利用导数判断函数的单调性

关于利用导数判断函数的单调性第一页，共二十三页，2022年，8月28日（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:

（3）.三角函数：

（1）.常函数：(C)/

0,(c为常数)；

（2）.幂函数：

(xn)/

nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式第二页，共二十三页，2022年，8月28日2.导数的运算法则（1）函数的和或差的导数

(u±v)/＝u/±v/.

（3）．函数的商的导数（）

/=(v≠0)。（2）．函数的积的导数

(uv)/＝u/v+v/u.第三页，共二十三页，2022年，8月28日定理设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y=f((x))也可导.且或或复合函数的求导法则即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)第四页，共二十三页，2022年，8月28日3.

函数的单调性:

对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.第五页，共二十三页，2022年，8月28日二、新课讲解:

我们已经知道,曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:

yxo11－1

在区间(2,+∞)内,切线的斜率为正,函数y=f(x)是增函数,即>0时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内为增函数.

在区间(-∞,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)是减函数,即<0时,函数y=f(x)在区间(-∞,2)内为减函数.2mn2第六页，共二十三页，2022年，8月28日用函数的导数判断函数单调性的法则：1．如果在区间(a，b)内，f’(x)>0，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；2．如果在区间(a，b)内，f’(x)<0，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间；若在某个区间内恒有则为常数第七页，共二十三页，2022年，8月28日例1．如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？D第八页，共二十三页，2022年，8月28日解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t)开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增速快，图A表示S的增速是常数，与实际不符，图A应否定；图B表示最后时段S的增速快，也与实际不符，图B也应否定；图C表示开始时段与最后时段S的增速快，也与实际不符，图C也应否定；图D表示开始与结束时段，S的增速慢，中间的时段增速快，符合实际，应选D。第九页，共二十三页，2022年，8月28日例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f’(x)＞0，

f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f’(x)＜0，

f(x)是减函数.第十页，共二十三页，2022年，8月28日例3:讨论f(x)=x3-6x2+9x-3的单调性.解:f'(x)=3x2-12x+9令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当或时,f(x)是增函数.令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当时,f(x)是减函数.第十一页，共二十三页，2022年，8月28日故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增函数,在(1,3)内是减函数.10331yx而我们可以从右边的函数的图象看到上面的结论是正确的.（一）利用导数讨论函数单调性的步骤:(1):求导数(2)解不等式>0得f(x)的单调递增区间;解不等式<0得f(x)的单调递减区间.第十二页，共二十三页，2022年，8月28日例4．证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证明：∵f’(x)=()’=(－1)·x－2=－，∵x>0，∴x2>0，∴－＜0.即f’(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.第十三页，共二十三页，2022年，8月28日例5．求函数y=x2(1－x)3的单调区间.解：y’=[x2(1－x)3]’=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2[2(1－x)－3x]=x(1－x)2·(2－5x)令x(1－x)2(2－5x)＞0，解得0＜x＜.∴y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，)第十四页，共二十三页，2022年，8月28日

令x(1－x)2(2－5x)＜0，解得x＜0或x＞且x≠1.∵x=1为拐点，∴y=x2(1－x)3的单调减区间是(－∞，0)，(，+∞)第十五页，共二十三页，2022年，8月28日练习题1．函数y=3x－x3的单调增区间是(

)(A)(0，+∞)(B)(－∞，－1)(C)(－1，1)(D)(1，+∞)C第十六页，共二十三页，2022年，8月28日2．设f(x)=x＋(x<0)，则f(x)的单调增区间是()(A)(－∞，－2)(B)(－2，0)(C)(－∞，－)(D)(－，0)C第十七页，共二十三页，2022年，8月28日3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是(

)(A)单调增函数(B)单调减函数(C)在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数(D)在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数C第十八页，共二十三页，2022年，8月28日4．函数y=x2(x+3)的减区间是

，增区间是.(－2，0)(－∞，－2)及(0，+∞)5．函数f(x)=cos2x的单调区间是

.(kπ,kπ+),k∈Z第十九页，共二十三页，2022年，8月28日6．函数y=的单调增区间是

.(0，1)7．证明：函数f(x)=ln(cosx)在区间(－,0)上是增函数。证明：f’(x)=(cosx)’=－tanx.当x∈(－,0)时,－tanx>0,即f’(x)>0,∴函数f(x)=ln(cosx)在区间(－,0)上是增函数。第二十页，共二十三页，2022年，8月28日8．当x>1时，证明不等式：证明：设f(x)=显然，f(x)在[1，∞)上连续，且f(1)=0．f’(x)=∵x>1,∴>0，于是f’(x)>0.

故f(x)是[1，+∞)上的增函数，应有：当x>1时，f(x)>f(1)=0，

即当x>1时，第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日五、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数