机械制图平面的投影

5.1平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线●●●●●●abcabc平面图形1、用几何元素表示平面122、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQVQHQHQVQ3平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性二、平面的投影特性4⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜正垂面侧垂面铅垂面正平面侧平面水平面51）投影面垂直面铅垂面正垂面侧垂面6VWHPPH铅垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abc为ABC的类似形3、abc与OX、OY的夹角反映、角的真实大小

ABCacbababbaccc7VWHQQV

正垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abcABC的类似形3、abc与OX、OZ的夹角反映α、角的真实大小

αababbacccAcCabB8VWHSWS

侧垂面投影特性：1、abc积聚为一条线2、abc、abc为

ABC的类似形3、abc与OZ、OY的夹角反映α、β角的真实大小

CabABcabbbaaαβccc9abcacbcba类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？γβ是什么位置的平面？102））投投影影面面平平行行面面水平平面面正平平面面侧平平面面11VWH水平平面面投影影特特性性：：1、、abc、abc积聚聚为为一一条条线线积积聚聚为为一一条条线线，，具具有有积积聚聚性性2、、水水平平投投影影abc反映映ABC实形形CABabcbacabccabbbaacc12正平平面面VWH投影影特特性性：：1、、abc、abc积聚聚为为一一条条线线，，具具有有积积聚聚性性2、、正正平平面面投投影影abc反映映ABC实形形cabbacbcabacabcbcaCBA13投影影特特性性：：1、、abc、abc积聚聚为为一一条条线线，，具具有有积积聚聚性性2、、侧侧平平面面投投影影abc反映映ABC实形形侧平平面面VWHabbbacccabcbacabcCABa14abcabcabc积聚聚性性积聚聚性性实形形性性水平平面面投影影特特性性：：在它它所所平平行行的的投投影影面面上上的的投投影影反反映映实实形形。。另两两个个投投影影面面上上的的投投影影分分别别积积聚聚成成与与相相应应的的投投影影轴轴平平行行的的直直线线。。153））一一般般位位置置平平面面16一般般位位置置平平面面投影影特特性性1、、abc、、abc、abc均为为ABC的的类类似似形形2、、不不反反映映、、的真真实实角角度度abcbacababbaccbacCAB17判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平平面面上上取取任任意意直直线线三、、平平面面上上的的直直线线和和点点1819abcbcaabcbcadmnnmd例1：：已已知知平平面面由由直直线线AB、、AC所所确确定定，，试试在在平平面面内内任任作作一一条条直直线线。。解法法一一解法法二二根据据定定理理二二根据据定定理理一一有多少解？有无无数数解解。。20例2：：在在平平面面ABC内内作作一一条条水水平平线线，，使使其其到到H面面的的距距离离为为10mm。。nmnm10cabcab唯一一解解！！有多少解？21⒉平平面面上上取取点点22先找找出出过过此此点点而而又又在在平平面面内内的的一一条条直直线线作作为为辅辅助助线线，，然然后后再再在在该该直直线线上上确确定定点点的的位位置置。。例1：：已已知知K点点在在平平面面ABC上上，，求求K点点的的水水平平投投影影。。b①accakb●k●面上上取取点点的的方方法法：：首先先面面上上取取线线②●abca’bkcdk●d利用用平平面面的的积积聚聚性性求求解解通过过在在面面内内作作辅辅助助线线求求解解23例题题2已已知知ABC给定定一一平平面面，，试试判判断断点点D是否否属属于于该该平平面面。。ddabcabcee24bckadadbcadadbckbc例3：：已已知知AC为为正正平平线线，，补补全全平平行行四四边边形形ABCD的的水水平平投投影影。。解法法一一解法法二二253、、平平面面上上的的投投影影面面平平行行线线一般般位位置置平平面面上上存存在在一般般位位置置直直线线和投影影面面平平行行线线，不不存存在在投投影影面面垂垂直直线线。。2627abcbac例题题已已知知ABC给定定一一平平面面，，试试过过点点C作属属于于该该平平面面的的正正平平线线，，过过点点A作属属于于该该平平面面的的水水平平线线。mnnm28例：在平面ABC上取一一点K，使点点K在点A之之下15mm、在点A之之前20mm处。295.2圆的投影圆的投影特性性：1、圆平面在在所平行投影影面上的投影影反映实形；；2、圆平面在在所垂直的投投影面上的投投影是直线，，其长度等于于圆的直径；；3、圆平面在在所倾斜的投投影面上的投投影是椭圆。。其长轴是圆圆的平行于这这个投影面的的直径的投影影；短轴是圆圆的与上述直直径垂直的直直径的投影；；305.3直线与平面及及两平面的相相对位置相对位置包括括平行、相交和垂直。一、平行问题题直线与平面平平行平面与平面平平行包括⒈直线与平平面平行定理：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。31n●●acbmabcmn例1：过M点点作直线MN平行于平面面ABC。有无数解有多少解？32正平线例2：过M点点作直线MN平行于V面面和平面ABC。c●●bamabcmn唯一解n33例题3试试判判断直线AB是否平行于定定平面fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平平面34⒉两平面平行①若一平面面上的两相交直线对应平行于另另一平面上的的两相交直线，则这两平面面相互平行。。②若两投影面垂直面面相互平行，则则它们具有积聚性的那组投影必必相互平行。。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef35例题1试试判判断两平面是是否平行fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面面平行36例题2已已知定平面面由平行两直直线AB和CD给定。试过点点K作一平面平行行于已知平面面。emnmnfefsrsrddcaacbbkk37二、相交问题题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与与平面相交直线与平面相相交，其交点是直线与与平面的共有有点。要讨论的问题题：●求直线与平面的的交点。●判别两者之间间的相互遮挡挡关系，即判别可见性。。我们只讨论直直线与平面中中至少有一个个处于特殊位位置的情况。3839abcmncnbam⑴平面为为特殊位置置例：求直线线MN与平平面ABC的交点K并判别可可见性。空间及投影影分析平面ABC是一铅垂垂面，其水水平投影积积聚成一条条直线，该该直线与mn的交点点即为K点点的水平投投影。①求交交点②判别别可见性由水平投影影可知，KN段在平平面前，故故正面投影影上kn为可见。还可通过重重影点判别别可见性。。k●1(2)作图k●●2●1●4041km(n)b●mncbaac⑵直线为为特殊位置置空间及投影影分析直线MN为为铅垂线，，其水平投投影积聚成成一个点，，故交点K的水平投投影也积聚聚在该点上上。①求交点点②判别可可见性点Ⅰ位于平平面上，在在前；点ⅡⅡ位于MN上，在后后。故k2为不可见。。1(2)k●2●1●●作图用面上取点点法42⒉两平平面相交两平面相交交其交线为为直线，交线是两平平面的共有有线，同时交线上的点点都是两平平面的共有有点。要讨论的问问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两两平面的两个共有点点。⑵确定一个共有点点及交线的的方向。只讨论两平平面中至少少有一个处处于特殊位位置的情况况。②判别两两平面之间间的相互遮遮挡关系，，即：判别可见性性。43可通过正面面投影直观观地进行判判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正正面投影都都积聚成直直线。交线必为一一条正垂线线，只要求得交交线上的一一个点便可可作出交线线的投影。。①求交线线②判别可可见性作图从正面投影影上可看出出，在交线线左侧，平平面ABC在上，其其水平投影影可见。n●m●●能否不用重影点判别？能!如何判别？？例：求两平平面的交线线MN并判判别可见性性。⑴4445bcfhaeabcefh1(2)空间及投影影分析平面EFH是一水平平面，它的的正面投影影有积聚性性。ab与ef的交点m、bc与fh的交点n即为两个共共有点的正正面投影，，故mn即MN的正正面投影。①求交交线②判别别可见性点Ⅰ在FH上，点ⅡⅡ在BC上上，点Ⅰ在上，，点Ⅱ在下下，故fh可见，n2不可见见。作图m●●n●2●n●m●1●⑵46cdefababcdef⑶投影分析N点的水平平投影n位位于Δdef的外面面，说明点点N位于ΔΔDEF所所确定的平平面内，但但不位于ΔΔDEF这这个图形内内。所以ΔABC和ΔDEF的交交线应为MK。n●n●m●k●m●k●互交47小结结重点掌握二、如何在在平面上确确定直线和和点。三、两平面面平行的条条件一定是是分别位于于两平面内内的两组相交直直线对应平平行。四、直线与与平面的交交点及平面面与平面的的交线是两两者的共有有点或共有有线。解题思路：：★空间及投投影分析目的是找出出交点或交交线的已知知投影。★判别可见见性尤其是如何利用重重影点判别别。一、平面的的投影特性性，尤其是特殊殊位置平面面的投影特特性。48要点一、各种位位置平面的的投影特性性⒈一般位位置平面⒉投影面面垂直面⒊投影面面平行面三个投影为为边数相等等的类似多多边形———类似性。在其垂直的的投影面上上的投影积积聚成直线线——积聚性。另外两个投投影类似。。在其平行的的投影面上上的投影反反映实形———实形性。另外两个投投影积聚为为直线。49二、平面上上的点与直直线⒈平面上的点一定位于平面内的某条直线上⒉平面上的直线⑴过平面上的两个点。⑵过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问问题⒈直线与与平面平行行直线平行于于平面内的的一条直线线。⒉两平面面平行必须是一个个平面上的的一对相交交直线对应应平行于于另一个个平面上的的一对相交交直线。50四、相交问问题⒈求直线线与平面的的交点的方方法⑴一般位位置直线与与特殊位置置平面求交交点，利用用交点的共共有性和平平面的积聚聚性直接求求解。⑵投影面面垂直线与与一般位置置平面求交交点，利用用交点的共共有性和直直线的积聚聚性，采取取平面上取取点的方法法求解。⒉求两平平面的交线线的方法⑴两特殊殊位置平面面相交，分分析交线的的空间位置置，有时可可找出两平平面的一个个共有点，，根据交线线的投影特特性画出交交线的投影影。⑵一般位位置平面与与特殊位置置平面相交交，可利用用特殊位置置平面的积积聚性找出出两平面的的两个共有有点，求求出交线。。51特殊位置线线面相交特殊位置线线面相交，，其交点的的投影可利利用直线或或平面的积聚性投影影直接求出。。（（l）当当直线为一一般位置，，平面的某某个投影具具有积聚性性时，交点点的一个投投影为直线线