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文档简介

2022/12/18连续的定义定义1

设在内有定义，若，那末就称在点连续，称为的连续点。

复习定义2

设函数在内有定义,

若则称函数在点连续.

定义3设函数在内有定义

称函数在点处连续.

2022/12/18隐含:

在去心领域必有定义但在点x0的去心领域内有定义2022/12/18第一类间断点:跳跃间断点与可去间断点.特点第二类间断点2022/12/18初等函数求极限的方法代入法.

2022/12/18第八节闭区间上连续函数的

性质一、最大值和最小值定理二、零点定理与介值定理

新课要掌握证明的技巧！

第一章

2022/12/18一、最大值和最小值定理最值定义:例如,2022/12/18定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值.2022/12/18注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界并一定有最大值和最小值.2.若区间内有间断点,定理不一定成立.2022/12/18二、零点定理与介值定理定义定理2(零点定理)

设

f(x)在闭区间[a,b]上连续

,且

f(a)与

f(b)异号(即f(a)

f(b)<0),则至少存在一点

(a,b)使

f()=0.几何解释:2022/12/181.若f(x)在开区间连续,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.注意2022/12/18一个主要应用：证明方程根的存在性或者证明函数零点的存在性.定理2(零点定理)

设

f(x)在闭区间[a,b]上连续

,且

f(a)与

f(b)异号(即f(a)

f(b)<0),则至少存在一点

(a,b)使

f()=0.例1例1’另例2022/12/18证由零点定理,例22022/12/18例3证由零点定理,设辅助函数是微积分证明中常用到的技巧之一.另例2022/12/18例4证:

设(一元n次)实系数奇次多项式方程为：为奇数不妨设当时，则当时，则由零点定理，得即方程有实根.2022/12/18几何解释:Mf(b)f(a)mab定理3(介值定理)设

f(x)在闭区间[a,b]上连续

,且

f(a)f(b)则对介于f(a)与

f(b)之间的任意一个实数

,至少存在一点

(a,b)使

f()=.推论1在闭区间上连续的函数必取得介于最大值

M

与最小值

m

之间的任何值.即2022/12/18推论1在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例5即2022/12/18推论1在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.推论2在闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间.Mym0baxy=f(x)几何解释:如图，将连续曲线弧y=f(x)(a≤x≤b)

向y

轴作投影，其投影必然是线段，而不会是支离破碎的点集2022/12/18三、小结三个定理最值定理;介值定理;零点(根的存在性)定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),验证F(x)满足零

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