2021年中考数学真题分类汇编：专题25圆的有关位置关系解析版

2021年中考数学真题分类汇编：专题25圆的有关位置关系一、单选题（2021浙江嘉兴市中考真题）已知平面内有。0和点A,B,若OO半径为2cm,线段OA3cm,OB2cm,则直线AB与。0的位置关系为（）A.相离B.相交C.相切D,相交或相切【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.【详解】解：,•.0的半径为2cm,线段0A=3cm,线段0B=2cm,即点A到圆心0的距离大于圆的半径，点B到圆心0的距离等于圆的半径，•・•点A在:。外.点B在丁。上，••・直线AB与丁。的位置关系为相交或相切，故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键.（2021四川凉山彝族自治州中考真题）下列命题中，假命题是（）A.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B.等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C.若ABBC,则点B是线段AC的中点D.三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心【答案】C【分析】根据中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的定义分别判断即可.【详解】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故为真命题；B、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合，故为真命题；C、若在同一条直线上AB=BC,则点B是线段AC的中点，故为假命题；D、三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心，故为真命题；故选C.【点睛】本题考查了中点的定义，直角三角形的性质，三线合一以及外心的性质，属于基础知识，要熟练掌握.（2021山东泰安市中考真题）如图，在&ABC中，AB6,以点a为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC,AB分别交于点E和点G,点F是优弧GE上一点，CDE18,则GFE的度数是（）A.50°B,48°C.45°D,36°【答案】B【分析】连接AD,由切线性质可得•.ADB=-.ADC=90°,根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得.BAD=60°,易求得,.ADE=72°,由AD=AE可求得•.DAE=36°,则...GAC=96°,根据圆周角定理即可求得.GFE的度数.【详解】解：连接AD,则AD=AG=3,.「BC与圆A相切于点D,•••.ADB=1.ADC=90°,AD1在Rt-ADB中,AB=6,则cos.BAD==一,AB2•••.BAD=60°,•••.CDE=18°,•••.ADE=90-18°=72°.AD=AE,•••.ADE=1.AED=72°,•••.DAE=180-2X72°=36°•••.GAC=36°+60°=96°___1一一„-.GFE=—•GAC=48,2

故选：B.【点睛】故选：B.【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得.「BAD=60°是解答的关键.（2021浙江金华市中考真题）如图，在Rt^ABC中，ACB90,以该三角形的三条边为边向形外Si作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为S1,dABC面积为S2,则一的值是（）A.5—B,32【答案】C【分析】C.511的值是（）A.5—B,32【答案】C【分析】C.511D.——2先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点,然后利用全等三角形的判定和性质确定.ABC是等腰直角三角形,再根据直角三角形斜边中线的性质得到1225252S2-AB，再由勾股te理解得OF-AB，解得§—AB

444据此解题即可.解：如图所示，:正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上,圆心O在线段EF,MN的中垂线的交点上，即在Rt^ABC斜边AB的中点，且AC=MC,BC=CG,.AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,•.AG=BM,y.QG=OM,OA=OB,-.AOG,.--.BOM,•••.CAB=1.CBA,•••.ACB=90°,•••.AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,•.AG=BM,y.QG=OM,OA=OB,-.AOG,.--.BOM,•••.CAB=1.CBA,•••.ACB=90°,•••.CAB=1.CBA=45°,-1OC-AB,2c1-11§ABOCABAB222■/OF2AO2AF2(1AB)22§OF25AB2,41ABAB2-AB2

45AB2S481AB24故选：C.本题考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.BOC的（2021浙江中考真题）如图，已知点O是△ABC的外心，/A40,连结BO,CO,BOC的度数是（）.一二珀A.60B.70C.80D.90【答案】C【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作OO；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案.【详解】-A40BOC2A80故选：C.【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解.（2021四川泸州市）如图，/O的直径AB=8,AM,BN是它的两条切线，DE与/O相切于点E,并与AM,BN分别相交于D,C两点，BD,OC相交于点F,若CD=10,则BF的长是

P8.15P8.15C99【分析】过点D作DG•••BC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,根据勾股定理求得GC6,即可得AD=BG=2,BC=8,再证明-.HAO-.--.BCO,根据全等三角形的性质可得AH=BC=8,即可求得HD=10;在RttABD中,根据勾股定理可得BD2/7；证明.DHF•••.BCF,根据相似三角形的性质可得也受，由此即可BCBF过点D作DG•「BC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,5GC5GC-V,.AM,BN是它的两条切线，DE与丁。相切于点巳.AD=DE,BC=CE,1.DAB=-.ABC=90°,.DG/BC,•・四边形ABGD为矩形，.AD=BG,AB=DG=8,在Rt.DGC中，CD=10,

GC-CD2DG2J102826，.AD=DE,BC=CE,CD=10,.CD=DE+CE=AD+BC=10,.AD+BG+GC=10,,.AD=BG=2,BC=CG+BG=8,•••.DAB=1.ABC=90°,AD-BC,•••.AHO=1.BCO,1.HAO=1.CBO,.OA=OB,-.HAO,.BCO,.AH=BC=8,.AD=2,.HD=AH+AD=10；在Rt-ABD中，AD=2,AB=8,BD,AB2AD28222217，.AD-BC,-.DHF-.BCF,DHDFBCBF..102.17BF8BF解得，BF解得，BF8.179本题是圆的综合题，考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键.7.（2021四川眉山市中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AB6,/DAC60,点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF,以DF为边作等边三角形DFE，点E和

点A分别位于DF两侧，下列结论：/BDE点A分别位于DF两侧，下列结论：/BDEEFC;ZEDEC;/ADFECF;/点E运动的路程是2J3,其中正确结论的序号为()【答案】BD.ZZZZ连接OE并延长交DC于点H,先证•「ADO为等边三角形，得出•-2=/DAF=60°,再根据.「DEF为等边三角形，得出二.正确；证出.DOE•••/COE,得到ED=EC,得出二.正确；证出•.ADF=/3,看得出二.正确；根据・•・DOEoCOE,得出点E在OH上运动，可得二.正确.【详解】解：连接OE解：连接OE并延长交DC于点H,••矩形ABCD,，OA=OD=OC,•••.DAC=60°,-.ADO为等边三角形，・・・・・2=DAF=60°,・・・・•DEF为等边三角形，••••-1=60°=/5・・・・・1=-2•・D、F、O、E四点共圆，丁丁3=••7二,正确;・・・・・5=-6=6Q°・・・・.!=■：6=6Q°.OD=OC,OE=OE,.DOE-.--.COE,--3=「6•••.CDE=1.DCE,.ED=EC,二.正确;•••.ADO=-.FDE=60°,•••.ADF=/3,•••.ADF=/8,即..ADF=「ECF,••正确；-.DOE-.--.COE,•・•点E在■「DOC的角平分线上与CD的交点为H,即点E在OH上运动，-1-•.OH=—BC,2-OH=^3,•错误.故选B.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质，解题的关键是灵活运用这些性质.8.（2021湖北十堰市中考真题）如图，^ABC内接于。O,BAC120,ABAC,BD是。O的直径,A.273B.3MC.3D.4【答案】C

【分析】首先过点O作OF-「BC于F,由垂径定理可得BF=CF=1BC,然后由•.BAC=120°,AB=AC,利用等边2对等角与三角形内角和定理，即可求得与,「BAC的度数，由BD为:。的直径，即可求得二旧人口与•.口的度数，又由AD=3,即可求得BD的长，继而求得BC的长.【详解】解：过点O作OF-「BC于F,•.BF=CF=—BC,2•.AB=AC,•.BAC=120°,-.0='.ABC=(180°-BAC)+2=30°,・・・・・C与••口是同弧所对的圆周角，-.D=1-0=30°,.BD为:。的直径，-.BAD=90°,•••.ABD=60°,•••.OBC=「ABD--ABC=30°,.AD=3,.BD=AD+cos323+近2出,2•.OB=•.OB=1BD=2.BF=OB?cos30=.BC=3.故选：C.【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值等知识.此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线.（2021湖南怀化市中考真题）如图，在&ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N;再分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P;连结AP并延长交BC2于点D.则下列说法正确的是（）A.ADBDABB.AD一定经过^ABC的重心C.BADCADD.AD一定经过△ABC的外心【答案】C【分析】根据题意易得AD平分••♦BAC,然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项.【详解】解：.AD平分.BAC,•••BADCAD,故C正确；在•••ABD中，由三角形三边关系可得ADBDAB,故A错误；由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过^ABC的重心，故B选项错误；由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过△ABC的外心，故D选项错误；故选C.【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键.（2021山东临沂市中考真题）如图，PA、PB分别与OO相切于a、B,P70,C为。O上一点，则ACB的度数为（）A.110B.120C.125D.130【答案】C【分析】由切线的性质得出..OAP=-「OBP=90。，利用四边形内角和可求.•.AOB=110。，再利用圆周角定理可求.ADB=55°,再根据圆内接四边形对角互补可求1.ACB.【详解】解：如图所示，连接OA,OB,在优弧AB上取点D,连接AD,BD,•・AP、BP是切线，•••.OAP=1.OBP=90°,•••.AOB=360-90-90-70°=110°•••.ADB=55°,又二.圆内接四边形的对角互补，•••.ACB=180-.ADB=180-55°=125°故选：C.

【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质.解题的关键是连接OA、OB,求出.AOB.11.（2021湖北鄂州市中考真题）如图，Rt^ABC【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质.解题的关键是连接OA、OB,求出.AOB.11.（2021湖北鄂州市中考真题）如图，Rt^ABC中,ACB90,AC273,BC3.点P为ABC内一点，且满足pa2PC2AC2•当PB的长度最小时,ACP的面积是（）3,32【答案】3,32【分析】1-由题意知APC90,又AC长度一定，则点P的运动轨迹是以AC中点O为圆心，一AC长为半径的2圆弧，所以当B、P、O三点共线时，BP最短；在RtBCO中，利用勾股定理可求BO的长，并得到点P是BO的中点，由线段长度即可得到PCO是等边三角形，利用特殊是BO的中点，由线段长度即可得到解：「PA2PC2AC2APC90取AC中点O,并以O为圆心，-AC长为半径画圆2由题意知：当B、P、O三点共线时，BP最短AOPOCO・「CO1AC12,3'.3,BC322

BO,BC2CO2BPBOPO3点P是BO的中点1-在RtBCO中，CP-BO73PO2PCO是等边三角形ACP60在RtAPC中，APCPtan6033,33.323,33.322SAPCAPCP2【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度.解【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度.解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆.12.（202112.（2021四川广元市中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（B.3A.2【答案】线，则图中阴影部分的面积为（B.3A.2【答案】DC.5D.一2取BC的中点O,设AE与丁。的相切的切点为F,连接OF、OE、OA,由题意可得OB=OC=OA=1,.OFA=-.QFE=90O,由切线长定理可得AB=AF=2,CE=CF,然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可.【详解】解：取BC的中点O,设AE与二。的相切的切点为F,连接OF、OE、OA,如图所示:丁四边形ABCD丁四边形ABCD是正方形，且边长为2,.BC=AB=2,/ABC=ZBCD=90°,.「AE是以BC为直径的半圆的切线,.OB=OC=OF=1,•.OFA=1.OFE=90°,.AB=AF=2,CE=CF,.OA=OA,.Rf.ABO,.Rf.AFO(HL),同理可证,.OCE//OFE,AOBAOF,COEFOE,AOBCOE90AOBBAO,AOBCOE90AOBBAO,COEBAO,&ABOszOCE,..OCCEABOB'1.CE2,15,SI影S四边形ABCEs半圆2s.ABO2SOCES半圆2"2I-2故选D.本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的

性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.13.（2021江苏连云港市中考真题）如图，正方形ABCD内接于OO,线段MN在对角线BD上运动,若GO的面积为2兀，MN1,则aAMN周长的最小值是（）5656【答案】B【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算.如图所示,如图所示,（1）N为BD上一动点，A点关于线段BD的对称点为点C,连接CN,则CN=AN,过A点作CN的平行线AG,过C点作BD的平行线CG,两平行线相交于点G,AG与BD相交于点M.-'CN//MG,NM//CG,四边形CNMG是平行四边形

MGCNMGAN则camn二ANamnmmgAM1(2)找一点N',连接CN',则CN'=AN',过G点作CN'的平行线MG,连接AM'则C..aM'N'=AN'AM'N'M'AN'AM'CGAN'AM'NMAN'AM'1此时ANAM1AN'AM'1C，AMNC.,am'n'(1)中△AMN周长取到最小值四边形CNMG是平行四边形CNMNMACNMNMA丁四边形丁四边形ABCD是正方形COOA,ACBD又CNMNMA,又CNMNMA,NOCMOA,COOA^CNOaAOMAASONOM又vAC_LBDANAM^CNOaAOMAASONOM又vAC_LBDANAM△ANM是等腰三角形r2r22,则圆的半径OM1-MN2OM1-MN2AMr2AMr2+OM2、,52AM■■■AMN23AM■■■AMN23二一2+1=42本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法.关键是要找到aAMN周长取最小值时M、N的位置.本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法.关键是要找到aAMN周长取最小值时M、N的位置.14.（2021贵州贵阳市中考真题）如图,。0与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点，则AOC的度数是（A.144B.130C.129D.108【答案】a【分析】根据切线的性质，可得.OAE=90o,•.OCD=90°,结合正五边形的每个内角的度数为108。，即可求解.【详解】解：-.AE.CD切;。于点A、C,•••.OAE=90o,.OCD=90°,••正五边形ABCDE的每个内角的度数为：-^―2—180108,5•••.AOC=540o-90°-90°-108°-1K44°,故选：A.【点睛】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键.215.（2021广东中考真题）设0为坐标原点，点A、B为抛物线y二x上的两个动点，且OA0B.连接TOC\o"1-5"\h\z点A、B,过0作OCAB于点C,则点C到y轴距离的最大值（）A.—B.-C.-D.1222【答案】A【分析】设A(a,a2),B(b,b2),求出AB的解析式为y=(a——)x+1,进而得到OD=1,由•「OCB=90可知，C点a一1.一在以OD的中点E为圆心，以r二—OD=一为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解.2【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H,AB与x轴的交点为D,设A(a,a2),B(b,b2),其中a^QbwQ.OA/OB,kOAkOB1,a2b2.——=-1,ab即ab1,2J._a—b_,,_1kAB二二a+b=a一—，a-ba设AB的解析式为：y=(a-1)x+m,代入A(a,a2),a解得：m1,OD1,OCAB，即OCB90：，

11..一，.「C点在以OD的中点E为圆心，以r二—OD=一为半径的圆上运动,22当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大，1故CH的取大值为r—2故选：A.AB与yAB与y轴交点的纵坐标始终为1,结合OCB90'，由此确定点E的轨迹为圆进而求解.(2021湖南娄底市中考真题)如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当/A与A的坐标为(A的坐标为(A.(12,0)B.(13,0)C.(12,0)D.(13,0)【答案】D【分析】TOC\o"1-5"\h\z55当.A与直线l:y—x只有一个公共点时，则此时-.-a与直线l:y—x相切，(需考虑左右两侧相切的12125一.情况)；设切点为B，此时B点同时在.•飞与直线l:y—x上，故可以表示出B点坐标，过B点作BC//OA,12则此时△AOBs/XOBC,利用相似三角形的性质算出OA长度，最终得出结论.【详解】如下图所示，连接AB,过B点作BC//OA,

此时B点坐标可表示为5

x,此时B点坐标可表示为5

x,—x,12在RMOBC中，OBJBC2OC2小,12又二©A半径为5,AB5,.BC/ZOA,△AOBsAOBC,丽OAABOB则——————BOOCBCOA5—5—x12-x12OA=13,;左右两侧都有相切的可能,••・A点坐标为（13,0）,故选：D.【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知相似三角形的判定与性质是解答此题的关键.（2021福建中考真题）如图，AB为。O的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与OO相切，切点分别为C,D,若AB6,PC4,则sinCAD等于（）

2B.一5D.【答案】D【分析】连接OC,CP,DP2B.一5D.【答案】D【分析】连接OC,CP,DP是:。的切线，根据定理可知.OCP=90°,••・CAP=.与其不相邻的两个内角的和可求-CAD=•.COP,在Rt-OCP中求出sin45.PAD,利用三角形的一个外角等于COP即可.【详解】解：连接OC,CP,DP是.0的切线，则•.OCP=90°,「CAP=「PAD,-.CAD=2.CAP,.OA=OC・・・・OAC=「ACO,•・COP=2「CAO•・COP=「CADAB6,.OC=3在Rt-COP中，OC=3,PC=4

,.OP=5.八〜4sinCAD=sinCOP=5故选：D.【点睛】本题利用了切线的性质，锐角三角函数，三角形的外角与内角的关系求解.（2021山西中考真题）如图，在OO中，AB切。O于点A，连接OB交00于点C，过点A作AD//OB交8于点D,连接CD.若B50,则OCD为（A.15B.20C.25D.A.15B.20C.25D.30连接OA,根据AB与®O相切易得OAB90,在Rt2OAB中，已知B50,可以求出AOB的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出ADC度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出ADC的度数，最后根据AD//OB可得OCDADC.【详解】如下图，连接OA,•••AB切GO于点A,OAB90,在RtiOAB中，.AOB40,ADC20,又「AD/ZOB,OCDADC=20.故选：B.【点睛】本题考察了切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，综合运用以上性质定理是解题的关键.（2021吉林长春市中考真题）如图，AB是。O的直径，BC是。O的切线，若BAC35，则ACB的大小为（）A.35B.45C.55D.65【答案】C【分析】根据切线的性质，得•••ABC=90。，再根据直角三角形的性质，即可求解.【详解】解：•「AB是。O的直径，BC是OO的切线，•.AB-.BC,即..ABC=90°,BAC35,ACB=90-35°=55°故选C.【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键.（2021上海中考真题）如图，已知长方形ABCD中，AB4,AD3,圆B的半径为1,圆A与圆B内切，则点C,D与圆A的位置关系是（）

A.点C在圆A外，点D在圆AA.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可•••圆A与圆B内切，AB4,圆B的半径为1二圆A的半径为5•••AD3<5•・•点D在圆A内在r.abc中，acJab2bc2J42325•・•点C在圆A上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题（2021湖南常德市中考真题）如图，四边形ABCD是/0的内接四边形，若/BQD=80°,则/BCD的度数是.【答案】140。.【详解】试题分析：・・・・・•BQD=80,•・・•・A=40°,.••四边形ABCD是的内接四边形，•••••-BCD=180-40°=140°故答案为140°.考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理（2021四川凉山彝族自治州中考真题）如图，等边三角形ABC的边长为4,0c的半径为J3,P为AB边上一动点，过点P作OC的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为.【答案】3【分析】连接QC和PC,利用切线的性质得到CQ・「PQ,可得当CP最小时，PQ最小，此时CP・「AB,再求出CP,利用勾股定理求出PQ即可.【详解】解：连接QC和PC,•.PQ和圆C相切，.CQ-.PQ,即..CPQ始终为直角三角形，CQ为定值,•・当CP最小时，PQ最小，.「••ABC是等边三角形，•・当CP.「AB时，CP最小，此时CP.AB,.AB=BC=AC=4,，AP=BP=2,CP=.AC2AP2=2\3,••圆C的半径CQ=J3,.・PQ=\CP2CQ2=3,故答案为：3.本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PC;AB时，线段PQ最短是关键.23.（2021浙江杭州市中考真题）如图，已知。。的半径为1,点P是0O外一点，且OP2.若PT是【答案】3根据圆的切线的性质，得OTP90,根据圆的性质，得OT1,再通过勾股定理计算，即可得到答案.【详解】••PT是。。的切线，T为切点OTP90•PTOP2OT2•••OO的半径为1.OT1PTOP2OT2=,2213故答案为：.3.【点睛】本题考查了圆、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握圆、圆的切线、勾股定理的性质，从而完成求解.24.（2021陕西中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4,。。的半径为1.若OO在正方形ABCD内平移（OO可以与该正方形的边相切），则点A到。O上的点的距离的最大值为.【答案】321【分析】由题意易得当OO与BC、CD相切时，切点分别为F、G,点A到OO上的点的距离取得最大，进而根据题意作图，则连接AC,交。O于点E,然后可得AE的长即为点A到。O上的点的距离为最大，由题意易得ABBC4,ACB45,则有•「OFC是等腰直角三角形，AC4J5，根据等腰直角三角形的性质可得ocJ2，最后问题可求解。【详解】解：由题意得当OO与BC、CD相切时，切点分别为F、G,点A到GO上的点的距离取得最大，如图所示:OFC90连接AC,OF,AC交GO于点E,此时AE的长即为点A到00上的点的距离为最大，如图所示，•・四边形ABCD是正方形，且边长为4,ABBC4,ACB45,-.OFC是等腰直角三角形，AC472，.「00的半径为1,OFFC1,0C、,2，•AOACOC3.2,,AEAOOE3,21，即点a到。o上的点的距离的最大值为3J21;故答案为3T21・【点睛】本题主要考查正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、切点的性质定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键.（2021青海中考真题）点p是非圆上一点，若点p到。0上的点的最小距离是4cm,最大距离是9cm,则GO的半径是.【答案】6.5cm或2.5cm【分析】分点p在。0外和GO内两种情况分析；设。0的半径为xcm,根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案.【详解】设QO的半径为xcm当点P在QO外时，根据题意得：42x9x2.5cm当点P在OO内时，根据题意得：2x94x6.5cm故答案为：6.5cm或2.5cm.【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解.（2021北京中考真题）如图，PA,PB是。O的切线，A,B是切点.若p50,则AOB【分析】由题意易得PAOPBO90,然后根据四边形内角和可求解.【详解】解：.「PA,PB是。O的切线，•••PAOPBO90,••・由四边形内角和可得：AOBP180,P50,AOB130;故答案为130。.【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键.27.（2021四川广元市中考真题）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E,过点P作PFAP交BC于点F,连接AF、EF,AF交BD于G,现有以下结论：ZAPPF;/DEBFEF;/PBPD企BF；2Staef为定值；/题边形PEFGS,、apg.以上结论正确的有（填入正确的序号即可）【答案】•・・・・・・・・・・【分析】由题意易得,.APF=-.ABC=-.ADE=1.C=90°,AD=AB,.ABD=45°,对于二.：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得・••AFP=.「ABD=45°,则问题可判定;对于二.：把.「AED绕点A顺时针旋转90°得到「ABH,则有DE=BH,••・DAE=：BAH,然后易得.「AEF.「..AHF,贝U有HF=EF,贝U可判定；对于二.：连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,易得OB=OD,OP=OM,然后易证-.AOP//ABF,进而问题可求解；对于.「：过点A作AN^EF于点N,则由题意可得AN=AB,若•••AEF的面积为定值，则EF为定值，进而问题可求解；对于二.由二.可得AP2一一一...AP、2一■AP,进而可得.APG•••.AFE,然后可得相似比为4,最后根据相似三角形的面积比与相似AF2AF2比的关系可求解.【详解】解：:四边形ABCD是正方形，PFAP,•••.APF=1.ABC=-.ADE=1.C=90°,AD=AB,•ABD=45°,ABCAPF180,••由四边形内角和可得BAPBFP180,・•点A、B、F、P四点共圆，•••.AFP=1.ABD=45°,・・・・•APF是等腰直角三角形，•'APPF,故「正确；•・•把•・△£口绕点A顺时针旋转90°得至卜「ABH,如图所示:.4D•DE=BH,•-DAE=1.BAH,•.HAE=90°,AH=AE,HAFEAF45,.AF=AF,••.AEF•••.AHF(SAS),.HF=EF,HFBHBF,•DEBFEF,故「正确；•••连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,如图所示:BFC•・•点O是对角线BD的中点,-OB=OD,BDAC,•.OP=OM,••.AOB是等腰直角三角形,AB、、2AO，由••・可得点A、B、F、P四点共圆，APOAFB,.ABFAOP90,-.AOP-.1.ABF,..OPOAAP.2BFABAF2'OP-2BF,2BPDPBPBMPM2OP,PBPD夜BF，故;正确；•••过点A作AN.「EF于点N,如图所示:BF由・・可得•.AFB=-.AFN,•••.ABF=1.ANF=90°,AF=AF,••.ABF•••.ANF(AAS),.AN=AB,若・••AEF的面积为定值，则EF为定值，丁点P在线段OD上，EF的长不可能为定值，故.••错误；:由「可彳导,AF2•••.AFB=1.AFN=1.APG,-.FAE=1.PAG,・•・APG「-AFE,GPAP•-2•••一一一,EFAF2SAGP2SAEF2,S..AGP2S...AEF,;&g边形PEFGS...APG综上所述：以上结论正确的有故答案为•••••本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.（2021浙江宁波市中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图，AC,BD分别与QO相切于点C,D,延长AC,BD交于点P.若P120,OO的半径为则图中CD的长为cm.（结果保留）【答案】2【分析】连接OC、OD,利用切线的性质得到OCPODP90,根据四边形的内角和求得COD再利用弧长公式求得答案.【详解】连接OC、OD,■「AC,BD分别与0O相切于点C,D,OCPODP90,P120,OCPODPPCOD360,COD60,.「Cd的长=金二2"（cm）,180故答案为：2【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键.（2021浙江温州市中考真题）如图，。0与&OAB的边AB相切，切点为B.将占OAB绕点B按顺时针方向旋转得到z\OAB,使点0落在GO上，边AB交线段A0于点C.若A25,则OCB【答案】85【分析】连结OO,先证•「BOO为等边三角形，求出•••AOB=・「OBO=60°,由OO与&OAB的边AB相切，可求•.CBO==30°,利用三角形内角和公式即可求解.【详解】解：连结OO,:将^OAB绕点B按顺时针方向旋转得到AOAB,•.BO'=BO=OO,.BOO为等边三角形，-.OBO=60°,•••GO与RAB的边AB相切，••.OBA=.O'BA'90°,••.CBO=90°--OBO=90-60°=30°•••.A=25°

・・•.A'O=90--.A=90-25°=65••••.AOB=-.A，O'=65°,1.003=180-1.COB--.OBC=180-65-30°=85故答案为85.[>]【点睛】本题考查图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质，掌握图形旋转性质，切线性质，等边三角形判定与性质，直角三角形性质是解题关键.30.(2021江苏扬州市中考真题)在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段BC2,使用作图工具作BA030,尝试操作后思考：(1)这样的点A唯一吗？(2)点A的位置有什么特征？你有什么感悟？追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上(点B、C除外)，…….小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图1).5'C5'C图1图2备用图(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决./该弧所在圆的半径长为;/MBC面积的最大值为;1所示的弓形内部，我们(2)1所示的弓形内部，我们记为A,请你利用图1证明BAC30;(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形ABCD的边长AB2,BC3,,,一，_,,,一_4点P在直线CD的左侧，且tanDPC3/线段PB长的最小值为;，-2_-/若Spcd-S,pad,则线段PD长为3(3)【答案】(1):2;732;(2)见解析;(3)(1)二•设O为圆心，连接BO,CO,根据圆周角定理得到,.BOC=60°,证明,「OBC是等边三角形，可得半径；•••过点O作BC的垂线，垂足为E,延长EO,交圆于D,以BC为底，则当A与D重合时，/ABC的面积最大，求出OE,根据三角形面积公式计算即可;(2)延长BA；交圆于点D,连接CD,利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；41(3)•根据tanDPC一，连接PD,设点Q为PD中点，以点Q为圆心，一PD为半径回圆，可得点P32在优弧CPD上，连接BQ,与圆Q交于P；可得BP'即为BP的最小值，再计算出BQ和圆Q的半径，相减即可得到BP';2c・•・根据AD,CD和Sapcd-S.，pad推出点P在•「ADC的平分线上，从而找到点P的位置，过点C作CF-PD,3垂足为F,解直角三角形即可求出DP.【详解】解：(1).••设O为圆心，连接BO,CO,•••.BAC=30°,•••.BOC=60°,又OB=OC,・・・・OBC是等边三角形，.OB=OC=BC=2,即半径为2;・・・・・ABC以BC为底边,BC=2,•・当点A到BC的距离最大时，.「ABC的面积最大，如图，过点O作BC的垂线，垂足为E,延长EO,交圆于D,•.BE=CE=1,DO=BO=2,

.0E=J舒一BE^=73,-DE=^32,1--•••ABC的最大面积为-2732=y/32；DD图图I(2)如图，延长BA；交圆于点D,连接CD,・,点D在圆上，•••.BDC=-.BAC,--•.BA，C=.BDC+-.ACD,--•.BA，C>,.BDC,•••.BA/C>'.BAC,即；图13图13(3)二.如图，当点P在BC上，且PC二一时，

2・・・・・PCD=90,AB=CD=2,AD=BC=3,CD4、八…/古•.tarT.DPC=——=-,为定值，PC3连接PD,设点Q为PD中点，以点Q为圆心,1-PD为半径画圆,2•・・当点P在优弧CPD上时，tan，「DPC=4,连接BQ,•・・当点P在优弧CPD上时，tan，「DPC=4,连接BQ,与圆Q交于P；3此时BP'即为BP的最小值，过点Q#QE/BE,垂足为E,•・•点Q是PD中点,••点E为PC中点，即QE=1CD=1,PE=CE=-PC=3,22439-.BE=BC-CE=3--=-,44.BQ=.BE2—QE^=-97,45-PD=CDPC=2,-15•・•圆Q的半径为一一22.「BP'BQ-PQ=、975,即BP的最小值为

4・・・・・AD=3,CD=2,SxPCDPCD2S30.-PADCDAD23’•-.PAD中AD边上的高=.PCD中CD边上的高,即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等,则点P到AD和CD的距离相等，即点P在,「ADC的平分线上，如图,过点C作CF/PD,垂足为F,.PD平分.ADC,/ADP=,.CDP=45°,.「.「CDF为等腰直角三角形，又CD=2,,.CF=DF=专=6,CF4••tanDPC=——=-PF3.PF=32,4.PD=DF+PF=23-2=7'244匡2【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P的轨迹.31.（2021湖北荆州市中考真题）如图，AB是。O的直径，AC是。O的弦，ODAC于D,连接OC,5过点D作DF//OC交AB于F,过点B的切线交AC的延长线于E.若AD4,DF—,则BE2【分析】证明^ADF「/ACO求得AC,利用勾股定理求得CB的长，再利用aABE--△ACB求得BE.【详解】解：如图所示，连接BC.「AB是GO的直径，ODAC于DACBADO90又CABCAB△ADOYACBADAO1...————-ACAB2AC8又•••DF//OC•••SDF-』ACODFAD1COAC25CO2DF2-52••AB2CO=10又vAC2CB2AB2222-8+CB=10.CB6或CB6（舍去）又BE为切线ABEADO90又.CABCAB•••&ABE"ACBACCB---ABBE即旦二旦10BE•.BE152本题考查圆的相关性质、相似三角形的判定和性质.直径所对的圆周角是直角，圆的切线垂直于过切点的半径.相似三角形的对应线段成比例.32.（2021四川宜宾市中考真题）如图，/O的直径AB=4,P为/O上的动点，连结AP,Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是.【答案】2【分析】连接OQ,以OA为直径作/C,确定出点Q的运动路径即可求得路径长.【详解】解：连接OQ.在.O中，.AQ=PQ,OQ经过圆心O,.OQ-.AP.••,.AQO=90°.・•点Q在以OA为直径的上.•・当点P在:。上运动一周时，点Q在•.C上运动一周..AB=4,.OA=2.・・•・C的周长为2.・•点Q经过的路径长为2.故答案为：2【点睛】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键.（2021江苏盐城市中考真题）如图，在/O内接四边形ABCD中，若ABC100，则ADC【答案】80【分析】根据圆内接四边形的性质计算出ADC180ABC80即可.【详解】解：•••ABCD是1.O的内接四边形，•••ABC=100°,••••.ABC+,.ADC=180°,.ADC180ABC18010080.故答案为80.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质.（2021河南中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,D均在小正方形的顶点上，且点b,C在AD上，BAC22.5,则BC的长为「二F一-，i一一T一-7-一L-r-qF【分析】

先找到AD的圆心O,得到•••BOC=45。，利用弧长公式即可求解.【详解】解：连接AD,作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为AD的圆心O,从图中可得：AD的半径为OB=5,连接OC,••••.BAC=22.5:b-.BOC=222.5°=45，一,45BC的长为故答案为:180故答案为:54本题考查了弧长公式，找到AD的圆心是解题的关键.（2021黑龙江鹤岗市中考真题）如图，在RtAOB中，AOB90,OA4,OB6,以点。为圆心，3为半径的OO,与OB交于点C,过点C作CDOB交AB于点D,点P是边OA上的顶点,则PCPD的最小值为则PCPD的最小值为【答案】2..10【分析】延长CO,交£)O于一点E,连接PE,由题意易得OCBCOE3,BCDAOB90,则有△BCDsdBOA,CP=PE,然后可得CD2,PCPDPEPD,要使PCPD的值为最小，即PEPD的值为最小，进而可得当D、P、E三点共线时最小，最后求解即可.【详解】解：延长CO,交。。于一点E,连接PE,如图所示：OB6,以点。为圆心，3为半径的OO,.OCBCOE3,AOB90,CDOB,•••BCDAOB90,CD/ZOA,CP=PE,・^BCDsdBOA,CDBC1-一,OAOB2OA4,CD2,•.CP=PE,PCPDPEPD,则要使PCPD的值为最小，即PEPD的值为最小，••・当D、P、E三点共线时最小，即PEPDDE,如图所示：..在Rt.DCE中，DEJcD2CE22后，

•••PCPD的最小值为2J10;故答案为2M.【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.36.(2021湖