动力学基本方程

关于动力学基本方程第一页，共二十四页，2022年，8月28日

工程实际中的动力学问题

棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。Fv1v2第二页，共二十四页，2022年，8月28日

工程实际中的动力学问题载人飞船的交会与对接Av1Bv2第三页，共二十四页，2022年，8月28日

工程实际中的动力学问题航空航天器的姿态控制第四页，共二十四页，2022年，8月28日牛顿及其在力学发展中的贡献

牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病，学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。第五页，共二十四页，2022年，8月28日★

牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。★牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。★牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。第六页，共二十四页，2022年，8月28日第15章

动力学基本方程第七页，共二十四页，2022年，8月28日15.1动力学的基本定律第一定律(惯性定律)不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。第八页，共二十四页，2022年，8月28日15.1动力学的基本定律第二定律(力与加速度关系定律)在经典力学中质点的质量是守恒的质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。第九页，共二十四页，2022年，8月28日15.1动力学的基本定律国际计量标准g＝9.80665m/s2，一般取g＝9.8m/s2在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。在地球表面，任何物体都受到重力P的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用g表示。由第二定律有或第十页，共二十四页，2022年，8月28日15.1动力学的基本定律必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。第三定律（作用与反作用定律）两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。

以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。第十一页，共二十四页，2022年，8月28日2.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影3.质点运动微分方程在自然轴上投影1.矢量形式的质点运动微分方程15.2质点的运动微分方程第十二页，共二十四页，2022年，8月28日15.2质点的运动微分方程第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。第十三页，共二十四页，2022年，8月28日例10.1例1如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方程为x＝acoswt，y＝asinwt，求作用在质点上的力F。ijvrF解：以质点M为研究对象。分析运动：由运动方程消去时间t，得质点作椭圆运动。将运动方程对时间求两阶导数得：代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：力F与矢径r共线反向，其大小正比于矢径r的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有心力。yxxbaOM第十四页，共二十四页，2022年，8月28日例10.3

例2从某处抛射一物体，已知初速度为v0，抛射角为a，如不计空气阻力，求物体在重力单独作用下的运动规律。解：研究抛射体,列直角坐标形式的质点运动微分方程积分后得xyM初始条件为第十五页，共二十四页，2022年，8月28日

轨迹方程为：由此可见，物体的轨迹是一抛物线。于是物体的运动方程为：确定出积分常数为：第十六页，共二十四页，2022年，8月28日15.3.1刚体绕定轴的转动微分方程主动力:约束力:对刚体内任一质点,根据质点动力学基本方程：第一式两边同时乘以，可得：对整个刚体则有：第十七页，共二十四页，2022年，8月28日15.3.1刚体绕定轴的转动微分方程或:则有：或刚体定轴转动微分方程称为刚体对转轴z轴的转动惯量令第十八页，共二十四页，2022年，8月28日15.3.2刚体对轴的转动惯量1.简单形状物体的转动惯量计算(1)均质细直杆对一端的转动惯量由，得第十九页，共二十四页，2022年，8月28日（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量（3）均质圆板对中心轴的转动惯量式中：

或15.3.2刚体对轴的转动惯量第二十页，共二十四页，2022年，8月28日2.回转半径（惯性半径）或3．平行轴定理

式中轴为过质心且与轴平行的轴，为与轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.15.3.2刚体对轴的转动惯量第二十一页，共二十四页，2022年，8月28日证明：15.3.2刚体对轴的转动惯量第二十二