2006年全国初中数学联赛试题及解答

2006年全国初中数学联赛试题第一试一、选择题（每小题7分，共42分）已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、EF、GH、CD、DA的中点，用S,P分别表示四边形的面积和周长；亠比分别表示四边形的SP面积和周长.设K=,K=,则下面关于K、£的说法中，正确的是（）.SiP111A.K、©均为常值B.K为常值，£不为常值C.©为常值，K不为常值D.K、£均不为常值已知m为实数，且sina、cosa是关于x的方程3x2-mx+1=0的两根.则sin4a+cos4a的值为（）.A.29B.13C.79D.13•关于x的方程|二|=a仅有两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）.ax-1A.a>0B.a>4C.2<a<4D.0<a<4设b>0，a2-2ab+c2=0,bc>a2，则实数a、b、c的大小关系是（）.A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>ca、b为有理数，且满足等式a+b3=6-1+4+23,则a+b的值为（）.A.2B.4C.6D.8将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，，40，60，80，100，104，....则这列数中的笫158个数为（）.A.2000B.2004C.2008D.2012二、填空题（每小题7分，共28分）TOC\o"1-5"\h\z1•函数y=x2-2006|x|+2008的图像与x轴交点的横坐标之和等于.2•在等腰RtAABC中，AC=BC=1,M是BC的中点，CE丄AM于点E，交AB于点F.则S=.AMBF°3•使x2+4+（8-x）2+16取最小值的实数x的值为.4•在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O（0,0），A（100,0），B（100,100），C（0,100）.若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足：SAPOa・Sapbc=Sapab•SAPOC,就称格点为“好点”.则正方形内部好点的个数为（注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点.）

第二试(A)、(20分)已知关于x的一元二次方程x2+2(a+2b+3)x+(a2+4b2+99)=0无相异两实根.则满足条件的有序正整数组(a,b)有多少组？二、(25分)如图，D为等腰AABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点.已知ZEDF=90°,ED=DF=1,AD=5,求线段BC的长.A三、(25分)如图，在平行四边形ABCD中，ZA的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F,点O、O］分别为ACEF、AABE的外心.求证：AO、E、O］三点共线；ZOBD=1ZABC.2第二试(B)、(20分)同A卷第一题.、(25分)同A卷第二题.三、(25分)如图，在平行四边形ABCD中，ZA的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为ACEF、AABE的外心.求证：O、E、O］三点共线；若-ZABC=70°，求ZOBD的度数.2第二试(C)一、(20分)同A卷第二题.二、(25分)同B卷第三题.三、(25分)设〃为正整数，且p>2.在平面直角坐标系中，点A(0,p)和点B(p,0)的连线段通过p-1个格点，C］(1,p-1)，…，C(i,p-i)，…，Cp-1(p-1,1).证明:若p为质数，则在原点(0,0)与点C.(i,p-i)Z的连线段OC.(i=l，2,…，p-1)上除端点外无其他格点；若在原点O(0,0)与点C.(i,p-i)的连线段OC.(i=1,2,…，p-1)上除端点外无其他格点，则p为质数•''

2006年全国初中数学联赛答案第一试一、选择题1.B如图，易知1S=_SAAEH4AABD5SACFG=1如图，易知1S=_SAAEH4AABD5SACFG=14Sacbd,于是SAAEH+SAcFG1_s4ABCD'理，故SABEF+SadhG故SABCD,AEFGH1Sabcd即k=2为常值.又易知，P1=AC+BD,3特别地，若取邻边长分别为1、2的矩形，贝吹厂3;154再取邻边长分别为1、的矩形，则k1=10,故k不是常值.2.C由根与系数的关系知sina・cosa=3贝U有sin4a+cos4a=(sin2a+cos2a)2-2(sina・cosa)2=Dx2当a<0时，无解；当a=0时，x=0;不合题意；当a>0时，原方程化为=±ax-1整理得x2-ax+a=0(1)或x2+ax-a=0(2)因为方程(2)的判别式/2=a2+4a>0,即方程(2)有两个不同实根。又因为原方程仅有两个不同实根，故必有方程(1)的判别式/]=a2-4a<0,从而，0<a<4.A由bc>a2及b>0知c>0；由2ab=a2+c2及b>0知a>0由a2-2ab+c2=0b2-c2=(a-b)2>0，从而b>c(*)若b=c,由a2-2ab+c2=0知a=b，从而a=b=c与bc>a2矛盾，故b>c

又由b2>bc>a2，故b>a；由a2+c2=2ab>2a2，故c>a从而b>c>a5.B因为6-1+4+23=6-1+（1+3）=12+63=3+3a+b3=3+3,即（a一3）+（b一1）3=0,Va,b为有理数，•:a=3,b=l,a+b=4.6.C在正整数中，是4的倍数为末两位是4的倍数，其中包含数字0的情况“00，04，08，20，40，60，80”和不包含数字0的18种情形.显然，满足条件的两位数仅有4个；满足条件三数共9X7=63个；满足条件且千数为1的四位数：共有7X10+18X1=88个，因为4+63+88=155，则从小到大第155个满足条件的数为1980，下面满足条件的数依次为2000，2004，2008.故这列数中的第158个数为2008.二填空题1.0原问题可转化为求方程x2-2006|x|+2008=0①的所有实根之和。若实数x°为方程①的根，则其相反数-x0也为方程①的根，即与x轴交点的横坐标之和等于0.如图，过B作BG丄BC交CF延长线于G,易证RtMCMQRt'CBG故BG=CM，S\cbg=Saacm=1Saabc，又易证Abfm-Abfg故SAMBF—SABMF=SACMF，从而SABGF—gSACBG—石SAABC在直角坐标系中，设A(0,—2),B(8,4),P(x,0),则IPA|—x2+4,|PB|—(8-x)2+16所以|PA|+|PB|$|AB|—82+62=10当且仅当A、P、B三点共线时等号成立，即当且仅当A、P、B三点共线时原式取最小值.

CPBC4此时如图易知ABCpsAAOp'故有po=花=2=2188从而op=3OC=3’即原式取最小值式,x=34.197如图，过点P作PD丄OA于D,作PE丄AB于E,作PF丄BC于F,作PG丄OC于G.易知PF+PD=100,PE+PG=100由SAPOA~PBC=Spab6poc知PDPF=PEPG即PD(100-PD)=PG(100-PG)化简为(PD-PG)(PD+PG-100)=0故PD=PG或PD+PG=100,即PD=PG或PG=PF于是，P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点同理，可以知道当P为对角线OB上的点或P为对角线AC上的点时，满足SAPOA・S=S・SAPBCAPABAPOC因此，点P为“好点”当且仅当P为对角线OB上的点或对角线AC内部的格点,易知OB内部有99个“好点”，PA内部也有99个“好点”，又易知OB与AC的交点也为“好点”,于是,满足条件的“好点”的个数为99+99-1=197个.第二试（A卷）—.Vx2+2(a+2b+3)x+(a2+4b2+99)=0无相异两实根,所以，A=[2(a+2b+3)]2-4(a2+4b2+99)<0化简为2ab+3a+6b<45,5454・•・(a+3)(2b+3)<54,Va,b为正整数，二2b+3<——<A2b+3<13,故b<5a+3454当b=1时,a+3<—,故aS7,・・・符合条件的有序正整数对共有7组;54当b=2时,a+3<—,故aS4,・・・符合条件的有序正整数对共有4组;5454又•又•・•点OCEF的外心.OE=OF=OC,:.AOCE=AOCF当b=3时,a+3<—,故a<3,・••符合条件的有序正整数对共有3组;54当当b=3时,a+3<—,故a<3,・••符合条件的有序正整数对共有3组;54当b=4时,a+3<,故a<1,・••符合条件的有序正整数对共有1组;54当b=5时,a+3<13,故a<1,・••符合条件的有序正整数对共有1组;综上所述，符合条件的有序正整数组共有7+4+3+1+1=16组.二.解：如图，过E作EG丄AD于G,过F作FH丄AD于H则ZEDG=ZDFHRtAEDG=RtADFH设EG=x,DG=y，贝UDH=x,FH=y，且x2+y2=1(1)EGAGx5-y•qRtAAEGsRtAAFH贝U=即=一-FHAHy5+x化简为x2+y2=5(y一x)(2)，由(1)、(2)知y-x=5⑶(4)由(x+y)2+(y-x)2=2(x2+y2)矢廿(x+y)2254925即有34由(3)、(4)知x=5,y=5又7RtAAEGS",AD=AG3故CD=AD-竺=5x5人=5，所以BC=2CD=10。AG5一47755三.解：⑴连接OE,OF,0]A,0占，JABCD为平行四边形,.•./ABE=ZECF又点O、O]分别为△CEF、AABE的外心，OE=DF.O1A=O1E/EOF=2/ECF=2ZABE=ZAOE,于是AOEFsAOEA11./OEF=/AEO,.O、E、O三点共线.11(2)解法一：连接OD，OC,JABCD为平行四边形./CEF=/DAE=/BAF=/CFE,.CE=CFZOEC=上OFC=上OCFZOEB=ZOCD又ZBAE=ZEAD=ZAEB,:.EB=AB=DC:.AOCD2AOEB.ZODC=ZOBE,OD=OB,.ZODC=ZOBC,ZOBD=ZODB.ZOBD=ZOBC+ZCBD=ZODC+ZBDA=ZADC-ZBDO=ZABC-ZOBD1:.ZOBD=-ZABC2解法二：连接OD,OC,TABCD为平行四边形.ZCEF=ZDAE=ZBAF=ZCFE,.CE=CF又•/点O为ACEF的外心.OE=OF=OC,.AOCE2AOCF.ZOCE=ZOCF,ZOEC=ZOFC=ZOCF,.OE=OF=OC,.AOCE2AOCF.ZOCE=ZOCF,ZOEC=ZOFC=ZOCF,.ZOEB=ZOCDZBAE=ZEAD=ZAEB,.EB=AB=DC.AOCD2AOEB,.ZODC=ZOBE：・O,B,D,C四点共圆,.ZOBD=ZOCF=-ZFCB=-ZABC22第二试(B卷)三⑴如图，连接OE、OF,OA,OE.因为四边形ABCD为平行四边形，所以，ZABE=ZECF.又因为点O、O,分别为ACEF'AABE的外心，所以，OE=OF,OA=OE,ZEOF=2ZECF=2ZABE=ZAOE.111于是，有AOEFs\o£A,故ZOEF=ZAEO,所以，0、E、O三点共线.11l(2)解法一：连接OD、OC•因为四边形ABCD为平行四边形，所以，ZCEF=ZDAE=ZBAF=ZCFE.故CE=CF.又因为点D为ACEF的外心，所以，OE=OF=OC.则AOCE2AOCF,有ZOEC=ZOFC=ZOCF.

故ZOEB=ZOCD.又ZBAE=ZEAD=ZAEB,贝I」EB=AB=DC.因此，NOCD=AOEB.所以，ZODC=ZOBE,OD=OB,ZODC=ZOBC,ZOBD=ZODB,ZOBD=ZOBC+ZCBD=ZODC+ZBDA=ZADC-ZBDO=ZABC-ZOBD.故ZOBD=-ZABC.又因为ZABC=70°,所以，ZOBD=35°.2解法二：同上，有ZODC=ZOBE,故O、B、D、C四点共圆，贝UZOBD=ZOCF=-ZFCB=-ZABC.又因为ZABC=70°,所以，ZOBD=35°.22第二试(C卷)三.(1)用P(a,b)表示AOAB内的格点,a、b为正整数.假设结论不成立，贝U点P位于某条线段OC•内部.如图,i过点P作PE丄OB于点E,过点Ci•作CF丄OB于点F.由AOEPs'OFC；矢口-=^-•a•_•Oiaii=ap,从而其中1<i<p一1.易矢口1<a<i,1<b<p一i.由—=P1,矢口(a+b)i|ap•因为p为质数，且1<i<p-1,则i与p互质•从而，i|a,故i<a,这与iai