大一高数-第一章数列极限_第1页
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文档简介

一、数列极限的定义二、收敛数列的性质§1.2数列的极限上页下页铃结束返回首页数列

如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

一、数列的极限

当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为下页数列极限的描述性定义如果一个数列没有极限,则称该数列是发散的。举例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

1如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?讨论下页二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)

如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一

定理2(收敛数列的有界性)

如果数列{xn}收敛那么数列{xn}一定有界

2收敛有界

无界发散有界收敛

发散无界下页二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)

如果数列{xn}收敛那么它的极限唯一

定理2(收敛数列的有界性)

如果数列{xn}收敛那么数列{xn}一定有界

定理3(收敛数列的保号性)

如果数列{xn}收敛于a,且a0(或a0)

那么存在正整数N

当nN时有xn0(或xn0)推论

如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0)

且数列{xn}收敛于a

那么a0(或a0)注:

在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列.

定理4(收敛数列与其子数列间的关系)

如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛且极限也是a下页

例如数列{xn}1

11

1

(1)n1

的一个子数列为{x2n}

1

1

1

(1)2n1

1数列的子数列如果发散,原数列是否发散?2数列的两个子数列收敛,但其极限不同,原数列的收敛性如何?3发散的数列的子数列

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