2021-2022学年江西省抚州市九年级（上）第一次月考数学试卷（附答案详解）

D./D./.AOB=60"D.4D.-3D.x2—2x—3=02021-2022学年江西省抚州市崇仁二中九年级（上）第一次月考数学试卷1.在口中，对角线AC,BO相交于点O,只需添加一个条件，即可证明。48CC是矩形，这个条件可以是（）A.AB=BCB.AC=BDC.AC1BD.面积为8的正方形的对角线的长是（）A.V2 B.2 C.2鱼.一元二次方程2/-3*-1=0的一次项系数是（）A.2 B.3 C.1.下列一元二次方程没有实数根的是（）A.x2+x4-3=0B.x2+2x+1=0C.x2—2=0.如图，菱形ABC。的对角线AC、8。相交于点。，过点。作DH1AB于点“，连接0”,若04=3,0H=2,则菱形4BCO的面积为（）A.12B.18C.6 D.24.已知一元二次方程2--3%-6=0有两个实数根a,b,直线经过点A（a+b,0）和点B（0,ab）,则直线/的函数表达式为（）A.y=2x—3B.y=2x+3C.y=—2x+3D.y=-2x-3.如图，在。4BCO中，请添加一个条件：,使得。4BCO成为矩形..关于a的一元二次方程a?=3a的解为..如图，在边长为10的菱形A8C3中，对角线BC=16,点O是线段80上的动点，。£148于后，0F14D于尸.则。E+0F=.

.为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元.设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为..如图，在四边形4BCO中，ZJ4CC=ZJ1BC=90°,AD=CD,DP14B于P.若四边形ABC。的面积是18,则OP的长是..已知一元二次方程a/+bx+c=0(a力0)和它的两个实数根为X],x2,下列说法：①若a,c异号，则方程a/+bx+c=0(aH0)一定有实数根；②若〃>5ac,则方程ax?+bx+c=0(aH0)一定有两异实根；③若b=a+c,则方程a/+bx+c=0(aH0)一定有两实数根；④若a=l,b—2,c=—3,由根与系数的关系可得%+ =-2,xtx2=3其中正确的结论是：(填序号)..(1)如图，Rt△DAB,/.DAB=90°,Z.D=36°,。为DB中点,求乙BA。的度数.(2)对于实数a,6定义运算“☆”如下：gb=ab2-ab,例如3仝2=3x2?-3x2=6,解方程x=2..解方程：(l)x2—4%+3=0；(2)(x-2)2-6(x-2)+8=0..如图，在正方形ABCO中，对角线AC,80相交于点O,点E,尸是对角线AC上的两点,且AE=CF.连接OE,DF,BE,BF.若AB=4近,AE=2,求四边形BECF的周长..商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.(1)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元(用含x的代数式表示)；(2)在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？.已知：矩形ABCC,点M是AO的中点，点E在AM上，请用无刻度尺画图：(1)在图甲中，在边8C上找一点灯,使CEi=AE；(2)在图乙中：在边上找一点E2，使BE2=4E..已知关于x的方程/-mx+(m-2)=0.(1)求证：不论机为何值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根是2,求机的值以及方程的另一个根..如图，在等腰△ABC中，AB=BC,80_L4C于点O,点。是BO上一点，延长8。至点E,使0E=。。，点C到AE的距离为d.(1)求证：四边形4OCE是菱形；(2)若四边形AOCE的周长为20,两条对角线的和等于14,求d的值..如图，正方形ABC。的对角线交于点O,点E、尸分别在AB、BC上(4E<BE),且“OF=90。,OE、D4的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证：OM=ON；(2)若正方形ABC。的边长为6,OE=EM,求MN的长..中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、8两种房间，A种房间房价每天200元，8种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元.(1)求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？(2)该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将4种房间房价调低2a元，将8种房间房价下调a%,由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，4、8两种房间入住量都比2月增加了?a%,总营业收入在2月的基础上增加了a%,求a的值.22.如图，在中，乙4cB=90。，过点C的直线MN〃AB,。为A8边上一点，过点。作。EJ.BC,交直线MN与£,垂足为尸，连接CD,BE.(1)求证：CE=AD；(2)当。在AB中点时，四边形CCBE是什么特殊四边形？说明理由：(3)在满足(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形C0BE是正方形？请说明你的理由.23.定义:我们把关于x的一元二次方程山"+bx+c=0与c/+bx+a=O(acW0,aHc)称为一对“友好方程”.如2/-7x+3=0的“友好方程”是3/-7x+2=0.(1)写出一元二次方程/+3x-10=0的“友好方程”.(2)已知一元二次方程M+3x-10=0的两根为％=2,x2=-5,它的“友好方程”的两根x3=：、X4=.根据以上结论，猜想a/+bx+c=。的两根与、*2与其“友好方程"c/+bx+a=0的两根为、M之间存在的一种特殊关系为，证明你的结论.(3)已知关于x的方程2021/+就一1=0的两根是xi=-l,x2=表.请利用(2)中的结论，求出关于x的方程(x-l)2-bx+b=2021的两根.答案和解析.【答案】B【解析】解：A、•••四边形ABCO是平行四边形，AB=BC,.rABCO是菱形，故选项A不符合题意；8、•••四边形A8CO是平行四边形，AC=BD,ABC。是矩形，故选项B符合题意；C、•••四边形A8C。是平行四边形，ACLBD,二。A8CO是菱形，故选项C不符合题意；。、由四边形ABC。是平行四边形，^OAB=60°,不能判定nABCO是矩形，故选项。不符合题意；故选：B.由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可.本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质等知识；熟记“对角线相等的平行四边形为矩形”是解题的关键..【答案】D【解析】解：•••正方形的面积为8,•••正方形的边长为29，则正方形的对角线=J(2&)2+(2V2)2=4.故选：D.根据正方形的面积为8,可得出正方形的边长为2夜，继而利用勾股定理可得出正方形的对角线长度.此题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键有两点，①求出正方形的边长，②利用勾股定理求对角线的长度，难度一般..【答案】D【解析】解：该方程的一次项系数为-3,故选：D.根据一元二次方程的一般式即可求出答案.本题考查…元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型..【答案】4【解析】解：4方程*2+》+3=0中4=12-4xlx3=-ll<0,此方程无实数根；及方程/+2x+1=0中/=22-4x1x1=0,此方程有两个相等的实数根：C方程/-2=0中4=()2-4x1x(-2)=8>0,此方程有两个不相等的实数根；。.方程/-2%-3=0中/=(-2)z-4x1x(-3)=16>0,此方程有两个不相等的实数根：故选：A.分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案.本题主要考查根的判别式，一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的根与A=b2-4ac有如下关系:①当4>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当4=0时，方程有两个相等的两个实数根：③当4<0时，方程无实数根..【答案】A【解析】解：•••四边形ABC。是菱形，OA=OC,OB=OD,ACJLBD,vDH1AB,：.4BHD=90",••BD=2OH,vOH=2,:.BD=4»%,OA=3,•AC=6»••菱形ABCD的面积=\AC-80=1x6x4=12.故选：A.由RtZkB/7。中，点。是80的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH=2,则，BD=4,由菱形对角线的性质可得4c=6,应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案.本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键..【答案】A【解析】解：「a，b是一元二次方程2/一3x-6=0的两个实数根，3t•e•g4~D=—,db=-31.•.点A的坐标为点,0),点B的坐标为(0,-3).设直线/的函数表达式为y=mx+n(m*0),将4《,0),8(0,-3)代入》=机＞:+«,得：［lm+n=0,/ tn=-3解得：｛二二［3'・,・直线/的函数表达式为y=2x-3.故选：A.利用根与系数的关系可得出a+b=l，ab=-3,进而可得出点A,B的坐标，由点A,8的坐标，利用待定系数法即可求出直线/的函数表达式，此题得解.本题考查了根与系数的关系以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键..【答案】=90。【解析】解：•••一个角是90。的平行四边形是矩形，添加乙4=90°.故答案为：Z-A=90°.根据矩形的判定定理即可得出结论.本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形..【答案】ar=0,a2=3【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.先移项，然后通过提取公因式法对等式的左边进行因式分解并解方程.【解答】解：由原方程，得a(a-3)=0,则a=0或a—3=0,解得的=0.a2=3.故答案是：%=0,a2=3..【答案】9.6

【解析】解：如图，连接AC交8。于点G,连接40,•••四边形A8CO是菱形，AC1BD,AB=AD=10,BG= =8,根据勾股定理得：AG=AB2—BG2=V102—82=6,•••S^abd=S&aob+S^aod»-AG=^AB-OE+^AD-OF,:.16x6=10OE+100Ff・•・OE+OF=9.6.故答案为：9.6.连接AC交BD于点G,连接AO,根据菱形的性质可求出AG的长，再根据面积法即可求出0E+OF的值.本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质和三角形面积公式..【答案】289(1-x)2=256【解析】【分析】此题主要考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为。，变化后的量为6,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(l±x)2=b.设平均每次的降价率为x,则经过两次降价后的价格是289(l-x)2,根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289(1-x)2=256.【解答】解：设平均每次降价的百分率为x,则第一降价售价为289(1-x),则第二次降价为289(1-x)2,由题意得：289(1-x)2=256.故答案为289(1-幻2=256..【答案】3V2【解析】解：如图，过点。作CE1DP交BC的延长线于E, 牛々^二....、七TOC\o"1-5"\h\zv/.ADC=/.ABC=900, / 〜iC.♦.四边形。PBE是矩形， /vZ.CDE+Z.CDP=90",Z.ADC=90",/.ADP+Z.CDP=90°, Ap 七・•・Z.ADP=乙CDE,・・・DPLAB,・・・Z,APD=90°,/.APD=ne=90",在△AWlUCDE中，(ZADP=Z.CDE{Z.APD=乙E,(AD=CDADPgACDE(AAS),DE=DP,四边形ABC。的面积=四边形。尸BE的面积=18,•••矩形。PBE是正方形，:.DP=V18=3V2.故答案为：30.过点。作CEJ.CP交BC的延长线于E,先判断出四边形OPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出NADP=NCCE,再利用“角角边”证明A/IDP和△CCE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CP,然后判断出四边形OP8E是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可.本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键.12.【答案】①②③④【解析】解：「a、c异号，aH0,•・ac<0,•・A=b2-4ac>0,••方程一定有两个实数根，所以①正确；vb2>5ac,aA=b2-4ac>0.••方程一定有两个实数根，所以②正确；••b=a+c,A=b2—4ac=(a+c)2—4ac=(a—c)2>0>方程一定有两个实数根，所以③正确；若a=1,b=2,c=—3,根据根与系数的关系可得与+次=一，=-2,xtx2=^=3,所以④正确.故答案为：①②③④.利用根的判别式的意义对①②③进行判断；根据根与系数的关系对④进行判断.本题考查了根与系数的关系：若与，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aH0)的两根，Xl+x2=/小=£•也考查了根的判别式.a a13.【答案】解：(1)vZ-DAB=90°,ZD=36°,zB=90°-36°=54°,%•Z.BAD=90°,。为DB中点,・•・AO=OB,••Z-BAO=乙B=54°；v1☆%=2,%2—x=2,ax2-x-2=0,.%(%—2)(x+1)=0,：,x—2=0或无+1=0,:.x=2或％=-1.【解析】(1)首先利用三角形内角和定理得MB的度数，再利用直角三角形斜中定理可得答案；(2)根据定义得一一％=2,再解方程即可.本题主要考查了直角三角形的性质，实数的运算，解方程等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键..【答案】解：(1)/一4%+3=0,(x-3)(%-1)=0,解得：=3,%2~1；(2)(x-2)2-6(%—2)+8=0,(x-2-2)(%-2-4)=0,(%-4)(%-6)=0,解得：匕=4,孙=6.【解析】(1)将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；(2)将2看作整体，利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案.本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键..【答案】解：・.•四边形A8CO是正方形，OA=OC,OD=OB,EF1BD,vAE=CF,OE=OA-AE,OF=OC-CF,OE=OF,•••四边形BEC尸是菱形，"AB=4近，AE=2,•••OB=0A=4,OE=OA-AE=4-2=2,•••BE=yJOE2+OB2=V42+22=2z，四边形的周长=4BE=4x2西=8的，【解析】容易证明四边形尸是菱形，利用所给的条件，求出8E的值，即可求出四边形8EZJF的周长.本题考查了正方形性质及菱形性质的综合应用，综合性比较强，难度适中..【答案】2x(50-X)【解析】解：(1)设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利(50-乃元,故答案为：2x,(50-x).(2)由题意得：(50-x)(30+2x)=2000,化简得：X2—35x+250=0,解得：Xi=10,亚=25,••・该商场为了尽快减少库存，则x=10不合题意，舍去，x=25,答：每件商品降价25元，商场日盈利可达2000元；(1)分别表示出增加的件数和盈利的金额即可；(2)日盈利=每件商品盈利的钱数x(原来每天销售的商品件数30+2x降价的钱数)，把相关数值代入求解即可.此题主要考查了一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键..【答案】解：(1)如图甲，点Ei为所作；(2)如图乙，点Ez为所作.【解析】(1)连接AC、BD,它们相交于。点，连接E0并延长交BC于Ei点；(2)延长M。交BC于N点，再连接DMCM,它们相交于P点，接着延长E】P交A。于尸点，然后延长尸0交BC于E2点.本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了矩形的性质..【答案】(1)证明：:a=1,b=-m,c=m-2,ab2—4ac=(-Tn)2_4x1x8(m-2)=m2—47n+8=(m-2)2+4,v(m-2)2>0,(m-2)2+4>0,即4>0,••・不论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；(2)解：设方程的另一个为f,根据题意得，2+t=m,2t=m—2,2+t-2t=2,解得t=0,m=2,••.m的值为2,另一个根为0.【解析】(1)先计算判别式的值得到4=(m-2/+4,然后根据判别式的意义得到结论；(2)设方程的另一个为3利用根与系数的关系得到2+t=m,2t=m-2,然后解方程组即可.本题考查了根与系数的关系：若X],%2是一元二次方程。产+以+。=0(0!片0)的两根时，Xi+X2= X/2=£.也考查了判别式的意义.a a19.【答案】证明：(1)：AB=BC,BOLAC,•••AO=CO,AD=CD,又「OE=OD,四边形4OCE是平行四边形，vAD=CD,•••平行四边形AOCE是菱形；•••菱形A3CE的周长为20,AE=AD=CD=CE=5>v4c与OE的和等于14,:.AO+0E=7,vAO2+OE2=AE2,(7-0E)2+OE2=25,OE=4,或OE=3,:,OE=8或6,:.AC=6或8,•••菱形ADCE的面积=|x6x8=5d,,24d=5【解析】(1)由线段垂直平分线的性质可得4。=CO,AD=CD,由菱形的判定可得结论;(2)利用勾股定理先求AC,的值，由面积法可求d的值.本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的面积的两种求法是解题的关键.20.【答案】解：(1)・.,四边形ABC。是正方形，・・OA=OB,Z.DAO=45°,Z.OBA=45°,・・乙0AM=M)BN=135°,%•Z-EOF=90°,Z.AOB=90°,•・Z.AOM=乙BON,•••△04"Zi0BN(4S4),•・OM=ON；(2)如图，过点。作。HlAD于点”，M.•正方形的边长为6,OH=HA=3,•••E为OM的中点，HM=6,则OM=V32+62=3瓜MN=\[2OM=3V10.【解析】(1)证aOAM丝AOBN即可得；(2)作。H1AC,由正方形的边长为6且E为OM的中点知0H=H4=3、HM=6,再根据勾股定理得OM=3的，由直角三角形性质知MN=&OM.本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质..【答案】解：(1)设今年2月该酒店A种房间入住了x间，则B种房间入住了(120—x)间，依题意得：200%+300(120-x)=28000,解得：x=80.答：今年2月该酒店A种房间入住了80间.(2)依题意得：(200-2a)x80(1+|a%)+300(1-a%)x(120-80)(1+|a%)=28000(1+a%),整理得：7a2-140a=0,解得：ar=20,。2=0(不合题意，舍去).答:a的值为20.［解析】(1)设今年2月该酒店A种房间入住了x间，则B种房间入住了(120-x)间，根据总营业额=每个房间的单价X入住数量，即可得出关于X的一元一次方程，解之即可得出结论；(2)根据总营业额=每个房间的单价x入住数量，结合3月总营业收入在2月的基础上增加了a%,即可得出关于。的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程..【答案】(1)证明：4DFB=90°,vZ.ACB=90°,:.Z.ACB=Z.DFB,:.AC"DE,MN//AB,即CE〃4C,••四边形AOEC是平行四边形，••CE=4D：(2)四边形BECO是菱形，理由如下：v。为中点，:.AD=BD,：CE-AD,aBD=CE,••BD//CE,••・四边形BECD是平行四边形，vZ.ACB=90",。为AB中点，CD=^AB=BD,•••四边形8ECO是菱形：(3)当△4BC是等腰直角三角形时，四边形BECO是正方形；理由如下：v乙ACB=90°,当△ABC是等腰直角三角形，•••。为AB的中点，CD1AB,乙CDB=90°,四边形BECQ是正方形.【解析】【试题解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、正方形的判定、菱形的判定、直角