不等式的若干证明方法

2016届本科毕业论文（设计）题目：不等式的若干证明方法学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学12-1班学生姓名：高春指导教师：马昌秀答辩日期：2016年5月3日新疆师范大学教务处TOC\o"1-5"\h\z.引言1.证明不等式的常用方法2比较法2作差法2作商法2分析法3综合法3反证法4放缩法5数学归纳法5换元法6增量换元法6三角换元法6比值换元法7标准化法7公式法8分解法8构造法9构造对偶式模型9构造函数模型9借助几何法10.利用函数证明不等式10极值法10.利用著名不等式11均值不等式11柯西-施瓦茨不等式12拉格朗日中值定理12赫尔德不等式13詹森不等式13闵可夫斯基不等式14伯努利不等式15切比雪夫不等式15琴生不等式16艾尔多斯―莫迪尔不等式16排序不等式定理16.小结错误！未定义书签。参考文献18谢辞错误！未定义书签。不等式的若干证明方法摘要：不论在初等数学还是高等数学中，不等式都是非常重要的内容，而不等式的证明又是不等式知识的重要组成部分，在本篇文章中，综述了证明不等式的若干方法，从初等数学不等式的证明中经常用到的数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等，到高等数学不等式的证明中经常利用的中值定理、泰勒公式以及一些著名的不等式,使不等式的证明方法更加的完善，有利于进一步的探讨和研究不等式的证明。关键词：不等式；不等式证明；常用方法SomeproveinequalitiesmethodAbstract:inboththeelementarymathematicsandadvancedmathematics,thecontentoftheinequalityisveryimportant,inequalityandtheproofisanimportantpartofknowledge,inthisarticle,severalmethodstoproveinequalityarereviewedinthispaper,fromtheelementarymathematicsinequalityanalystfrequentlyusedmathematicalinduction,thereductiontoabsurdity,zoomingmethod,substitutionmethodandelementarymethod,functionmethod,geometricmethod,etc.,tothehighermathematicsinequalityanalystoftenuseofmeanvaluetheorem,Taylorformulaandsomefamousinequality,theinequalityproofmethodmoreperfect,isconducivetofurtherexploreandresearchofinequalityproof.Keywords:inequality;Inequalityproof;Commonlyusedmethod.引言在生?S中，虽然不等关系要比相等关系更多的存在于现实世界里，但是人们对于不等式的认识要比等式要迟的多，直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论中的一个重要组成部分。数学不等式的研究最早从欧洲国家开始兴起，其中有一个较大的研究群体，它是位于欧洲东部的原南斯拉夫国家，对不等式的研究更是做出了巨大贡献。在数学不等式理论的发展史上，一共有两个比较重大的事件，它们分别是：切比雪夫在1882年发表的论文和高德菲・哈罗德・哈代在1928年任伦敦数学会主席届满时的演讲。哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作《InequaHties»的前言中更是对不等式的哲学做出了非常有见地的见解：一般来讲初等的不等式应该有初等的证明，证明应该是“内在的”，并且应该给出使等号成立的证明。Fink说道：人们应该尽量陈述和证明那些不能推广的不等式；哈代也说：“基本的不等式是初等的"。自哈代、李特尔伍彳惠以及波利亚的著作《Inequalities»由CambridgeUniversityPress在1934年开始出版以后，数学不等式的理论和数学不等式理论应用的研究在数学史上正式开始活跃起来，成为一门新兴的独立的数学学科，从此以后不等式便不再是一些零星散乱、孤立的公式综合，而是逐渐发展成为一套系统的、独立的科学理论。自20世纪70年代以来，按照国际惯例，每四年在德国召开一次关于一般不等式(GeneralInequalities)的国际学术会议，并且还要出版专门的会议论文集，不等式理论更是2000年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会("TheThirdWorldCongressofNonlinearAnalysts"(WCNA2000))的主题之一，从这些方面我们可以看出不等式在数学中的重要性。在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法，在本文中，就不一一说明了，而主要介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法，希望通过这些方法的学习，我们可以更好的认识数学中不等式的一些特点，从而开拓我们的数学视野，深化我们对不等式的认识，以便于站在更高的角度来研究数学不等式，让数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达。.证明不等式的常用方法比较法比较法是把不等式两边作商或作差后和1或0做比较的方法，常用比较法的有两种：作差法和作商法。作差法从不等式两边的差是正数还是负数来判断它们的大小，其理论根据就是：若a-b>0,则a〉b;若a-b<0,则acb.此外,还要特别注意对任何实数,其平方后必不小于零。在运用此方法证不等式时，常常求不等式两端的差，所以这种方法通常也称为求差法。例求证：对任何实数a,b,c成立下述不等式：abbcac<a2b2c2.证明：利用比较大小的办法，我们求不等式两边式子之差，因为a2b2c2-(abbcac)122_22_22_=-(a2b2-2abb2c2-2bca2c2-2ac)=-[(a-b)2(b-c)2(c-a)2]-02所以abbcac-a2b2c2.作商法作商法是把不等式两边做比，然后与1作比较，看比值是大于1还是小于1a-'b例设a,bWR：求证：aabf(ab)2.(由于要比较的两式成幕的结构，故结合函数的单调性，故可采用作商比较法来证明a-ba.b汩b-aa-b证明:作商得：丹至二ah・bkab-证明:又由指数函数的性质a-b当”b时,丁a-b当…0时,；,£―21a-f]a-f]baabb_ab-.当b〉a>0时，0<刍<1,"b<01a[2>1.即b232.2分析法分析法也叫逆推法，就是假定给的不等式是成立的，推测使它成立的条件，用包等变换和不等式的性质继续推测能使这些条件成立的条件，这样逐步的递推下去，最后得到一个已知成立的不等式的方法，并且让推导过程的每一步又都是可逆的，便证明了原不等式是正确的。对于比较复杂的不等式，往往可以运用这种方法进行思考，从而探索证题的途径。例已知0<C（cn,证明2sin2awcot.,并讨论当«为何值时等号成立.证明：若原不等式2sin2awcot|■成立，则可写成2sin2”小竺sin：,由于0,两端乘以正数sina,则问题化为证明2sin二sin2：_1cos;22、2sin：sin2--4sin：cos（1cos-）-=4（1-cos-）cos-=4（1-cos二）（1cos二）cos二所以问题又化为证明不等式（1cos：）[4（1-cos：）cos.--1]M0一1o即（1cos：）[-4（cos>--）]^0这个不等式的正确是显然的，故原不等式成立.因为0<a<n,所以等号成立当且仅当cosa—1=0，解出a='.232.3综合法综合法是利用已经证明过的不等式和不等式的性质，推出所要证明的不等式成立，综合法也是分析法的逆推.对于比较复杂的不等式，如果从已知直接推出结果，往往不易成功，这时，我们便可用逆向思维，由结果去推已知，也许会简单些因此，在证明题时通常是先用分析法去探索证题的途径，再用综合法叙述证明过程.综合法证明不等式的逻辑关系是：(已知A)逐步推演不等式成立的必要条件(结论B),符号如下：A=B1=-B2='=•Bn=B.例已知a,b,c为正实数，用综合法证明2(a3+b3+c3).a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).证明：a>0,b>0—a+b>0,(a-b)2.02(a+b)(a-b)2-0(a2-b2)(a-b)-0_3_223a-ab-ab+b_0a3+b3_ba2+ab2同理b3+c3_cb2+bc2,c3+a3_ac2+ca2,三同向的不等式的两边相加得到：2a3+2b3+2c3-a2b+a2c+ab2+cb2+c2a+c2b.2.4反证法反证法是从求证结论的反向入手，即假设求证的不等式不成立，然后经过一堆番合乎逻辑的推理，推出与已知条件或其他正确的定理、命题、公式相矛盾的结论，从而否定开始所作的假设，以此断定求证的不等式成立的方法，也就是逆向思维。例已知a,b,c,d亡R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证：a,b,c,d中至有一个是负数.证明：假设a,b,c,d都是非负数，因为ab=cd=1所以(ab)(cd)=1又(ab)(cd)=acbcadbd-acbd所以acbd<1这与已知ac+bd>1矛盾.所以a,b,c,d中至少有一个是负数.注：对于某些问题，应用直接证法，过程繁杂或不易证明时，可考虑是否可用反证法。

2.5放缩法放缩法是把不等式两边通过添加或减少一些项使得到的式子与原式相差不大但可以更好的利用不等式性质的方法。放缩的技巧：想要证明AMB,先找到一个(或多个)中间变量C,使A<C<B,选择由A到C叫做“放”1例求证：1++12123，由B到C叫做“缩”。11选择由A到C叫做“放”1例求证：1++12123，由B到C叫做“缩”。11_11证明：因为1+++■■■+12123+■■■■■■■■■+:二2.123：::n1++-■+1223(n-1)n1111=1(1)()++()23n-1n二2一1：二2n故原不等式成立.注：1、不等式放缩法的理论依据，是不等式的传递性，即若a〉b，Bac，c>d，则A〉D；2、在使用放缩法时，“放”和“缩”都不能过头，要适当；3、放缩法的技巧性比较强，一般用于两边差别比较大的不等式中。2.6数学归纳法数学归纳法，常用于题目中带有n的题，一般步骤为先假设当n=1和n=k是不等式成立，再证明当n=k+1是不等式成立，则原题得证。,一.、111例求证：++——113..+...+一>一(n为大于1的自然数).2n24证明：(1)当=2时,C117S2=A；212212c13Sk>一；24下证当=k+1时，原不等式也成立:因为k1k2k32k24'所以11111111Sk1—Sk=-------•・・・・——k2k3k42(k1)k1k2k32k

2k12k12(k1)k12k12(k1)2(k1)(2k1)〜13一13所以SUA0〉13,即Sk^>—k2424由（1）（2）知原不等式成立.2.7换元法换元法是把原不等式中的项用一些更简便的字母代替掉，用代替后的式子求解后再代回去的方法。增量换元法一般的，对称式（任意交换式子中两个字母的位置，式子的大小不变）和给定字母顺序（如a>b>c）的不等式，常用增量法来换元，换元的目的呢，是通过换元来达到减元，使问题变得简单。例已知x〉yA0,求证：五―亚<。x_y证明：由xay>0,可令x=y+t（t>0）因为yt:yt2yt=Qyt）11112—十一-+-.2.xycos-sin-所以\y.t；、、vA故x-,y：、x_y.三角换元法三角换元是一种很常见的换元方法，多用于条件不等式的证明，在解答类似这些题目时，适当的选择三角函数来进行换元，把代数问题转化为三角问题，然后根据三角函数的性质解决问题。例已知x=cos2u,2y=sin2«,«w(0,"),求证：-+—>3+2722xy22'证明：x=cos,2y=sin，一(0,—),..22=1tan.工222cot;=3tan2,;2cot2:二32tan:(2cot:)=32.2tan二cot二=32.2.当且仅当tan2a=2cot2a,即o(=arctan42时,x=——1^,2y=近，取“二”号.x.21.22.7.3比值换元法对于题目中有多个等比式的不等式，我们先设一个辅助未知数去表示这个比值,然后将比值代入不等式求解，这就是比值换元法。例已知x—1=匕1=^z二2,求证：x2+y2+z2>4—TOC\o"1-5"\h\z23，14.证明：设x—1=H===k,23,于是x=k+1,y=2k-1,z=3k+2把以上各式代入x2+y2+z2得x2+y2+z2=(k+1)2+(2k-1)2+(3k+2)25233=14(k)4—4—.141414标准化法形如f(Xi,x2，…，xn)=siXiSix2…sixn的函数，其中0<xiE冗,且Xi十x2十…十人为常数，则X之间的值越接近，f(X1,X2，…，Xn)的值越大(或不变)；当Xi=X2="*'=Xn时，f(Xi，X2，…，Xn)取最大值,即TOC\o"1-5"\h\znXiX2Xnf(x1,x2,,xn)=sinx1sinx2sinxn'sin.nAB标准化止理：当A+B为吊数时，有sinAsinBMsin.2

例设A,B,C为三角形的三内角，求证：sin—sin—sin—<-.22281=1=sin—二一22AB当A=B=C时，sin—=sin—…A…B…C1取最大值sin—sin-sin—=一取最大值TOC\o"1-5"\h\z2228故sinAsinBsinCJ2228公式法应用一些公式的结论，可以很好的得出一些难以证明的不等式的证明例已知a,b,c为AABC的三边长，求证：2222224442ab2ac2bcabc.1证明：由海伦公式S&bc=Jp(p—a)(p—b)(p—c),其中p=](a+b+c).两边平方，移项整理得16(Sabc)2=2a2b22a2c22b2c2-a4-b4-c4,而S.ABC'0,所以2a2b22a2c22b2c2a4b4c4.分解法按照规定法则，把一个数或一个式分解为几个数或几个式，使复杂的问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，以更方便快捷的方法解题。例n^2,且n^N,求证：1+1+1+…+1an(Vn+1-1).23n证明：因为1+1+1十…十2+n=(1+1)十।[+i]+…+]!+[|23n23n「34n1「34n1n,=2nn2<-<-<:——nnn1.23n23n

一111——所以1n(.n1-1).23n2.11构造法构造法是通过构造一定的数学模型来解题的方法，所以用这方法的时候定要注意模型的选取，之后就会得到独特且有创意的解法。2.11.1构造对偶式模型构造对偶式模型是先构造出和原不等式形式相同结果不同的式子，然后通过之间联系解题的方法。例求证:132n-11例求证:I**!*,父"42n52n12442n52n1132n-1证明：设A=-242n2n-12n2n2n1,1一1因止匕A<B,从而A2<AB=，即a<^^=2n1;2n1,故原不等式成立.2.11.2构造函数模型我们都知道，函数是学习数学的一条主线，一些本身没有明显函数关系的问题，通过类比、联想、归纳、转化等数学方法便可以合理的构造成函数模型，从而解决问题。例已知a+P+'z=n,证明x2+y2+z2之2xycos豆+2yzcosP+2xzcos?证明：考虑函数f(x)=x2+y2+z2-2xycos£-2yzcos口-2xzcos?=x2-2(ycos-^1zcos)xy2z2-2yzcos:因为=4(ycos：zcos)2-4(y2z2-2yzcos:)=-4(ysin二-zsin)2m0.又x2的系数大于零，所以f(x)的值恒大于或等于零，

所以x2y2z2_2xycos二"2yzcos:2xzcos.2.12借助几何法利用数形关系，掌握代数(三角)与几何的知识和方法，把一部分代数(或三角)不等式转化为几何问题，例如运用“两点间以连接这两点的直线段为最短的连线”、“三角形两边之和大于第三边”、“三角形大角对大边”等几何结论，证明不等式往往会比较方便，反之有些几何不等式也可以转化为代数或三角问题，迅速得到证明。例已知a是一个小于1的正数，证明...(1-a)2(1-b)2、,(1-a)2b2a2(1-b)2..a2b2,2.2证明：作边长为1的正方形ABCD,并用EF,GH将他划分为四个矩形，使AE=a,AG=b,则可根据三角形中两边之和大于第三边的道理，得至UOAOC_AC,BOOD_BD,(1)\a2b2+,(1—a)2(1—b)2—2a2(1-b)2+1(1-a)2b2八2⑴+⑵即得-,(1-a)2(1-b)2、(1-a)2b2..a2-(1-b)2:a2b2_2、,2.3.利用函数证明不等式极值法对于像f(x)>A(或f(x)EA)(在区间I上)这样的不等式，极值法的关键是证明函数f(x)(在区间I上)有唯一的极小值并且极小值大于等于A(或有唯一的极大值且极大值小于等于A),做法也比较简单。例证明不等式1-1工型二，其中x*0,bA0x1bx-1,b1证明：令f(x)=1证明：令f(x)=11、口一,［己A—x1bx-1b-1b1即要证f(x)<A,由于f(x)<A,由于f(x)在［0,〜］上连续可导,且有f(x)=1(且有f(x)=1(x1)2(bx1)2b-1(x1)2(bx1)2(1-bx)所以“刈在［0,y］上有唯一确定的驻点x=工，并且由极值的第一b充分条件可得，f(x)充分条件可得，f(x)在取得的唯一极大值也是最大值，于是f(x)在［0,F］上有最大值,［0,F］上有最大值,并且最大值为0,1、\b-1b-1八f(—尸)――尸——A,故f(x)<———=A)b,b1b1即工-1_b—1x1bx-1,b14.利用著名不等式均值不等式已知a,b正数，则:211—十一abw相34已知a,b正数，则:211—十一abw相34立^这个不等式用沟通了调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数的关系，用这个不等式可以方便的解决很多求范围与证明问题。例已知a,b,c是正实数，且a+b+c=1,求证：(1-1)(1-1)(1-1)>8.abc分析：不等式右边的值是8,左边是3个差不多的式子相乘3个因式分别使用均值不等式，可以得到3,容易想到，对左边

个2连乘，又1_1=上£="£主遂，由此变形可入手。aaaa证明：因为a,b,c是正实数，a+b+c=1,所以11-abc2,bc——=——=——aaaa同理:一五，1_1一遂bbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得:11-1)(b-1)(c-1)-=81一,当且仅当a=b=c=1时取等号.34.2柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式网b2b2b2［f(x)g(x)dx］2<f2(x)dxg2(x)dxTOC\o"1-5"\h\z•aa-abb12f(x)dxdx_(b-a)aaf(x)证明：由柯西-施瓦茨不等式，得2例设bb12f(x)dxdx_(b-a)aaf(x)证明：由柯西-施瓦茨不等式，得2b-1C因为(,f(x)dx)=(b-a)…f(x)bb12所以f(x)dxdx_(b-a).aaf(x)4.3拉格朗日中值定理拉格朗日公式［6］：若函数f(x)满足下列条件：(1)在［a,b］上连续，(2)在(a,b)内可导；则在开区间(a,b)内至少存在一点c,使得：f(b)-f(a)=f(c)(b-a)b-ab-a例证明，当0<a<b时：2<arctanb-arctana<21b21a2.证明：当0<a<b时，函数f(x)=arctanx在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，且1一、一…f(x)=-2,由拉格朗日定理得：1x2f(b)-f(a)=f(c)(b-a),c(a,b),

TOC\o"1-5"\h\z1,arctanb-arctana=2(b-a),a:二c::b1cb-a1、b-a2:二2(b-a):二21b21c21a2,b-a1b2b-a1b2二arctanb-arctana二1a2则不等式成立.赫尔德不等式设aj(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)是正实数，aj(j=1,2,…,m)是正实数，且nnnna1+a2+~+am=1M(£ai1)a1(Zai2『2一(£aj3n>Zw1aa2a2…a/[9]i1i1i1id例已知a,b,cwR：且2a2+b2=9c2,求证：2c+->V3.ab证明：利用赫尔德不等式，得2cc2cc2a2c2(--)(--)[(一)2(-)2]ababcb碍噂,町)2n:审13=(21)3即9(空-)2-27ab所以?:-'3詹森不等式n若f(x)为[a,b]上凹函数，则对X/X1『a,b],%>0(i=1,2,3,1n),£%=1i1nn有fCiXi)-xif(Xi)i1i=1

a-bc例不等式(abc)3Maabbcc,其中a,b,c均为正数.证明：设f(x)=xlnx,x>0,由f(x)的一阶和二阶导数1f'(x)=lnx1,f''(x)=1x可见f(x)=xlnx,在xa0时为严格凸函数，依Jensen不等式有：abc1f(-――)--[f(a)f(b)f(c)]33abcabc1从而ln_一(alnablnbclnc)333即(abc)abc<aabbcc3所以闵可夫斯基不等式TOC\o"1-5"\h\z设a'azL-an'bpbz，...,〉是两组实数，k：0,k#1，则11-n禾rn1n、1「(a+bj平(a2E(bi);k(J=1」Ii=1i=1J"n1n1之Z(akV+Qb：)],(0〈k〈1)g日J当且仅当电=曳=..=曳时等号成立.b1b2bn闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当k=2,n=2时得平面上的三角形不等式：J（a1j+⑸他2mJ-2+a|7b+b|.

上图给出了对上式的一个直观理解。若记a=(a1,a2),b=(b1,b2)则上式为a+b<a|+|b.伯努利不等式(1)设X>-1,i=1,2,...,n,n:2,且同号,则+―+(1+x1.+x2)...(1+xn山+x...xn.(2)设x)—1,则：(i)当0G〈1时，有(1+x产41+ctx；(ii)当s：1或aS时，有(1+x021+ux,上两式当且仅当x=0时等号成立.切比雪夫不等式(1)若a1Ma2M...Man,bMb2M...〈bn,贝U一a1bla2b2n...anb一a1bla2b2n...anbn-2;(a1a2，.ab)[b.2.bn...(2)若a14a2<...<a(a1a2，.ab)[b.2.bn...1..，一为b1ab2.2.anbn一n卜面给出一个n=2时的契比雪夫不等式的直观理解.如图所示，在矩形OPACfr,优wa2,h£b2,很显然的有，阴影部分矩形的面积之和不小于空白部分矩形的面积之和（沿图中线段MN向上翻折比较就可以知道）.于是有：TOC\o"1-5"\h\zaia2bb2M2aibia2b2,即a〔a?bb2a1b1a2b2.4琴生不等式设f（x）为（a,b）内的凸函数，则对于（a,b）内的任意n实数为）2,...,%有：x1x2...xn1f-fXfx2...fxn,nn-等号当且仅当x〔=x2=...=xn时取得.琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的.利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式，比如“幕平均不等式”，“加权的琴生不等式”等等。艾尔多斯一莫迪尔不等式设P点是VABC内部或边界上的一点，P点到三边的距离分别为PD,PE,PF,则:PAPBP2CPDP,EPF当且仅当VABC为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号.这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。排序不等式定理排序不等式定理：（排序不等式，又称排序定理）设司Wa2M-Wan,b14b2«…4bn为两组实数,GWc2MYCn是b<b2<…，bn的任一排列,那么&bn+%bn4+…+anb<+azQ+■+anCn<a[b+a2b2+anbn,当且仅当a1=a2=…=an或b=b2=11■=bn以上排列不等式也可以简记为：反序和w乱序和w同序和。5.小结不等式在数学的整个学习和研究的过程中都是一个非常重要的内容，它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的多个方面的内容，在数学中有着不可代替的作用，而不等式的证明则是不等式研究的重要内容，通过国内外多个专家和学者的不懈努力,不等式证明已经取得了丰硕的成果.著名数学家Metronomic在他的名著《AnalyticInequalities»的序言中说到：“所有的分析学家都要花费一半的时间通过文献查找他们想要而又证明不出来的不等式”。由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很大的现实意义。在高等数学中，不等式有着举足轻重的作用，尤其是在研究数学分析中，起着不可替代的作用.由于不等式本身就很抽象，逻辑性也比较强，以及