等比数列的性质(课堂)课件

【课标要求】

1．理解等比数列的性质并能应用．2．了解等比数列同指数函数间的关系．3．会用等比数列的性质解题．【核心扫描】

1．等比数列的性质及应用．(重点)2．等比数列与等差数列的综合应用．(重点)3．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)第2课时

等比数列的性质及应用【课标要求】第2课时等比数列的性质及应用等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列{an}的公比为q.(1)两项关系：an＝_______(m，n∈N*)．(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝____.(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两自学导引1．2．amqn－mapaqan－1an－k＋1等比数列的项与序号的关系以及性质自学导引1．2．amqn－m等比数列的“子数列”的性质若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为__的等比数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为__的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为__的等比数列；(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.3．qq2q2等比数列的“子数列”的性质3．qq2q2：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列．事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n＝p＋q＝2k，如非零常数列．：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(等比数列的单调性(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列．(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{an}是递减数列．(3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列．(4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列．等比数列的运算性质(1)若{an}是公比为q的等比数列，则①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列；②{|an|}是公比为|q|的等比数列；名师点睛1．2．等比数列的单调性名师点睛1．2．④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实数常数)是公比为qm的等比数列．(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1q2的等比数列．(3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．

④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．题型一等比数列性质的应用已知数列{an}为等比数列．(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．[思路探索]应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52，a1a3＝a22，化简已知，可求解．解

(1)法一∵an>0，∴a1>0，q>0.又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36，即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，【例1】题型一等比数列性质的应用已知数列{an}为等∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36，∴a1q2(1＋q2)＝6，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.法二∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a32＋2a3a5＋a52＝36，∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6.(2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2.∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．在等比数列的有关运算中，常(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解

(1)在等比数列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得：【变式1】(1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．【变式1】(1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，等比数列的性质(课堂)课件有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[思路探索]根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可．题型二

灵活设项求解等比数列【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；等比数列的性质(课堂)课件三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．【变式2】三个数成等比数列，其积为512，如果第某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.[思路探索]本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列．题型三

等比数列的实际应用【例3】某市2010年新建住房400万平方米，其中25解(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，

令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，解得n≤－19或n≥10，而n是正整数．∴n≥10. 故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．

解(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，

由题意可知an>0.85bn，即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正整数n＝6. 故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. (2)设新建住房面积构成数列{bn}，本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)，则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)；9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.设an＝34，则34＝147·(1－18.8%)n－1，解得n＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．【变式3】始于2007年初的美国次贷危机，至2(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．审题指导(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得an→b＝b1b8求得m.(2)由2b4＝b1＋bt可得以m为变量，t为函数的关系式→由t≥5，t∈N*可得m的取值．题型四等差数列与等比数列的综合应用(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b等比数列的性质(课堂)课件等比数列的性质(课堂)课件【题后反思】(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．【题后反思】(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要(1)求通项公式an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．解

(1)因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，即an＝－2n＋21；【变式4】已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．【变式4】已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，A．(n－1)2

B．n2C．(n＋1)2 D．n(2n－1)[错解]易得an＝2n，且log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)误区警示

因没数清数列的项数致误【示例】A．(n－1)2B．n2误区警示因没数清数

对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．[正解]∵a5·a2n－5＝22n＝an2，an＞0，∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1)＝log22n2＝n2.故选B.答案

B对等差数列1,3，…，2n解决此类问题时，可根据通性通法，但有时用等比数列的性质，能加快解题速度，提高解题效率，达到事半功倍的效果．解决此类问题时，可根据通【课标要求】

1．理解等比数列的性质并能应用．2．了解等比数列同指数函数间的关系．3．会用等比数列的性质解题．【核心扫描】

1．等比数列的性质及应用．(重点)2．等比数列与等差数列的综合应用．(重点)3．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)第2课时

等比数列的性质及应用【课标要求】第2课时等比数列的性质及应用等比数列的项与序号的关系以及性质设等比数列{an}的公比为q.(1)两项关系：an＝_______(m，n∈N*)．(2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝____.(3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．等比数列的项的对称性有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两自学导引1．2．amqn－mapaqan－1an－k＋1等比数列的项与序号的关系以及性质自学导引1．2．amqn－m等比数列的“子数列”的性质若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为__的等比数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为__的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为__的等比数列；(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.3．qq2q2等比数列的“子数列”的性质3．qq2q2：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应的项成等比数列．事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2.在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n＝p＋q＝2k，如非零常数列．：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(等比数列的单调性(1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，等比数列{an}是递增数列．(2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，等比数列{an}是递减数列．(3)当q＝1时，等比数列{an}是常数列．(4)当q<0时，等比数列{an}是摆动数列．等比数列的运算性质(1)若{an}是公比为q的等比数列，则①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列；②{|an|}是公比为|q|的等比数列；名师点睛1．2．等比数列的单调性名师点睛1．2．④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实数常数)是公比为qm的等比数列．(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1q2的等比数列．(3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．

④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．题型一等比数列性质的应用已知数列{an}为等比数列．(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．[思路探索]应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52，a1a3＝a22，化简已知，可求解．解

(1)法一∵an>0，∴a1>0，q>0.又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36，即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，【例1】题型一等比数列性质的应用已知数列{an}为等∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36，∴a1q2(1＋q2)＝6，∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6.法二∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a32＋2a3a5＋a52＝36，∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6.(2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2.∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．在等比数列的有关运算中，常(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．解

(1)在等比数列{an}中，∵a1·a9＝a3·a7，∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得：【变式1】(1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．【变式1】(1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，等比数列的性质(课堂)课件有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[思路探索]根据等差数列和等比数列的性质，设出未知数，结合题中条件求解即可．题型二

灵活设项求解等比数列【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；等比数列的性质(课堂)课件三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．【变式2】三个数成等比数列，其积为512，如果第某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.[思路探索]本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等比数列．题型三

等比数列的实际应用【例3】某市2010年新建住房400万平方米，其中25解(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50，

令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，解得n≤－19或n≥10，而n是正整数．∴n≥10. 故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．

解(1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an(2)设新建住房面积构成数列{bn}，由题意可知，{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1，

由题意可知an>0.85bn，即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的最小正整数n＝6. 故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. (2)设新建住房面积构成数列{bn}，本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此拖累，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)，则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)；9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2.∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%.设an＝34，则34＝147·(1－18.8%)n－1，解得n＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．【变式3】始于2007年初的美国次贷危机，至2(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N*，t≥5)成等差