偏微分课程课件5-双曲型方程的差分方法(II)

（二）一阶线性常系数方程组双曲型方程组：如果A的特征值是实的，并存在非奇异矩阵S使得对称双曲型方程组：A对称严格双曲型方程组：A的特征值是实的并且互不相同是A的特征值1（二）一阶线性常系数方程组双曲型方程组：如果A的特征值是实2讨论对象:一阶常系数线性双曲型方程组有两个相异的特征根取A的两个线性无关的特征向量作为S的列向量为严格双曲型微分方程组.非耦合系统22讨论对象:一阶常系数线性双曲型方程组有两个相异的特征根取3例如耦合系统非耦合系统即取33例如耦合系统非耦合系统即取3

1.Lax-Friedrichs格式

为P阶单位矩阵4

1.Lax-Friedrichs格式

为P阶单位矩阵4是A的特征值为格式稳定必要条件满足VonNeumann条件即时5是A的特征值为格式稳定必要条件满足VonNeumann条件66证明：由于为双曲型方程组，为Lax-Friedrichs格式稳定充分条件P33定理3.5为对角阵为稳定充要条件7证明：由于为双曲型方程组，为Lax-Friedrichs格式8证明：2.Lax-Wendroff格式8证明：2.Lax-Wendroff格式9用中心差商代替偏导数舍去截断误差,有LW差分格式.99用中心差商代替偏导数舍去截断误差,有LW差分格式.9

证明：仿Lax-Friedrichs格式的讨论。10

证明：仿Lax-Friedrichs格式的讨论。103.迎风格式不能直接推广，需化为特征形式

113.迎风格式不能直接推广，需化为特征形式

11VonNeumann条件满足12VonNeumann条件满足12为对角阵正规阵为对角阵正规阵（三）变系数方程及方程组1.变系数方程冻结系数法：简单实用非严格稳定性讨论用能量不等式方法：严格有技巧14（三）变系数方程及方程组1.变系数方程冻结系数法：简单实用非15151616a(x,t)>0见上图a(x,t)<0见下图17a(x,t)>0a(x,t)<0171818整理得:稳定性条件为:解冻系数,稳定性条件为:19整理得:稳定性条件为:解冻系数,稳定性条件为:19下面对L-F格式用能量分析法讨论稳定性；附加：能量分析法讨论稳定性(严格)20下面对L-F格式用能量分析法讨论稳定性；附加：能量分析法讨论212122222323稳定性条件为:24稳定性条件为:24Taylor展开：25Taylor展开：25代入Taylor展开式,于是有26代入Taylor展开式,于是有26得到：略去高阶项得到差分方程：Lax-Wendroff格式27得到：略去高阶项得到差分方程：Lax-Wendroff格式2282.变系数方程组(自学)282.变系数方程组（四）二阶双曲型方程（以波动方程为代表）1.波动方程的初值问题c为常数D’Alembert公式29（四）二阶双曲型方程（以波动方程为代表）1.波动方程的初值问波动方程化为一阶双曲型方程组初始条件30波动方程化为一阶双曲型方程组初始条件302.波动方程的显格式

精度不匹配312.波动方程的显格式

精度不匹配31为匹配精度，采用虚拟节点32为匹配精度，采用虚拟节点32等价的一阶方程组稳定性33(推导详见后页)等价的一阶方程组稳定性33(推导详见后页)3434是否为稳定充分条件？为稳定必要条件见P6335是否为稳定充分条件？为稳定必要条件见P633536定理3.7（1）定理3.7（2）36定理3.7（1）定理3.7（2）3737偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)3.波动方程差分格式的C.F.L条件AB为差分格式解在P点的依赖区域，DE为微分方程解在P点的依赖区域。DA，BE处初值的变化无法影响差分格式的解，因此差分格式的解不会收敛到微分方程的解。403.波动方程差分格式的C.F.L条件AB为差分格式解在P点的微分方程依赖区域为特征线依赖区间在t=0所截区间41微分方程依赖区域为特征线依赖区间在t=0所截区间41依赖区间按前面两种边界离散方式，第n层差分格式的解依赖初始函数f(x),g(x)在点集上的初值依赖区域为过点的两条直线与x轴相交而得其中差分方程依赖区域:42依赖区间按前面两种边界离散方式，上的初值依赖区域为过点的两条时不稳定(Page63)43时不稳定(Page63)434.波动方程的等价方程组的差分格式一阶双曲型方程的各种格式均可使用，如4.波动方程的等价方程组的差分格式一阶双曲型方程的各种格式均45454646课堂练习P817.试构造求解方程组的迎风格式.(Page71)47课堂练习P8147（二）一阶线性常系数方程组双曲型方程组：如果A的特征值是实的，并存在非奇异矩阵S使得对称双曲型方程组：A对称严格双曲型方程组：A的特征值是实的并且互不相同是A的特征值48（二）一阶线性常系数方程组双曲型方程组：如果A的特征值是实49讨论对象:一阶常系数线性双曲型方程组有两个相异的特征根取A的两个线性无关的特征向量作为S的列向量为严格双曲型微分方程组.非耦合系统492讨论对象:一阶常系数线性双曲型方程组有两个相异的特征根取50例如耦合系统非耦合系统即取503例如耦合系统非耦合系统即取3

1.Lax-Friedrichs格式

为P阶单位矩阵51

1.Lax-Friedrichs格式

为P阶单位矩阵4是A的特征值为格式稳定必要条件满足VonNeumann条件即时52是A的特征值为格式稳定必要条件满足VonNeumann条件536证明：由于为双曲型方程组，为Lax-Friedrichs格式稳定充分条件P33定理3.5为对角阵为稳定充要条件54证明：由于为双曲型方程组，为Lax-Friedrichs格式55证明：2.Lax-Wendroff格式8证明：2.Lax-Wendroff格式56用中心差商代替偏导数舍去截断误差,有LW差分格式.569用中心差商代替偏导数舍去截断误差,有LW差分格式.9

证明：仿Lax-Friedrichs格式的讨论。57

证明：仿Lax-Friedrichs格式的讨论。103.迎风格式不能直接推广，需化为特征形式

583.迎风格式不能直接推广，需化为特征形式

11VonNeumann条件满足59VonNeumann条件满足12为对角阵正规阵为对角阵正规阵（三）变系数方程及方程组1.变系数方程冻结系数法：简单实用非严格稳定性讨论用能量不等式方法：严格有技巧61（三）变系数方程及方程组1.变系数方程冻结系数法：简单实用非62156316a(x,t)>0见上图a(x,t)<0见下图64a(x,t)>0a(x,t)<0176518整理得:稳定性条件为:解冻系数,稳定性条件为:66整理得:稳定性条件为:解冻系数,稳定性条件为:19下面对L-F格式用能量分析法讨论稳定性；附加：能量分析法讨论稳定性(严格)67下面对L-F格式用能量分析法讨论稳定性；附加：能量分析法讨论682169227023稳定性条件为:71稳定性条件为:24Taylor展开：72Taylor展开：25代入Taylor展开式,于是有73代入Taylor展开式,于是有26得到：略去高阶项得到差分方程：Lax-Wendroff格式74得到：略去高阶项得到差分方程：Lax-Wendroff格式2752.变系数方程组(自学)282.变系数方程组（四）二阶双曲型方程（以波动方程为代表）1.波动方程的初值问题c为常数D’Alembert公式76（四）二阶双曲型方程（以波动方程为代表）1.波动方程的初值问波动方程化为一阶双曲型方程组初始条件77波动方程化为一阶双曲型方程组初始条件302.波动方程的显格式

精度不匹配782.波动方程的显格式

精度不匹配31为匹配精度，采用虚拟节点79为匹配精度，采用虚拟节点32等价的一阶方程组稳定性80(推导详见后页)等价的一阶方程组稳定性33(推导详见后页)8134是否为稳定充分条件？为稳定必要条件见P6382是否为稳定充分条件？为稳定必要条件见P633583定理3.7（1）定理3.7（2）36定理3.7（1）定理3.7（2）8437偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)3.波动方程差分格式的C.F.L条件AB为差分格式解在P点的依赖区域，DE为微分方程解在P点的依赖区域。DA，BE处初值的变化无法影响差分格式的解，因此差分格式的解不会收敛到微分方程的解。873.波动方程差分格式的C.F.L条件AB为差分格式解在P点的微分方程依赖区域为特征线依赖区间在t=0所截区间88微分方程依赖区域为特征线依赖区间在t=0所截区间41依赖区间按前面两种边界离散方式，第n层差分格式的解依赖初始函数f(x),g(x)在点集上的初值依赖区域为过点