2023学年湖南省长沙市宁乡一中高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．2．（）A． B． C．1 D．3．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为()A． B．3 C． D．4．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点，且，抛物线的准线与轴交于，的面积为，则（）A． B． C． D．5．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（）A． B． C．2 D．36．复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为（）A．1 B． C． D．8．若向量，，则与共线的向量可以是（）A． B． C． D．9．的展开式中有理项有（）A．项 B．项 C．项 D．项10．定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，、、、四点的横坐标依次为、、、，则函数的单调递减区间是（）A． B． C． D．11．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件可以是（）A． B． C．或 D．12．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．根据如图的算法，输出的结果是_________.14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．15．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为__________.16．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）证明：当时，；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数（1）解不等式；（2）若均为正实数，且满足，为的最小值，求证：.19．（12分）[选修4-4：极坐标与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值20．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在区间内无解，求实数的取值范围.21．（12分）在平面直角坐标系中,已知椭圆：（）的左、右焦点分别为、,且点、与椭圆的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相切于点,且分别与直线和直线相交于点、．试判断是否为定值,并说明理由．22．（10分）在中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【答案解析】

设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程.【题目详解】设，，其中，，即关于轴对称故选：【答案点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.2．A【答案解析】

利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.【题目详解】，，因此，.故选：A.【答案点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3．B【答案解析】

根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得.【题目详解】由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选：B.【答案点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.4．B【答案解析】

设点、，并设直线的方程为，由得，将直线的方程代入韦达定理，求得，结合的面积求得的值，结合焦点弦长公式可求得.【题目详解】设点、，并设直线的方程为，将直线的方程与抛物线方程联立，消去得，由韦达定理得，，，，，，，，可得，，抛物线的准线与轴交于，的面积为，解得，则抛物线的方程为，所以，.故选：B.【答案点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.5．A【答案解析】

由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．【题目详解】由题意，一条渐近线方程为，即，∴，，即，，．故选：A．【答案点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．6．B【答案解析】

设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限.【题目详解】设,则,,,所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限.故选:B【答案点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.7．A【答案解析】

设，因为，得到，利用直线的斜率公式，得到，结合基本不等式，即可求解.【题目详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，设，因为，即线段的中点，所以，所以直线的斜率，当且仅当，即时等号成立，所以直线的斜率的最大值为1.故选：A.【答案点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8．B【答案解析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【题目详解】故选B【答案点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.9．B【答案解析】

由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解.【题目详解】，，当，，，时，为有理项，共项.故选:B.【答案点睛】本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.10．B【答案解析】

先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.【题目详解】若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意；若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意.对函数求导得，由得，由图象可知，满足不等式的的取值范围是，因此，函数的单调递减区间为.故选：B.【答案点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题.11．D【答案解析】

先求函数在上不单调的充要条件，即在上有解，即可得出结论.【题目详解】，若在上不单调，令，则函数对称轴方程为在区间上有零点（可以用二分法求得）.当时，显然不成立；当时，只需或，解得或.故选:D.【答案点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题.12．D【答案解析】

把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．【题目详解】3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．故选：D.【答案点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．55【答案解析】

根据该For语句的功能，可得，可得结果【题目详解】根据该For语句的功能，可得则故答案为：55【答案点睛】本题考查For语句的功能，属基础题.14．【答案解析】乙不输的概率为，填.15．60【答案解析】

根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数.【题目详解】三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，则三组抽取人数分别.设组有人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率，∴解得.∴该部门员工总共有人.故答案为：60.【答案点睛】本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题.16．9【答案解析】

已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果.【题目详解】由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得.故答案为:.【答案点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）见解析；（2）【答案解析】

（1）要证明，只需证明即可；（2）有3个根，可转化为有3个根，即与有3个不同交点，利用导数作出的图象即可.【题目详解】（1）令，则，当时，，故在上单调递增，所以，即，所以.（2）由已知，，依题意，有3个零点，即有3个根，显然0不是其根，所以有3个根，令，则，当时，，当时，，当时，，故在单调递减，在，上单调递增，作出的图象，易得.故实数的取值范围为.【答案点睛】本题考查利用导数证明不等式以及研究函数零点个数问题，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.18．（1）或（2）证明见解析【答案解析】

（1）将写成分段函数的形式，由此求得不等式的解集.（2）由（1）求得最小值，由此利用基本不等式，证得不等式成立.【题目详解】（1）当时，恒成立，解得；当时，由，解得；当时，由解得所以的解集为或（2）由（1）可求得最小值为，即因为均为正实数，且（当且仅当时，取“”）所以，即.【答案点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法，考查利用基本不等式证明不等式，属于中档题.19．(1)的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为.(2)【答案解析】

(1)先得到的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将代入得，得到曲线的直角坐标方程；（2）设点、的极坐标分别为，，将分别代入曲线、极坐标方程得：，，，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.【题目详解】（1）由得，将代入得：，故曲线的极坐标方程为.由得，将代入得，故曲线的直角坐标方程为.（2）设点、的极坐标分别为，，将分别代入曲线、极坐标方程得：，，则，其中为锐角，且满足，，当时，取最大值，此时，【答案点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t的应用更广泛一些.20．（1）；（2）.【答案解析】

（1）只需分，，三种情况讨论即可；（2）在区间上恒成立，转化为，只需求出即可.【题目详解】（1）当时，，此时不等式无解；当时，，由得；当时，，由得，综上，不等式的解集为；（2）依题意，在区间上恒成立，则，当时，；当时，，所以当时，，由得或，所以实数的取值范围为.【答案点睛】本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，考查学生分类讨论与转化与化归的思想，是一道基础题.21．（1）（2）为定值．【答案解析】

（1）根据题意,得出,从而得出椭圆的标准方程．（2）根据题意设直线方程：,因为直线与椭圆相切,这有一个交点,联立直线与椭圆方程得,则,解得①把和代入,得和,,的表达式,比即可得出为定值．【题目详解】解：（1）依题意,,,．所以椭圆的标准方程为．（2）为定值.①因为直线分别与直线和直线相交,所以,直线一定存在斜率