文科数学-第1篇1讲

[最新考纲]1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．第1讲集合及其运算4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、

、无序性．(2)元素与集合的关系是

或

关系，用符号

或

表示．互异性属于不属于∈∉2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同_____子集A中任意一个元素均为B中的元素_____真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素_____空集空集是任何集合的

，是任何非空集合的真子集A＝BA⊆B子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝___________________A∩B＝___________________∁UA＝________________x∈B}{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A,且{x|x∈U，且x∉A}辨析感悟1．元素与集合的辨别(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.()(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．()×√×√√√[感悟·提升]1．一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是混淆了数集与点集．2．两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6)．3．集合的运算性质：①A∪B＝B⇔A⊆B；②A∩B＝A⇔A⊆B；③A∪(∁UA)＝U；④A∩(∁UA)＝∅.考点一集合的基本概念【例1】(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()．A．4 B．2C．0 D．0或4(2)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()．A．1 B．3C．5 D．9解析(1)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.(a＝0不合题意舍去)(2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}．答案(1)A(2)C规律方法集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．解析由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2014＋b2014＝1.答案1考点二集合间的基本关系【例2】(1)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．(2)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求m的值．解(1)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．综上，m的取值范围是(－∞，4]．(2)A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.规律方法

(1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不解．(2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．【训练2】(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()．A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()．A．{－1} B．{1}C．{－1,1} D．{－1,0,1}答案(1)D(2)D考点三集合的基本运算【例3】(1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2，3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁UB＝ ()．A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅(2)若集合M＝{y|y＝3x}，集合S＝{x|y＝lg(x－1)}，则下列各式正确的是()．A．M∪S＝MB．M∪S＝SC．M＝SD．M∩S＝∅(2)先分别求出集合M，S，再判断选项．解析(1)由∁U(A∪B)＝{4}知A∪B＝{1,2,3}．又B＝{1,2}，∴3∈A，∁UB＝{3,4}，∴A∩∁UB＝{3}．(2)M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故选A.答案(1)A(2)A规律方法

一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时注意端点的情况．【训练3】(1)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B

＝{2,4}，则(∁UA)∪B为()．A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩(∁UB)＝________.解析(1)∁UA＝{0,4}，∴(∁UA)∪B＝{0,2,4}．(2)由log2(x－2)＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故∁UB＝{x|x≤2，或x≥4}，从而A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤2}．答案(1)C(2){x|－1≤x≤2}数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．创新突破1——与集合有关的新概念问题【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．A．3 B．6C．8 D．10

解析法一(列表法)因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示：由题意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10，故选D.yx－yx1234510－1－2－3－4210－1－2－33210－1－243210－1543210法二(直接法)因为A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，x＞y.当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；当y＝4时，x只能取5，共有1个数；当y＝5时，x不能取任何值．综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为4＋3＋2＋1＝10.答案D[反思感悟](1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．【自