画法几何与工程制图之线面关系培训课件

2.4直线与平面以及

两平面的相对位置2.4.3直线与平面以及两平面垂直2.4.1直线与平面以及两平面平行2.4.2直线与平面以及两平面相交2.4.4点、直线、平面的综合作图题示例12/19/202212.4直线与平面以及

两平面的相对位置2.4.3直线与平2.4.1直线与平面以及两平面平行平面外的直线与该平面平行的几何条件是：这条直线平行于该平面上的一条直线。1.直线与平面以及两平面平行的几何条件两平面平行的几何条件是：一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线。当平面为一般位置时，常用上述几何条件来检验或求解有关直线与平面以及两平面平行的问题。12/19/202222.4.1直线与平面以及两平面平行平面外的直线与该平面平行［例题2.27］如图2.60a所示，已知直线AB、△CDE、点P的两面投影，检验直线AB是否平行于△CDE，并过点P作平行于△CDE的平面。图2.60检验AB是否平行△CDE，过P作平面平行△CDE(a)已知条件(b)检验、作图过程和作图结果［解］①检验AB是否平行△CDE过c作cf∥ab，由f引投影连线，与d′e′交得f′，连c′与f′。因c′f′∥a′b′，则CF∥AB，所以AB∥△CDE。②过P作平面平行△CDE过p作pq∥cd，p′q′∥c′d′；过p′作pr∥ce，p′r′∥c′e′，那么两相交直线PQ、PR所确定的平面，就是所求作的过点P且平行于△CDE的平面。12/19/20223［例题2.27］如图2.60a所示，已知直线AB、△CDE、2.当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性投影特性：直线与平面的同面投影都有积聚性，或直线的投影与平面的有积聚性的同面投影互相平行。当平面为特殊位置时，两平面相平行的投影特性是：它们的有积聚性的同面投影互相平行。图2.61当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性12/19/202242.当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性投［例题2.28］如图2.62a所示，已知点G和处于铅垂位置的矩形平面ABCD，以及直线EF的正面投影e′f′和端点E的水平投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD。补全EF的水平投影，过点G作平行于矩形ABCD的平面。图2.62补全直线EF的水平投影，过点G作矩形ABCD的平行平面［解］①补全直线EF的水平投影②过点G作矩形ABCD的平行平面12/19/20225［例题2.28］如图2.62a所示，已知点G和处于铅垂位置的2.4.2直线与平面以及两平面相交图2.20直线上的点的投影特性1.直线上的点的投影特性第一个投影特性：直线上的点的投影，必在直线的同面投影上。第二个投影特性：若直线不垂直于投影面，则直线段上的点分割线段的长度比，与该点的投影分割直线段同面投影的长度比相等。12/19/202262.4.2直线与平面以及两平面相交图2.20直线上的点的1.两相交元素中至少有一个元素的投影有积聚性时相交图2.63作AB与矩形DEFG的交点，并表明可见性分析：因交点是直线与平面的共有点，所以它的投影应在直线和平面的共有处。即在平面有积聚性的投影与直线同面投影的交点处。交点是可见与不可见的分界点。其可见性可根据前遮后检定。检定后，将可见部分画成粗实线、不可见部分画中虚线。(1)直线与平面相交［例题2.29］如图2.63a所示，作直线AB与铅垂的矩形平面DEFG的交点，并表明可见性。(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作AB与矩形DEFG的交点K。②判别并表明可见性。因kb在gf之前，故k′b′可见，画粗实线;则k′之左被矩形挡住部分不可见，画中虚线。12/19/202271.两相交元素中至少有一个元素的投影有积聚性时相交图2.63[例题2.30］如图2.64a所示，作直线AB与侧垂面P的交点，并表明可见性。［解］图2.64作AB与侧垂面P的交点，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①作AB与侧垂面P的交点K。②判别并表明可见性。从侧面投影知：直线AB在交点K之上的一段位于平面P之前，在交点K之下的一段位于平面P之后，于是就可检定a′b′在k′之上的一段为可见，在k′之下的一段为不可见。将a′b′以k′为分界点，k′a′画粗实线、k′b′画中虚线。12/19/20228[例题2.30］如图2.64a所示，作直线AB与侧垂面P的交［例题2.31］如图2.65a所示，作正垂线EF与平行四边形平面ABCD的交点，并表明可见性。［解］图2.65作正垂线EF与ABCD的交点，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①作AB与侧垂面P的交点K。②判别并表明可见性。利用EF与CD的对H面的重影点检定：在ef与cd交点处注出1(2)；1′在c′d′上，2′在e′f′上；由于CD高于EF，所以1可见(2)不可见，表明k(2)段不可见。12/19/20229［例题2.31］如图2.65a所示，作正垂线EF与平行四边形(2)两平面相交图2.66两个平面多边形全交和互交(a)全交(b)互交两平面的交线是一条直线，当两平面中至少有一个平面为特殊位置时，就可利用积聚性来求作交线。求作两平面的交线，常常用这样的作图方法：先作出平面上的一条直线对另一平面的交点，同样也再作出第二个交点，然后连成交线。12/19/202210(2)两平面相交图2.66两个平面多边形全交和互交(a)［例题2.32］如图2.67a所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。图2.67作三角形与铅垂矩形的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形与铅垂矩形的交线KL。②判断并表明可见性：在KL之右，三角形在矩形之前，三角形的正面投影可见，矩形的正面投影不可见；在交线KL之左则相反。12/19/202211［例题2.32］如图2.67a所示，作三角形ABC与铅垂的矩［例题2.33］如图2.68a所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。图2.68作三角形与铅垂矩形的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形与铅垂矩形的交线KL。②判断并表明可见性：在交线之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合处应是三角形可见，矩形不可见；在交线之左则相反。12/19/202212［例题2.33］如图2.68a所示，作三角形ABC与铅垂的矩［例题2.34］如图2.69a所示，分别作出三角形ABC、水平面Q与正垂面P的交线，并表明可见性。图2.69作三角形、水平面与正垂面的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形ABC与正垂面P的交线DE。②判断并表明可见性：在交线DE的右侧，三角形在平面P之上，三角形的水平投影可见；而在交线DE的左侧则相反。③因为平面P和Q都垂直于正面，所以它们的迹线的交点即为交线FG的正面投影f′g′，水平投影为fg。12/19/202213［例题2.34］如图2.69a所示，分别作出三角形ABC、［例题2.35］如图2.70a所示，作平行于侧面的三角形ABC和垂直于正面的三角形DEF的交线，并表明可见性。图2.70作侧平面三角形ABC和正垂面三角形DEF的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作侧平面ABC和正垂面DEF的交线KL。②判断并表明可见性：在交线KL之上，三角形ABC位于三角形DEF之左，三角形ABC的侧面投影可见，三角形DEF的侧面投影不可见；在交线KL之下则相反。12/19/202214［例题2.35］如图2.70a所示，作平行于侧面的三角形AB2.两相交元素的投影都无积聚性时相交图2.71作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性(b)用过直线的特殊位置的辅助平面求交点的作法概念(a)已知条件(1)直线与平面相交当直线和平面的投影都没有积聚性时，可以采用辅助平面法求作交点，也就是采用通过直线加设特殊位置的辅助平面的作图方法求作交点；直线与平面的同面投影相重合处的可见性，可依靠两交叉直线重影点的可见性检定。12/19/2022152.两相交元素的投影都无积聚性时相交图2.71作一般位置直图2.71作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性(d)用正垂面解题(c)用铅垂面解题(1)直线与平面相交当直线和平面的投影都无积聚性时求作交点的作图步骤：①通过直线作垂直于投影面的辅助平面。②作平面与辅助平面的交线。③直线与上述交线的交点，就是所求作的直线和平面的交点。12/19/202216图2.71作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性图2.72作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性(a)已知条件(2)两平面相交当两平面的投影都没有积聚性时，常常采用辅助平面法求交线，辅助平面通常采用两种形式：一是过一个平面上的一条直线作垂直于投影面的辅助平面，利用它作出这条直线与另一个平面的交点，同样地再作出这样的另一个交点，即为两个平面的两个共有点，便可连成它们的交线，如图2.72所示；二是先作一个特殊位置平面作为辅助平面，分别作出辅助平面与这两个平面的交线，这两条交线的交点，即为辅助平面和这两个平面的三面共有点，也就是这两个平面的共有点，同样地再作出另一个共有点，将这两个共有点连成这两个平面的交线，如图2.73所示。12/19/202217图2.72作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性(a)已(b)作图过程和作图结果(2)两平面相交：示例一作图步骤：图2.72作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性①作出平行四边形DEFG的DE边与三角形ABC的交点Ⅲ。②作出平行四边形的FG边与三角形ABC的交点Ⅳ。③连3与4、3′与4′，即得所求的交线ⅢⅣ的两面投影34、3′4′。④判别可见性：根据水平投影的重点l(t)可知，L在T之上，故l可见t不可见，即CB在四边形之上，推知交线34之后三角形可见。另侧相反。根据正面投影的重点u′(v′)可知，U在V之前，故u′可见v′不可见，即AC在四边形之后，推知交线3′4′之上四边形可见。另侧相反。12/19/202218(b)作图过程和作图结果(2)两平面相交：示例一作图步骤：图(a)已知条件(2)两平面相交：示例二求作由相交两直线AB、BC和平行两直线DE、FG所确定的两一般位置平面的交线。图2.73作两一般位置平面ABC和DEFG的交线(b)解题分析12/19/202219(a)已知条件(2)两平面相交：示例二求作由相交两直线AB、(2)两平面相交：示例二作图步骤：图2.73作两一般位置平面ABC和DEFG的交线(c)作图过程和作图结果①在正面投影中作PV∥OX；得交线上的一个点Ⅸ的两面投影9、9′。②在正面投影中作QV∥OX；得交线上的另一个点Ⅹ的两面投影10、10′。③连9与10、9′与10′，并将9、10、9′10′分别向两端延长，即为所求交线KL的两面投影。因为两个平面没有边界范围，所以不必表明可见性。12/19/202220(2)两平面相交：示例二作图步骤：图2.73作两一般位置平2.4.3直线与平面以及两平面垂直1.直线与平面以及两平面垂直的几何条件与投影特性图2.74直线与一般位置平面相垂直的投影特性直线与平面相垂直的几何条件：该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直线；直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的水平投影与平面上水平线的水平投影相垂直；直线的正面投影与平面上正平线的正面投影相垂直；直线的侧面投影与平面上侧平线的侧面投影相垂直。12/19/2022212.4.3直线与平面以及两平面垂直1.直线与平面以及两平面1.直线与平面以及两平面垂直的几何条件与投影特性两平面互相垂直的几何条件：一个平面上有一条直线垂直于另一平面。两平面互相垂直的投影特性两平面互相垂直的投影特性：包含一条平面的垂直线所作的平面，与该平面垂直。12/19/2022221.直线与平面以及两平面垂直的几何条件与投影特性两平面互相垂［例题2.36］如图a所示，过点A作一平面垂直于一般位置直线BC。［解］图2.75过A作平面垂直于BC(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①过a′作OX轴的平行线a′d′，过a作ad垂直于bc，便作出了与BC相垂直的水平线AD。②过a作OX轴的平行线ae，过a′作a′e′垂直于b′c′，便作出了与BC相垂直的正平线AE。③相交两直线AD、AE所确定的平面ADE即为所求。12/19/202223［例题2.36］如图a所示，过点A作一平面垂直于一般位置直线［例题2.37］如图a所示，过点A作一平面，平行于直线BC，垂直于三角形DEF。图2.76过点A作平面平行于BC，垂直于三角形DEF(a)已知条件［解］(b)作图过程和作图结果分析：按直线与平面平行和两平面垂直的几何条件，只要所作的平面既包含过点A的BC的平行线，又包含过点A的三角形DEF的垂线，就能满足题目的要求。①过点A作AG∥BC：作ag∥bc，a′g′∥b′c′，就作出了AG的两面投影。②过点A作AH⊥△DEF：作△DEF平面上的一条水平线DⅠ和一条正平线DⅡ。过a作ah⊥d1，过a′作a′h′⊥d′2′，便作出了AH的两面投影。③两相交直线AG和AH所确定的平面AGH即为所求。12/19/202224［例题2.37］如图a所示，过点A作一平面，平行于直线BC，［例题2.38］如图a所示，检验两三角形ABC与DEF是否垂直。图2.77检验两三角形ABC和DEF是否垂直(a)已知条件(b)检验的作图过程和作图结果［解］①分别在三角形DEF平面上作水平线DⅠ和正平线DⅡ。②过b′作b′g′垂直于d′2′，与a′c′交得g′；由g′引投影连线，与ac交得g，连b与g。检验bg是否与d1垂直：如bg与d1垂直，则在三角形ABC上能作出一条直线BG与三角形DEF相垂直，两三角形互相垂直；否则，两三角形不垂直。结论：bg垂直于d1，所以检定了三角形ABC与DEF是互相垂直的。12/19/202225［例题2.38］如图a所示，检验两三角形ABC与DEF是否垂2.两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与平面以及两平面垂直图2.78特殊位置的直线与平面互相垂直(1)特殊位置的直线与平面互相垂直a)同一投影面的平行线与垂直面相垂直；(b)同一投影面的垂直线与平行面相垂直12/19/2022262.两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与平面以及两平面垂［例题2.39］如图a所示，过点A作正垂面三角形CDE的垂线AB和垂足B，并确定点A与三角形CDE平面的真实距离。图2.79过A作三角形CDE的垂线和垂足，并求A与CDE平面的距离(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］12/19/202227［例题2.39］如图a所示，过点A作正垂面三角形CDE的垂线(2)两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直（a)平面与投影面垂直面相垂直(b)平面与投影面平行面相垂直①与某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含该投影面垂直面的垂线，可以是一般位置平面，也可以是这个投影面的垂直面或平行面。②与某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含这个投影面的垂直线，一定是这个投影面的垂直面，也可以是其它两个投影面的平行面。12/19/202228(2)两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直两平面中至(2)两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直图2.80垂直于同一投影面的两平面相垂直的投影特性③两个垂直于同一投影面的平面互相垂直，它们的有积聚性的同面投影也互相垂直。12/19/202229(2)两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直图2.80［例题2.40］如图2.81a所示，过直线AB作一般位置平面垂直于正垂面P，过点C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面R。两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直（a)已知条件(b)作图过程和作图结果①过一已知直线可以作一个已知平面的垂直面，而且只能作一个垂直面，这个平面应包含这条已知直线和一条垂直于已知平面的直线。［解］②过一点可以作一个已知平面的无数个垂直面。因此，过点C可以作无数个平面垂直于正垂面P。而现在加了是正垂面和正平面的条件限制，则只能分别作出一个平面。12/19/202230［例题2.40］如图2.81a所示，过直线AB作一般位置平面空间几何问题，主要是指点、直线、平面等几何元素以及它们之间的相对位置关系的度量和定位问题。求解作图时，应注意：(1)要理解题意，想象清楚已知和求作的几何元素之间的空间关系。(2)根据点、直线、平面及其相对位置的投影特性和几何条件，用推理或轨迹等方法分析和思考出解题的步骤。对于综合程度较高和比较复杂的问题可一边想，一边逐步用徒手画出它们的立体示意图帮助分析和思考。有时还要考虑多解的可能性。(3)运用几何原理和投影特性，按解题步骤在投影图中逐步准确作图，得出求解结果。2.4.4点、直线、平面的综合作图题示例12/19/202231空间几何问题，主要是指点、直线、平面等几何元素以及它［例题2.41］如图2.82a所示，过点A作一般位置的三角形BCD的垂线AK和垂足K，并作出点A与三角形BCD之间的真实距离。［解］图2.82过A作三角形BCD的垂线AK，并求真实距离(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①在三角形BCD平面上作水平线DⅠ和正平线DⅡ；②过A作三角形BCD的垂线AE；③作AE与三角形BCD的交点，即为垂足K；④作线段AK的真长。(完成作图)12/19/202232［例题2.41］如图2.82a所示，过点A作一般位置的三角形［例题2.42］如图2.83a所示，过点A作一般位置直线BC的垂线AK和垂足K，并作出点A与直线BC之间的真实距离。［解］图2.83过A作直线BC的垂线AK，并求真实距离(b)解题分析的示意图(a)已知条件(c)作图过程和结果①过A作垂直于BC的平面②作BC与平面的交点K③连A、K成所求垂线AK④作AK的真长(完成作图)12/19/202233［例题2.42］如图2.83a所示，过点A作一般位置直线BC［例题2.43］如图2.84a所示，求作直线AB与一般位置的三角形CDE平面的夹角。［解］图2.84作直线AB与一般位置的三角形CDE的夹角(b)解题分析的示意图(a)已知条件(c)作图过程和结果①过直线AB的任一端点，作CDE平面的垂线②作AB和AF的夹角③作的余角(完成作图)12/19/202234［例题2.43］如图2.84a所示，求作直线AB与一般位置的［例题2.44］如图2.85a所示，求作两一般位置的三角形平面EFG和IJK之间的夹角。［解］图2.85作两一般位置的三角形EFG和IJK之间的夹角(b)解题分析的示意图(a)已知条件(c)作图过程和结果①在空间任取一点A，由A分别向两个平面作垂线。②作出两垂线间夹角③作的补角(完成作图)12/19/202235［例题2.44］如图2.85a所示，求作两一般位置的三角形平［例题2.45］如图2.86a所示，已知矩形ABCD的一边AB的两面投影及其邻边BC的正面投影b′c′，补全矩形ABCD的两面投影。［解］图2.86补全矩形ABCD的两面投影(a)已知条件(b)作图过程和结果①过点B作平面垂直于AB。②在AB的垂直面上，作出该平面上的直线BC的水平投影bc。③过A、C分别作BC、AB的平行线，就可补全这个矩形的两面投影。(完成作图)12/19/202236［例题2.45］如图2.86a所示，已知矩形ABCD的一边A［例题2.46］如图2.87a所示，已知等腰三角形DEF的顶点D和一腰DE在水平线DG上，另一腰DF平行于三角形ABC，顶点F在直线IJ上，作出这个等腰三角形DEF的两面投影。［解］图2.87按给定的条件作△DEF的两面投影(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①过D作平行于三角形ABC的平面。②作IJ与上述平面的交点F，连D与F。③作DF的真长。④在DG上取离D为DF真长的E，连EF，即可得所求的等腰三角形DEF的两面投影。(完成作图)12/19/202237［例题2.46］如图2.87a所示，已知等腰三角形DEF的顶［例题2.47］如图2.88a所示，已知等边三角形ABC的一边AB，另一顶点C在AB的前上方，过点C的高线CD两端点的高差为19mm，补全等边三角形ABC的两面投影。［解］图2.88按给定条件补全等边三角形ABC的两面投影(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①作AB的真长，取AB的中点D，作出等边三角形ABC的真形，在真形中作出高线CD，由CD的真长和CD的两端点C、D的z坐标差作出CD的水平投影cd的长度。②过D作AB的垂直面，在该平面上取z坐标比D的大19的水平线，按作出的cd的长度在该水平线上定出顶点C。③连A与C、B与C，就作出△ABC的两面投影。(完成作图)12/19/202238［例题2.47］如图2.88a所示，已知等边三角形ABC的一本节学习结束！12/19/202239本节学习结束！12/14/202239激励学生学习的名言格言220、每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。221、世界会向那些有目标和远见的人让路（冯两努——香港著名推销商）

222、绊脚石乃是进身之阶。223、销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。224、即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。225、积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。226、人之所以有一张嘴，而有两只耳朵，原因是听的要比说的多一倍。227、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。228、有事者，事竟成；破釜沉舟，百二秦关终归楚；苦心人，天不负；卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。

229、以诚感人者，人亦诚而应。

230、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。231、出门走好路，出口说好话，出手做好事。232、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。

233、怠惰是贫穷的制造厂。234、莫找借口失败，只找理由成功。（不为失败找理由，要为成功找方法）235、如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。236、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。237、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。238、回避现实的人，未来将更不理想。239、当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。240、伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上爬241、世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。242、坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。

243、人之所以能，是相信能。244、没有口水与汗水，就没有成功的泪水。245、一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。

246、环境不会改变，解决之道在于改变自己。247、两粒种子，一片森林。248、每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。249、如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。250、大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。激励学生学习的名言格言402.4直线与平面以及

两平面的相对位置2.4.3直线与平面以及两平面垂直2.4.1直线与平面以及两平面平行2.4.2直线与平面以及两平面相交2.4.4点、直线、平面的综合作图题示例12/19/2022412.4直线与平面以及

两平面的相对位置2.4.3直线与平2.4.1直线与平面以及两平面平行平面外的直线与该平面平行的几何条件是：这条直线平行于该平面上的一条直线。1.直线与平面以及两平面平行的几何条件两平面平行的几何条件是：一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线。当平面为一般位置时，常用上述几何条件来检验或求解有关直线与平面以及两平面平行的问题。12/19/2022422.4.1直线与平面以及两平面平行平面外的直线与该平面平行［例题2.27］如图2.60a所示，已知直线AB、△CDE、点P的两面投影，检验直线AB是否平行于△CDE，并过点P作平行于△CDE的平面。图2.60检验AB是否平行△CDE，过P作平面平行△CDE(a)已知条件(b)检验、作图过程和作图结果［解］①检验AB是否平行△CDE过c作cf∥ab，由f引投影连线，与d′e′交得f′，连c′与f′。因c′f′∥a′b′，则CF∥AB，所以AB∥△CDE。②过P作平面平行△CDE过p作pq∥cd，p′q′∥c′d′；过p′作pr∥ce，p′r′∥c′e′，那么两相交直线PQ、PR所确定的平面，就是所求作的过点P且平行于△CDE的平面。12/19/202243［例题2.27］如图2.60a所示，已知直线AB、△CDE、2.当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性投影特性：直线与平面的同面投影都有积聚性，或直线的投影与平面的有积聚性的同面投影互相平行。当平面为特殊位置时，两平面相平行的投影特性是：它们的有积聚性的同面投影互相平行。图2.61当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性12/19/2022442.当平面为特殊位置时，直线与平面以及两平面平行的投影特性投［例题2.28］如图2.62a所示，已知点G和处于铅垂位置的矩形平面ABCD，以及直线EF的正面投影e′f′和端点E的水平投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD。补全EF的水平投影，过点G作平行于矩形ABCD的平面。图2.62补全直线EF的水平投影，过点G作矩形ABCD的平行平面［解］①补全直线EF的水平投影②过点G作矩形ABCD的平行平面12/19/202245［例题2.28］如图2.62a所示，已知点G和处于铅垂位置的2.4.2直线与平面以及两平面相交图2.20直线上的点的投影特性1.直线上的点的投影特性第一个投影特性：直线上的点的投影，必在直线的同面投影上。第二个投影特性：若直线不垂直于投影面，则直线段上的点分割线段的长度比，与该点的投影分割直线段同面投影的长度比相等。12/19/2022462.4.2直线与平面以及两平面相交图2.20直线上的点的1.两相交元素中至少有一个元素的投影有积聚性时相交图2.63作AB与矩形DEFG的交点，并表明可见性分析：因交点是直线与平面的共有点，所以它的投影应在直线和平面的共有处。即在平面有积聚性的投影与直线同面投影的交点处。交点是可见与不可见的分界点。其可见性可根据前遮后检定。检定后，将可见部分画成粗实线、不可见部分画中虚线。(1)直线与平面相交［例题2.29］如图2.63a所示，作直线AB与铅垂的矩形平面DEFG的交点，并表明可见性。(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作AB与矩形DEFG的交点K。②判别并表明可见性。因kb在gf之前，故k′b′可见，画粗实线;则k′之左被矩形挡住部分不可见，画中虚线。12/19/2022471.两相交元素中至少有一个元素的投影有积聚性时相交图2.63[例题2.30］如图2.64a所示，作直线AB与侧垂面P的交点，并表明可见性。［解］图2.64作AB与侧垂面P的交点，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①作AB与侧垂面P的交点K。②判别并表明可见性。从侧面投影知：直线AB在交点K之上的一段位于平面P之前，在交点K之下的一段位于平面P之后，于是就可检定a′b′在k′之上的一段为可见，在k′之下的一段为不可见。将a′b′以k′为分界点，k′a′画粗实线、k′b′画中虚线。12/19/202248[例题2.30］如图2.64a所示，作直线AB与侧垂面P的交［例题2.31］如图2.65a所示，作正垂线EF与平行四边形平面ABCD的交点，并表明可见性。［解］图2.65作正垂线EF与ABCD的交点，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①作AB与侧垂面P的交点K。②判别并表明可见性。利用EF与CD的对H面的重影点检定：在ef与cd交点处注出1(2)；1′在c′d′上，2′在e′f′上；由于CD高于EF，所以1可见(2)不可见，表明k(2)段不可见。12/19/202249［例题2.31］如图2.65a所示，作正垂线EF与平行四边形(2)两平面相交图2.66两个平面多边形全交和互交(a)全交(b)互交两平面的交线是一条直线，当两平面中至少有一个平面为特殊位置时，就可利用积聚性来求作交线。求作两平面的交线，常常用这样的作图方法：先作出平面上的一条直线对另一平面的交点，同样也再作出第二个交点，然后连成交线。12/19/202250(2)两平面相交图2.66两个平面多边形全交和互交(a)［例题2.32］如图2.67a所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。图2.67作三角形与铅垂矩形的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形与铅垂矩形的交线KL。②判断并表明可见性：在KL之右，三角形在矩形之前，三角形的正面投影可见，矩形的正面投影不可见；在交线KL之左则相反。12/19/202251［例题2.32］如图2.67a所示，作三角形ABC与铅垂的矩［例题2.33］如图2.68a所示，作三角形ABC与铅垂的矩形DEFG的交线，并表明可见性。图2.68作三角形与铅垂矩形的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形与铅垂矩形的交线KL。②判断并表明可见性：在交线之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合处应是三角形可见，矩形不可见；在交线之左则相反。12/19/202252［例题2.33］如图2.68a所示，作三角形ABC与铅垂的矩［例题2.34］如图2.69a所示，分别作出三角形ABC、水平面Q与正垂面P的交线，并表明可见性。图2.69作三角形、水平面与正垂面的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作三角形ABC与正垂面P的交线DE。②判断并表明可见性：在交线DE的右侧，三角形在平面P之上，三角形的水平投影可见；而在交线DE的左侧则相反。③因为平面P和Q都垂直于正面，所以它们的迹线的交点即为交线FG的正面投影f′g′，水平投影为fg。12/19/202253［例题2.34］如图2.69a所示，分别作出三角形ABC、［例题2.35］如图2.70a所示，作平行于侧面的三角形ABC和垂直于正面的三角形DEF的交线，并表明可见性。图2.70作侧平面三角形ABC和正垂面三角形DEF的交线，并表明可见性(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］①作侧平面ABC和正垂面DEF的交线KL。②判断并表明可见性：在交线KL之上，三角形ABC位于三角形DEF之左，三角形ABC的侧面投影可见，三角形DEF的侧面投影不可见；在交线KL之下则相反。12/19/202254［例题2.35］如图2.70a所示，作平行于侧面的三角形AB2.两相交元素的投影都无积聚性时相交图2.71作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性(b)用过直线的特殊位置的辅助平面求交点的作法概念(a)已知条件(1)直线与平面相交当直线和平面的投影都没有积聚性时，可以采用辅助平面法求作交点，也就是采用通过直线加设特殊位置的辅助平面的作图方法求作交点；直线与平面的同面投影相重合处的可见性，可依靠两交叉直线重影点的可见性检定。12/19/2022552.两相交元素的投影都无积聚性时相交图2.71作一般位置直图2.71作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性(d)用正垂面解题(c)用铅垂面解题(1)直线与平面相交当直线和平面的投影都无积聚性时求作交点的作图步骤：①通过直线作垂直于投影面的辅助平面。②作平面与辅助平面的交线。③直线与上述交线的交点，就是所求作的直线和平面的交点。12/19/202256图2.71作一般位置直线和一般位置平面的交点，并表明可见性图2.72作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性(a)已知条件(2)两平面相交当两平面的投影都没有积聚性时，常常采用辅助平面法求交线，辅助平面通常采用两种形式：一是过一个平面上的一条直线作垂直于投影面的辅助平面，利用它作出这条直线与另一个平面的交点，同样地再作出这样的另一个交点，即为两个平面的两个共有点，便可连成它们的交线，如图2.72所示；二是先作一个特殊位置平面作为辅助平面，分别作出辅助平面与这两个平面的交线，这两条交线的交点，即为辅助平面和这两个平面的三面共有点，也就是这两个平面的共有点，同样地再作出另一个共有点，将这两个共有点连成这两个平面的交线，如图2.73所示。12/19/202257图2.72作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性(a)已(b)作图过程和作图结果(2)两平面相交：示例一作图步骤：图2.72作两个一般位置的平面的交线，并表明可见性①作出平行四边形DEFG的DE边与三角形ABC的交点Ⅲ。②作出平行四边形的FG边与三角形ABC的交点Ⅳ。③连3与4、3′与4′，即得所求的交线ⅢⅣ的两面投影34、3′4′。④判别可见性：根据水平投影的重点l(t)可知，L在T之上，故l可见t不可见，即CB在四边形之上，推知交线34之后三角形可见。另侧相反。根据正面投影的重点u′(v′)可知，U在V之前，故u′可见v′不可见，即AC在四边形之后，推知交线3′4′之上四边形可见。另侧相反。12/19/202258(b)作图过程和作图结果(2)两平面相交：示例一作图步骤：图(a)已知条件(2)两平面相交：示例二求作由相交两直线AB、BC和平行两直线DE、FG所确定的两一般位置平面的交线。图2.73作两一般位置平面ABC和DEFG的交线(b)解题分析12/19/202259(a)已知条件(2)两平面相交：示例二求作由相交两直线AB、(2)两平面相交：示例二作图步骤：图2.73作两一般位置平面ABC和DEFG的交线(c)作图过程和作图结果①在正面投影中作PV∥OX；得交线上的一个点Ⅸ的两面投影9、9′。②在正面投影中作QV∥OX；得交线上的另一个点Ⅹ的两面投影10、10′。③连9与10、9′与10′，并将9、10、9′10′分别向两端延长，即为所求交线KL的两面投影。因为两个平面没有边界范围，所以不必表明可见性。12/19/202260(2)两平面相交：示例二作图步骤：图2.73作两一般位置平2.4.3直线与平面以及两平面垂直1.直线与平面以及两平面垂直的几何条件与投影特性图2.74直线与一般位置平面相垂直的投影特性直线与平面相垂直的几何条件：该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直线；直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的水平投影与平面上水平线的水平投影相垂直；直线的正面投影与平面上正平线的正面投影相垂直；直线的侧面投影与平面上侧平线的侧面投影相垂直。12/19/2022612.4.3直线与平面以及两平面垂直1.直线与平面以及两平面1.直线与平面以及两平面垂直的几何条件与投影特性两平面互相垂直的几何条件：一个平面上有一条直线垂直于另一平面。两平面互相垂直的投影特性两平面互相垂直的投影特性：包含一条平面的垂直线所作的平面，与该平面垂直。12/19/2022621.直线与平面以及两平面垂直的几何条件与投影特性两平面互相垂［例题2.36］如图a所示，过点A作一平面垂直于一般位置直线BC。［解］图2.75过A作平面垂直于BC(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①过a′作OX轴的平行线a′d′，过a作ad垂直于bc，便作出了与BC相垂直的水平线AD。②过a作OX轴的平行线ae，过a′作a′e′垂直于b′c′，便作出了与BC相垂直的正平线AE。③相交两直线AD、AE所确定的平面ADE即为所求。12/19/202263［例题2.36］如图a所示，过点A作一平面垂直于一般位置直线［例题2.37］如图a所示，过点A作一平面，平行于直线BC，垂直于三角形DEF。图2.76过点A作平面平行于BC，垂直于三角形DEF(a)已知条件［解］(b)作图过程和作图结果分析：按直线与平面平行和两平面垂直的几何条件，只要所作的平面既包含过点A的BC的平行线，又包含过点A的三角形DEF的垂线，就能满足题目的要求。①过点A作AG∥BC：作ag∥bc，a′g′∥b′c′，就作出了AG的两面投影。②过点A作AH⊥△DEF：作△DEF平面上的一条水平线DⅠ和一条正平线DⅡ。过a作ah⊥d1，过a′作a′h′⊥d′2′，便作出了AH的两面投影。③两相交直线AG和AH所确定的平面AGH即为所求。12/19/202264［例题2.37］如图a所示，过点A作一平面，平行于直线BC，［例题2.38］如图a所示，检验两三角形ABC与DEF是否垂直。图2.77检验两三角形ABC和DEF是否垂直(a)已知条件(b)检验的作图过程和作图结果［解］①分别在三角形DEF平面上作水平线DⅠ和正平线DⅡ。②过b′作b′g′垂直于d′2′，与a′c′交得g′；由g′引投影连线，与ac交得g，连b与g。检验bg是否与d1垂直：如bg与d1垂直，则在三角形ABC上能作出一条直线BG与三角形DEF相垂直，两三角形互相垂直；否则，两三角形不垂直。结论：bg垂直于d1，所以检定了三角形ABC与DEF是互相垂直的。12/19/202265［例题2.38］如图a所示，检验两三角形ABC与DEF是否垂2.两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与平面以及两平面垂直图2.78特殊位置的直线与平面互相垂直(1)特殊位置的直线与平面互相垂直a)同一投影面的平行线与垂直面相垂直；(b)同一投影面的垂直线与平行面相垂直12/19/2022662.两元素中至少有一个处于特殊位置时，直线与平面以及两平面垂［例题2.39］如图a所示，过点A作正垂面三角形CDE的垂线AB和垂足B，并确定点A与三角形CDE平面的真实距离。图2.79过A作三角形CDE的垂线和垂足，并求A与CDE平面的距离(a)已知条件(b)作图过程和作图结果［解］12/19/202267［例题2.39］如图a所示，过点A作正垂面三角形CDE的垂线(2)两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直（a)平面与投影面垂直面相垂直(b)平面与投影面平行面相垂直①与某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含该投影面垂直面的垂线，可以是一般位置平面，也可以是这个投影面的垂直面或平行面。②与某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含这个投影面的垂直线，一定是这个投影面的垂直面，也可以是其它两个投影面的平行面。12/19/202268(2)两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直两平面中至(2)两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直图2.80垂直于同一投影面的两平面相垂直的投影特性③两个垂直于同一投影面的平面互相垂直，它们的有积聚性的同面投影也互相垂直。12/19/202269(2)两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直图2.80［例题2.40］如图2.81a所示，过直线AB作一般位置平面垂直于正垂面P，过点C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面R。两平面中至少有一个平面处于特殊位置时互相垂直（a)已知条件(b)作图过程和作图结果①过一已知直线可以作一个已知平面的垂直面，而且只能作一个垂直面，这个平面应包含这条已知直线和一条垂直于已知平面的直线。［解］②过一点可以作一个已知平面的无数个垂直面。因此，过点C可以作无数个平面垂直于正垂面P。而现在加了是正垂面和正平面的条件限制，则只能分别作出一个平面。12/19/202270［例题2.40］如图2.81a所示，过直线AB作一般位置平面空间几何问题，主要是指点、直线、平面等几何元素以及它们之间的相对位置关系的度量和定位问题。求解作图时，应注意：(1)要理解题意，想象清楚已知和求作的几何元素之间的空间关系。(2)根据点、直线、平面及其相对位置的投影特性和几何条件，用推理或轨迹等方法分析和思考出解题的步骤。对于综合程度较高和比较复杂的问题可一边想，一边逐步用徒手画出它们的立体示意图帮助分析和思考。有时还要考虑多解的可能性。(3)运用几何原理和投影特性，按解题步骤在投影图中逐步准确作图，得出求解结果。2.4.4点、直线、平面的综合作图题示例12/19/202271空间几何问题，主要是指点、直线、平面等几何元素以及它［例题2.41］如图2.82a所示，过点A作一般位置的三角形BCD的垂线AK和垂足K，并作出点A与三角形BCD之间的真实距离。［解］图2.82过A作三角形BCD的垂线AK，并求真实距离(a)已知条件(b)作图过程和作图结果①在三角形BCD平面上作水平线DⅠ和正平线DⅡ；②过A作三角形BCD的垂线AE；③作AE与三角形BCD的交点，即为垂足K；④作线段AK的真长。(完成作图)12/19/202272［例题2.41］如图2.82a所示，过点A作一般位置的三角形［例题2.42］如图2.83a所示，过点A作一般位置直线BC的垂线AK和垂足K，并作出点A与直线BC之间的真实距离。［解］图2.83过A作直线BC的垂线AK，并求真实距离(b)解题分析的示意图(a)已知条件(c)作图过程和结果①过A作垂直于BC的平面②作BC与平面的交点K③连A、K成所求垂线AK④作AK的真长(完成作图)12/19/202273［例题2.42］如图2.83a所示，过点A作一般位置直线BC［例题2.43］如图2.84a所示，求作直线AB与一般位置的三角形CDE平面的夹角。［解］图2.84作直线AB与一般位置的三角形CDE的夹角(b)解题分析的示意图(a)已知条件(c)作图过程和结果①过直线AB的任一端点，作CDE平面的垂线②作AB和AF的夹角③作的余角(完成作图)12/19/202274［例题2.43］如图2.84a所示，求作直线AB与一般位置的［例题2.44］如图2.85a所示，求作两一般位置的三角形平面EFG和IJK之间的夹角。［解］图2.85作两一般位置的三角形