NE=ND,再由对顶角相等，即可证明尸即可.•.•四边形48co是矩形,：.ND=4E,AE=CD,又,：N4FE=NCFD,在△ZEF和△C。尸中，[NE=N。\NAFE=NCFD[AE=CD9：.4AEF名△CDF(AAS),：.EF=DF..（1）如图矩形NBC。的对角线ZC、BD交于点0,过点。作。尸〃℃,且DP=OC,连接°尸,判断四边形coop的形状并说明理由.（2）如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由.（3）如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由.（1）四边形c0°p的形状是菱形，理由见解析；（2）四边形c°op的形状是矩形，理由见解析;（3）四边形coop的形状是正方形，理由见解析.【分析】（1）根据矩形的性质证得，再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CODP是平行四边形，根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形即可证得结论；（2）根据菱形的性质可得

ZDOC=90°,再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形CODP是平行四边形，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可证得结论；（3）根据正方形的性质可得OD=OC,ZDOC=90°,再由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CODP是平行四边形，根据正方形的判定即可证得结论.（1）四边形coop的形状是菱形，理由是：•••四边形Z8C。是矩形，OA=OC=OA=OC=-AC2OB=OD=>BD

2■OC=OD• ，..DPIIOCDP=OC* ，/.四边形CODP是平行四边形,•OC=OD，二平行四边形COD尸是菱形；（2）四边形的形状是矩形,理由是：•.•四边形NBC。是菱形，AC1BD•，ZDOC=90°•，..DPIIOCDP=OC♦，，二四边形COOP是平行四边形,•4DOC=90°，二平行四边形COOP是矩形：（3）四边形COOP的形状是正方形,理由是：•.•四边形/BCD是正方形，

•AC1BDAC=BD•••AC1BDAC=BD••，，OA=OC=-AC2OB=OD=-BD2Z.DOC=90°OD=OC•，，..DP!IOCDP=OC•，，...四边形COOP是平行四边形，•4DOC=90°OD=OC•，平行四边形COOP是正方形.【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，考查学生的猜想能力和推理能力,综合性较强..在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接BE、CE,EB平分NAEC,(1)如图1,判断4BCE的形状，并说明理由；图2图2(1)证明见解析；(2)回(1)如图1中，结论：4BCE是等腰三角形.证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，，BC〃AD,...NCBE=NAEB,VEB平分NAEC,•,.ZAEB=ZBEC,.\ZCBE=ZBEC,，CB=CE,.♦.△CBE是等腰三角形；(2)如图2中，•.•四边形ABCD是平行四边形，ZA=90°,二四边形ABCD是矩形，

.,.ZA=ZD=90°,BC=AD=5,在RtZkECD中,・.・ND=90。，ED=AD-AE=4,EC=BC=5,AB=CD=1EC?-DE?=a/52-42=3,在Rt"E8中，•.•/a=90°,AB=3.AE=1,BE=ylAB2+AE2=a/32+12=V10..如图，在qABCD中，DE=CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：AADE^AFCE；(2)若AB=2BC,ZF=36°,求NB的度数.(1)见解析；(2)108°由ASA即可证出4【分析】(1)利用平行四边形的性质得出AD〃由ASA即可证出4ADE^AFCE；(2)证出AB=FB,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案.证明：•••四边形ABCD是平行四边形，；.AD〃BC,AD=BC,:.ZD=ZECF,在4ADE和4FCE中，\de^ce[^AED=ZFEC/.△ADE^AFCE(ASA)；(2),/△ADE^AFCE,.♦.AD=FC,VAD=BC,AB=2BC,.*.AB=FB,；.NBAF=NF=36°,/.ZB=180o-2x36o=108°.【点评】运用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、三角形内角和定理：熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.10.如图，在RtZ\ABC中，ZJCB=90°,过点C的直线MN〃/8,D为4B边上一点,过点。作DELBC,交直线于E,垂足为尸，连接C。、BE.MeEN7W(1)求证：CE=AD：(2)当。在48中点时，四边形8EC。是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若。为中点，则当N4的大小满足什么条件时，四边形8E8是正方形？请说明你的理由.(1)见解析；(2)四边形8ECO是菱形，理由见解析；(3)当//=45。时，四边形8EC。是正方形，理由见解析【分析】(1)根据两组对边平行，证明四边形NOEC是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到CE=AD：(2)先根据一组对边平行且相等，证明四边形8EC。是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明CD=BD,从而证明四边形BECD是菱形；(3)当NZ=45。时，四边形BECO是正方形，证明是等腰直角三角形，再利用“三线合一，，的性质证明 从而证明四边形是正方形.(1)证明：:DELBC,J.ZDFB=90°,\'ZACB=90°,：.NACB=ZDFB,：.AC//DE,,:MN〃AB,即CE//AD,二四边形ADEC是平行四边形，：.CE=AD；(2)解：四边形8ECO是菱形，理由是：为48中点，：.AD=BD,，：CE=AD,：.BD=CE,,:BD〃CE,：.四边形BECD是平行四边形，VZJCS=90°,D为4B中点、,：.CD=BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，...四边形8ECO是菱形；(3)当24=45。时，四边形BECO是正方形，理由是：解：'：ZACB=90°,ZA=45°,,NABC=4=45。，：.AC=BC,,:D为BA中点，:.CDLAB,.♦./88=90。，•.•四边形BEC。是菱形，二菱形是正方形，即当//=45。时，四边形8ECZ)是正方形.【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练利用这些性质和判定进行证明.11.如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF,过点C作AB的平行线CD,与线段EF的延长线交于点D,连接CE,BD.(1)求证：四边形DBEC是平行四边形.(2)若N/8C=120°,AB=BC=4,则在点e的运动过程中：①当BE=时，四边形BECD是矩形，试说明理由；②当BE=时，四边形BECD是菱形.(1)见解析：(2)①2,理由见解析：②4【分析】(1)先证明△EBFgADCF,可得DC=BE,可证四边形BECD是平行四边形；(2)①根据四边形BECD是矩形时，ZCEB=90°,再由NABC=120。可得NECB=30。，再根据直角三角形的性质可得BE=2；②根据四边形BECD是菱形可得BE=EC,再由NABC=120。，可得NCBE=60。，进而可得4CBE是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得答案.(1)；AB〃CD,.•.ZCDF=ZFEB,NDCF=NEBF,•••点F是BC的中点，/.BF=CF,、上CDF=4BEF\ZDCF=NEBFFC=RF在4DCF和4EBF中，〔 ，.'.△EBF^ADCF(AAS),/.DC=BE,又；DC〃BE,二四边形BECD是平行四边形；(2)①BE=2,,当四边形BECD是矩形时，NCEB=90。，；NABC=120°,ZCBE=60°；二NECB=30°,j_，BE=2BC=2,故2；@BE=4,•四边形BECD是菱形时，BE=EC,VZABC=120°,AZCBE=60°,ACBE是等边三角形，

.,.BE=BC=4.故4.【点评】本题主要考查了菱形和矩形的性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握菱形四边相等，矩形四个角都是直角..如图，在4ABC中，点D是AB边的中点，点E是CD边的中点，过点C作CF〃AB交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证:DB=CF：(2)如果AC=BC,试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.(1)证明见解析；(2)四边形BDCF是矩形，理由见解析.(1)证明:VCF/7AB,.•.ZDAE=ZCFE.又TDE=CE,ZAED=ZFEC,/.△ADE^AFCE,.".AD=CF.；AD=DB,,,.DB=CF.(2)四边形BDCF是矩形.证明：由(1)知DB=CF,又DB〃CF,二四边形BDCF为平行四边形.VAC=BC,AD=DB,ACDIAB.二四边形BDCF是矩形..阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗.小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.点E、点E、F分别是AB、AC的中点三角形.中隆遂点G.H分别是CD、AD的中点三角形中位线定理四边形EFGH是五行四边形结合小敏的思路作答：(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由，参考小敏思考问题的方法解决一下问题:（2）如图2,在（1）的条件下，若连接AC,BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明;②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论.图1 图2（1）是平行四边形；（2）①AC=BD；证明见解析；®AC±BD.【分析】（1）如图2,连接AC,根据三角形中位线的性质及平行四边形判定定理即可得到结论；（2）①由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=2bD,HG=2AC,于是得到当AC=BD时,FG=HG,即可得到结论；②若四边形EFG”是矩形，则N〃GF=90。，即G〃_LGF,XGH//AC,GF//BD,则4CJ_8O.解：：（1）是平行四边形.证明如下：如图2,连接AC,图2：E是AB的中点，F是BC的中点，；.EF〃AC,EF=2AC,同理HG〃AC,HG=2AC,综上可得：EF//HG,EF=HG,故四边形EFGH是平行四边形；（2）①AC=BD.理由如下：J_ _1_由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=2bD,HG=2AC,.,.当AC=BD时，FG=HG,，平行四边形EFGH是菱形；②当AC_LBD时，四边形EFGH为矩形.理由如下：同（1）得：四边形EFGH是平行四边形，VAC±BD,GH〃AC,AGHIBD,VGF//BD,/.GH±GF,ZHGF=90°,二四边形EFGH为矩形.【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半..图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点.（1）在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且NMON=90。：（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）.图1 图2（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可.试题解析：（1）过点0向线段0M作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN,如图1所示；

图1(2)等腰直角三角形MON面积是5,因此正方形面积是20,如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：图2 图3考点：1.作图□应用与设计作图；2.勾股定理..已知：如图，在AABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F,且AF=DC,连接CF.(1)求证：D是BC的中点：(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.(1)见详解；(2)四边形ADCF是矩形；证明见详解.【分析】(1)可证4AFE丝Z\DBE,得出AF=BD,进而根据AF=DC,得出D是BC中点的结论：(2)若AB=AC,则AABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知ADLBC；而AF与DC平行且相等，故四边形ADCF是平行四边形，又ADLBC,则四边形ADCF是矩形.(1)证明：是AD的中点，.\AE=DE.；AF〃BC,，NFAE=NBDE,ZAFE=ZDBE.在4AFE和4DBE中，[AFAE=ZBDE(ZAFE=ZDBE[AE=DE/.△AFE^ADBE(AAS)..,.AF=BD.VAF=DC,，BD=DC.即：D是BC的中点.(2)解：四边形ADCF是矩形：证明：；AF=DC,AF〃DC,二四边形ADCF是平行四边形.VAB=AC,BD=DC,.•.AD±BC即NADC=90°.二平行四边形ADCF是矩形.【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用.解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明.16.如图1,已知锐角△Z8C中，CD、BE分别是48、ZC边上的高，M、N分别是线段BC、OE的中点.(1)求证：MNA.DE.(2)连结OM,ME,猜想N4与/。ME之间的关系，并证明猜想.(3)当NZ变为钝角时，如图2,上述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.(1)详见解析：(2)ZDA/E=180o-2Zt＜；详见解析；(3)结论(1)成立，结论(2)不成立，详见解析DM=-BCME=-BC【分析】（1）连接°”，ME,根据直角三角形的性质得到 2 , 2，得到DM=ME,根据等腰直角三角形的性质证明；（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算；（3）仿照（2）的计算过程解答.（1）证明：如图，连接。“，ME,A；CD、分别是48、40边上的高，M是8C的中点,：.DM=-BCME=-BC2 , 2 ,DM=ME,又.：N为DE中点、,MNIDE.(2)在A/18C中，N/8C+NZC8=180°—NZ,丁DM=ME=BM=MC・.N6M0=180。—246C,ZCME=\^-2AACBf.・.NBMD+Z.CME=(180°-2ZABC)+(180°-2/ACB)f=360°-2(ZABC+/ACB)=360。-2(180。一44)9二2"•・ZDA/£=180°-2ZJ.(3)结论(1)成立，结论(2)不成立，理由如下：如图，同理（1）可知：MN工DE,故结论（1）正确;DM=ME=BM=MC94BME=2NACB/CMD=2NABC•• ，，在A48c中，乙48C+N4cB=180°-4,ZBME+ZCMD=2ZACB+2ZABC=2(180°-41)=360°-2乙1,ZDME=180°-(360°-2ZJ)=2ZJ-180°,故结论⑵不正确.【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.17.阅读理解:二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式.1例如：化简及一1.]= &+1 =昌]解：将分子、分母同乘以五+1得：Ct(V2-i)(V2+i)类比应用：1_(1)化简：:111 1 1■…-I =(2)化简：6+iG+V5 也+瓜 ,拓展延伸：亚-1宽与长的比是2的矩形叫黄金矩形.如图①，已知黄金矩形488的宽48=1.(1)黄金矩形ABCD的长BC=；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以Z8为边的正方形"BEF,得到新的矩形OCEF,猜想矩

形0cM是否为黄金矩形，并证明你的结论:（3）在图②中，连结ZE,则点。到线段的距离为布+1类比应用：（1）2百+而；（2）2；拓展延伸：（1） 2.（2）矩形。CE尸为黄金矩形，理由见解析：（3） 4【分析】类比应用：（1）仿照题干中的过程进行计算：（2）仿照题干中的过程进行计算：拓展延伸：（1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算；」-1（2）根据题意算出AD的长，从而得出DF,证明DF和EF的比值为2即可；（3）连接AE,DE,过D作DG_LAE于点G,根据4AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可.解：类比应用：（1）根据题意可得：I 2V3+VTT2G-而=（8-而"闻而）=26+而；（2）根据题意可得：_1_+1+...+1V2+1V3+V2 V9+V8V2-1 V3-V2 如一般+ ~~+,••十 一一6+1网一1)2+司心一上)/瓜诉瓜)_>/2—1+V3—>/2+…+\/9—>/8=邪-1=2；拓展延伸：V5-1(1)•••宽与长的比是2的矩形叫黄金矩形，若黄金矩形ABCD的宽AB=\,1V5-1 2 6+1则黄金矩形Z8C£>的长8C=2=右-1=2.(2)矩形OCEF为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1,,V5-1V5+1TOC\o"1-5"\h\z根据黄金矩形的性质可得：AD=BC= 2 2,V5+1,V5-1/.FD=EC=AD-AF=2 =2 ,DFV5—1 \/5—1 +1= ：.EF=2 2,故矩形QCEF为黄金矩形；(3)连接AE,DE,过D作DG_LAE于点G,#+1VAB=EF=1,AD=2 ,；.AE=J12+『=后,在4AED中，-xADxEF=-xAExDGSaaed=2 2 ,石+]x1=x/?xDG即ZOxM=4ExOG,则2屈+6解得DG=4 ,...点。到线段4E的距离为 4 .【点评】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识.18.四边形ZB。。为正方形，点E为线段/C上一点，连接OE,过点E作所1OE,交射线8。于点F,以。E、£尸为邻边作矩形OEFG,连接CG.(1)如图，求证：矩形OEFG是正方形；(2)若4B=2,CE=g,求CG的长度：(3)当线段与正方形"8CO的某条边的夹角是30。时，直接写出NMC的度数.(1)证明见解析(2)CG=42(3)当。E与的夹角为30°时，Z£FC=120°.当。E与。C的夹角为3。°时，NEFC=30。【分析】⑴过E作£P,C0于点P,七。18c于点0,证明RIaEQF弥aEPD,得到所=灰),根据正方形的判定定理证明即可;(2)通过计算发现后是4c中点，点产与0重合，由(1)可知四边形DEFG是正方形，由此即可解决问题.(3)分两种情形考虑问题即可；解：(1)证明：过后作EP,CD于点p,EQLBC于,如图:•.•四边形为8。为正方形...NDCA=NBCA=45°..EP=EQVEF1DE...ZDEF=90°ZPED+ZEFC=90°-ZPEC=45°.：ZQEF+ZFEC=45°...ZQEF=APED在RsEQF和Rf^EPDAQEF=APED<EP=EQNEQF=NEPD.RtaEQF色Rt&EPD(ASA)：.EF=ED二矩形。EFG是正方形.(2)如图:D.•由(1)可知，在R/a/6c中，AB=BC=2...AC=242CE=&AE=CE=-AC=：. 2：.C与F重合.•四边形QEFG是正方形...CG=CE=4i(3)①当DE与〃。的夹角为30°时，如图：•ZADE=30°ZDAE=45°* JNQEC=300+45°=75°ZF£C=90°-75°=15°Z.EFC=180°-15°-45°=120°.②当DE■与QC的夹角为30。时，如图:A D•，NCDE=30。ZDEF=90°•，NDHE=90°-30°=60°...Z.CHF=60°,:NDCF=90°NEFC=30°.二综上所述，NE尸C=120。或NEFC=30°故答案是：(1)证明见解析(2)CG=e(3)当OE与力。的夹角为30°时，Z£FC=120°.当0E与。C的夹角为30。时，Z.EFC=30°【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.19.猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上，CE在边CD上.连结AF,若M为AF的中点，连结DM,ME,试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论.拓展与延伸：(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变，则DM和ME的关系为:(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立.［提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半］猜想与证明：猜想DM与ME的数量关系是：DM=ME,证明见解析；拓展与延伸：(1)DM=ME,DMJ_ME；(2)证明见解析【分析】猜想：延长EM交AD于点H,利用△FMEgZXAMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明.(1)延长EM交AD于点H,利用AFME/Z\AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，(2)连接AC,AC和EC在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明,解：猜想与证明：猜想DM与ME的数量关系是：DM=ME.证明：如图①，延长EM交AD于点H.•.•四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形,...AD〃BG,EF〃BG,ZHDE=90°.，AD〃EF./.ZAHM=ZFEM.又YA