经济数学微分方程习题课教案课件

会计学1经济数学微分方程习题课会计学1经济数学微分方程习题课微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法变量代换法常数变易法特征方程法待定系数法降阶作变换第1页/共69页微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法变量代换法常数变易基本概念一阶方程n阶常系数线性方程二阶方程一、主要内容——差分方程特征方程的根及其对应项f(x)的形式及特解形式代入法特征根法待定系数法线性方程解的结构相关定理特征方程的根及其对应项f(x)的形式及特解形式特征方程法待定系数法第2页/共69页基本概念一阶方程n阶常系数线性二阶方程一、主要内容——差分方差分方程解题思路一阶方程二阶方程代入法特征根法特征方程法待定系数法第3页/共69页差分方程解题思路一阶方程二阶方程代入法特征根法特征方程法待定1.微分基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．第4页/共69页1.微分基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．第5页/共69页通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2.一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换第6页/共69页(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2.一阶微分方(3)一阶线性微分方程上述方程称为齐次的．上述方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为（用常数变易法）第7页/共69页(3)一阶线性微分方程上述方程称为齐次的．上述方程称为非3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点

型接连积分n次，得通解．

型解法代入原方程,得第8页/共69页3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通特点

型解法代入原方程,得４.线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:第9页/共69页特点型解法代入原方程,得４.线性微分方程解的结构（1）（2）二阶非齐次线性方程解的结构:第10页/共69页（2）二阶非齐次线性方程解的结构:第10页/共69页第11页/共69页第11页/共69页５.二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.第12页/共69页５.二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系特征方程为第13页/共69页特征方程为第13页/共69页６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法

待定系数法.第14页/共69页６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程第15页/共69页第15页/共69页差分的定义7.差分方程基本概念第16页/共69页差分的定义7.差分方程基本概念第16页/共69页第17页/共69页第17页/共69页差分方程与差分方程的阶定义1第18页/共69页差分方程与差分方程的阶定义1第18页/共69页定义2第19页/共69页定义2第19页/共69页差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解第20页/共69页差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的差分方程为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件差分方程的特解第21页/共69页为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式8.常系数线性差分方程解的结构第22页/共69页n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分n阶常系数齐次线性差分方程解的结构第23页/共69页n阶常系数齐次线性差分方程解的结构第23页/共69页（是任意常数）

第24页/共69页（是任意常数）第25页/共69页第25页/共69页9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解第26页/共69页9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解第26页/共69页第27页/共69页第27页/共69页第28页/共69页第28页/共69页特征方程特征根第29页/共69页特征方程特征根第29页/共69页10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解第30页/共69页10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解第30页/共69页第31页/共69页第31页/共69页(1)(2)综上讨论第32页/共69页(1)(2)综上讨论第32页/共69页第33页/共69页第33页/共69页(1)第34页/共69页(1)第34页/共69页(2)第35页/共69页(2)第35页/共69页第36页/共69页第36页/共69页11.二阶常系数齐次线性差分方程的求解第37页/共69页11.二阶常系数齐次线性差分方程的求解第37页/共69页(2)第二种情形(1)第一种情形第38页/共69页(2)第二种情形(1)第一种情形第38页/共69页(3)第三种情形第39页/共69页(3)第三种情形第39页/共69页第40页/共69页第40页/共69页12.二阶常系数非齐次线性差分方程的求解第41页/共69页12.二阶常系数非齐次线性差分方程的求解第41页/共69页第42页/共69页第42页/共69页第43页/共69页第43页/共69页第44页/共69页第44页/共69页第45页/共69页第45页/共69页二、典型例题例1解原方程可化为第46页/共69页二、典型例题例1解原方程可化为第46页/共69页代入原方程得分离变量两边积分所求通解为第47页/共69页代入原方程得分离变量两边积分所求通解为第47页/共69页例2解原式可化为原式变为对应齐次方通解为一阶线性非齐次方程伯努利方程第48页/共69页例2解原式可化为原式变为对应齐次方通解为一阶线性非齐次方程伯代入非齐次方程得原方程的通解为利用常数变易法第49页/共69页代入非齐次方程得原方程的通解为利用常数变易法第49页/共69例3解代入方程，得故方程的通解为第50页/共69页例3解代入方程，得故方程的通解为第50页/共69页例4解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为第51页/共69页例4解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为第原方程的一个特解为故原方程的通解为第52页/共69页原方程的一个特解为故原方程的通解为第52页/共69页由解得所以原方程满足初始条件的特解为第53页/共69页由解得所以原方程满足初始条件的特解为第53页/共69页例5解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为第54页/共69页例5解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为第54由解得第55页/共69页由解得第55页/共69页故原方程的通解为由即第56页/共69页故原方程的通解为由即第56页/共69页例6解（１）由题设可得：解此方程组，得第57页/共69页例6解（１）由题设可得：解此方程组，得第57页/共69页（２）原方程为由解的结构定理得方程的通解为第58页/共69页（２）原方程为由解的结构定理得方程的通解为第58页/共69页测验题第59页/共69页测验题第59页/共69页第60页/共69页第60页/共69页第61页/共69页第61页/共69页第62页/共69页第62页/共69页第63页/共69页第63页/共69页第64页/共69页第64页/共69页第65页/共69页第65页/共69页第66页/共69页第66页/共69页测验题答案第67页/共69页测验题答案第67页/共69页第68页/共69页第68页/共69页感谢您的观看！第69页/共69页感谢您的观看！第69页/共69页会计学71经济数学微分方程习题课会计学1经济数学微分方程习题课微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法变量代换法常数变易法特征方程法待定系数法降阶作变换第1页/共69页微分方程解题思路一阶方程高阶方程分离变量法变量代换法常数变易基本概念一阶方程n阶常系数线性方程二阶方程一、主要内容——差分方程特征方程的根及其对应项f(x)的形式及特解形式代入法特征根法待定系数法线性方程解的结构相关定理特征方程的根及其对应项f(x)的形式及特解形式特征方程法待定系数法第2页/共69页基本概念一阶方程n阶常系数线性二阶方程一、主要内容——差分方差分方程解题思路一阶方程二阶方程代入法特征根法特征方程法待定系数法第3页/共69页差分方程解题思路一阶方程二阶方程代入法特征根法特征方程法待定1.微分基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．第4页/共69页1.微分基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．第5页/共69页通解如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2.一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换第6页/共69页(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2.一阶微分方(3)一阶线性微分方程上述方程称为齐次的．上述方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为（用常数变易法）第7页/共69页(3)一阶线性微分方程上述方程称为齐次的．上述方程称为非3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点

型接连积分n次，得通解．

型解法代入原方程,得第8页/共69页3.可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通特点

型解法代入原方程,得４.线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:第9页/共69页特点型解法代入原方程,得４.线性微分方程解的结构（1）（2）二阶非齐次线性方程解的结构:第10页/共69页（2）二阶非齐次线性方程解的结构:第10页/共69页第11页/共69页第11页/共69页５.二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.第12页/共69页５.二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系特征方程为第13页/共69页特征方程为第13页/共69页６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法

待定系数法.第14页/共69页６.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程第15页/共69页第15页/共69页差分的定义7.差分方程基本概念第16页/共69页差分的定义7.差分方程基本概念第16页/共69页第17页/共69页第17页/共69页差分方程与差分方程的阶定义1第18页/共69页差分方程与差分方程的阶定义1第18页/共69页定义2第19页/共69页定义2第19页/共69页差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解第20页/共69页差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的差分方程为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件差分方程的特解第21页/共69页为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式8.常系数线性差分方程解的结构第22页/共69页n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分n阶常系数齐次线性差分方程解的结构第23页/共69页n阶常系数齐次线性差分方程解的结构第23页/共69页（是任意常数）

第24页/共69页（是任意常数）第25页/共69页第25页/共69页9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解第26页/共69页9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解第26页/共69页第27页/共69页第27页/共69页第28页/共69页第28页/共69页特征方程特征根第29页/共69页特征方程特征根第29页/共69页10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解第30页/共69页10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解第30页/共69页第31页/共69页第31页/共69页(1)(2)综上讨论第32页/共69页(1)(2)综上讨论第32页/共69页第33页/共69页第33页/共69页(1)第34页/共69页(1)第34页/共69页(2)第35页/共69页(2)第35页/共69页第36页/共69页第36页/共69页11.二阶常系数齐次线性差分方程的求解第37页/共69页11.二阶常系数齐次线性差分方程的求解第37页/共69页(2)第二种情形(1)第一种情形第38页/共69页(2)第二种情形(1)第一种情形第38页/共69页(3)第三种情形第39页/共69页(3)第三种情形第39页/共69页第40页/共69页第40页/共69页12.二阶常系数非齐次线性差分方程的求解第41页/共69页12.二阶常系数非齐次线性差分方程的求解第41页/共69页第42页/共69页第42页/共69页第43页/共69页第43页/共69页第44页/共69页第44页/共69页第45页/共69页第45页/共69页二、典型例题例1解原方程可化为第46页/共69页二、典型例题例1解原方程可化为第46页/共69页代入原方程得分离变量两边积分所求通解为第47页/共69页代入原方程得分离变量两边积分所求通解为第47页/共69页例2解原式可化为原式变为对应齐次方通解为一阶线性非齐次方程伯努利方程第48页/共69页例2解原式可化为原式变为对应齐次方通解为一阶线性非齐次方程伯代入非齐次方程得原方程的通解为利用常数变易法第49页/共69页代入非齐次方程得原方程的通解为利用常数变易法第49页/共69例3解代入方程，得故方程的