2019-2020学年高中数学空间向量与立体几何章末综合检测理含解析新人教A版选修

2019-2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末综合检测理（含解析）新人教A版选修2-1、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.已知a=(入+1,0,2入),b=(6,2科一1,2),若a//b,则入与科的值分别为()A.11B.5,252-11-一八C.一三，一^D.-5,-252解析：选A.a//b,则存在meR,使得a=nb,又a=(入+1,0,2入)，b=(6,2-1,2),可得1入可得1入=5,入+1=6m彳0=m2科—1,[2入=2m.已知A（1,—2,11）,R4,2,3）,口6,-1,4）三点，则^ABC^（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形解析：选A.AB=(3,4,—8),BC=(2,—3,1),CA=(-5,—1,7),・•.BbCA=-10+3+7=0..BCLCA「.△ABB直角三角形.OC=c,点M在OA±,且OC=c,点M在OA±,且OM=2MANTOC\o"1-5"\h\z为BC中点，则M由于（）A.；a—|b+；c232c2.1,.1B.一铲十”+乃cJa+^b-1c2a22c③已知a±b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知｛a,b,c｝是空间的一个基底，则基向量a,b可以与向量m=a+c构成空间另一个基底.TOC\o"1-5"\h\z其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：选C.当a^b时，a,b=0,a,(b+c)+c,(b-a)=a,b+a,c+c,b-c,a=c,b=b,c,故①正确；当向量BXBM的能构成空间的一个基底时，BaBMBN峡面，从而ab、mn四点共面，故②正确；当a^b时，a,b不共线，任意一个与a,b不共面的向量都可以与a,b构成空间的一个基底，故③错误；当｛a,b,c｝是空间的一个基底时，a,b,c不共面，所以a,b,m也不共面，故a,b,m可构成空间的另一个基底，故④正确.6.在下列条件中，使M与A、RC一定共面的是()A.OM=2OA-OB-OCB.OM=1OAb1O拼1OC532c.MafMb^Mc=0D.OMFOAFO抖OC=0解析：选C.空间的四点MABC共面只需满足OM=xOMyOMzOC且x+y+z=1,或存在实数x,y使得Mc=xMafyMB7.在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a,i>=45°,〈a,j〉=60°,则〈a,k〉=()A.30°B,45°C.60°D,90°解析：选C.如图所示，设|a|=mm>0),a=ORPAL平面xOy则在Rt^PBO中，|PB=|OP•cos〈a,i>在RtAPCO^,|OC=|OP•cos〈a,j>=・••[AB=2,在Rt^PAB中，|PA=|PB2一|AB2

m-・•.|Oq)=2,在RtAPDO^,,一IOD1cos〈a,k〉=两=2，又0°W〈a,k〉<180°,<a,k>=60°..已知点A(-3,4,3),O为坐标原点，则OA与坐标平面yOz所成角的正切值为()3B-5D.1D.1C-3解析：选B.A点在面yOz上的射影为B(0,4,3)且|OB=5,所以OA与平面yOz所成角0满足tan0=T7^|-=|.|Otp5.如图所示，在正方体ABCD-ABGD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB的中点，F为AD的中点，则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是()(1,—2,4)(―4,1,-2)(2,—2,1)(1,2,-2)解析：选B.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),正方体ABCDABGD的棱长为1,则A(1,0,0),E(1,1,；),F(2,0,1).故XE=(0,1,g),XF=(—2,0,1).[AE•n=0,[AE•n=0,由工IaF,n=0,1.1八y+2z=0,—2x+z=0,所以、x=2z.当z=—2时，n=(—4,1,—2),故选B.10.正方体ABCDABCD中，二面角A—BD—B的大小为()A.90°B,60°C.120°D,45°解析：选C.如图，a,则A(a,a,0),a,则A(a,a,0),Ra,0,0),D(0,a,a),B1(a,0,a),于是BA=(0,a,0),BD=(—a,a,a),BB=(0,0,a).设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),贝Un•BA=(x,y,z)-(0,a,0)=ay=0,n-BD=(x,y,z)•(-a,a,a)=-ax+ay+az=0.aw0,/.y=0,x=z.令x=z=1,贝Un=(1,0,1),同理，平面BBD的法向量F(—1,-1,0).由于cos〈由于cos〈n,m>In||m12,而二面角A-BD—B为钝角，故为120。.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上11.已知a=(2,—1,0),b=(k,0,1),若〈a,b>解析：cos〈a,b>=解析：cos〈a,b>=2kIa||b|邓•邓2+1<0,■.k<0,且k2=7~r.1.k=--^p.'1111答案：—*1112.若a=(2,3,—1),b=(—2,1,3)，则以a,b为邻边的平行四边形的面积为2.35解析：cos〈a,b>=|a||b|7,得sin〈a,b>=—7—,由公式S=解析：cos〈a,b>=|a||b|b>可得结果.答案：6.513.如图，空间四边形OABC如图，空间四边形OABC点Ma,b,c表示Mn则Mn=.解析：Mn=On-Om1,々一1=2(OBbOC—20A1.1..1=-2a+^b+2c.-111答案：—2a+]b+2cN分别为OABC的中点，且条a,Ob=b,Oc=c,用14.点P是棱长为14.点P是棱长为1的正方体ABCD-ABCD内一点，且满足AP=1—>2—>Er-A[>二AA,则23点P到棱AB的距离为解析：EaEaPE如图所示，过P作PQL平面ABCDFQ过Q作QHAB于E,连接PETOC\o"1-5"\h\z3T^L12?-AP=-AB+-ADF-aA,4232一1PQ=^,EO-,32•・・点P到棱AB的距离为5PE=pQ+eQ=6.答案：56则异面15.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，点E是棱CC的中点,直线DE与AC所成的角的余弦值是.则异面解析:如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0),C(0,4,0)如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0),C(0,4,0),D(0,0,4)，E(0,4,2)Ag=(—4,4,0),DE=(0,4,-2).cos<AC,5DEcos<AC,5DE〉=16

取x版10105，异面直线DE与AC所成角的余弦值为「10答案：丁5三、解答题（本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.

GGAMB如图，在平行六面体ABCDAB1C1D中，CM=2MAAN=2ND且AB=a,Ab=b,AA=c,试用a,b,c表示向量Mn解：・•・Mn=MA^AA+An=-1(Afe+AD)+AA+2(AA+Ab)33=-1A31.1.1,1,1.1=--a+-b+-c,•-MIN=--a+-b+-c.333333P为DD的中点，M为四边形ABCD勺中心.求证：对17.在正方体ABCDAP为DD的中点，M为四边形ABCD勺中心.求证：对AB上任一点N,都有MNLAP证明：建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0)建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0),P；0,0,2j1Dxyz,设正方体的棱长为1,N(1,y,1).・・・丽MN=(-1)x〉0xIy-・•.AP1MN即AB上任意一点N都有MNLAP18.如图所示，在四棱锥P-ABC用，底面ABCD1矩形，PAL平面ABCDPA=AD=2,AB=1,BMLPD于点M⑴求证：AMLPQ(2)求直线CD与平面ACMf成角的余弦值.解：(1)证明：•••PAL平面ABCDAB?平面ABCD••PALAB.ABLADADAPA=A,•.ABL平面PAD.PD?平面PADABLPD又..BMLPDABHBM=B,•.PDL平面ABIM.AM?平面ABMAMLPD(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),R0,0,2),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0)..AMLPDPA=AD・•.M为PD的中点，，M的坐标为(0,1,1).•.AC=(1,2,0),A阵(0,1,1),CD=(-1,0,0).设平面ACM勺一个法向量为n=(x,y,z),x+2y=0由n^ACn,AMT得十,|y+z=0令z=1,得x=2,y=-1.n=(2,-1,1).设直线CD与平面ACM所成的角为a,皿.|Cbn|乖则sina=~=~~.iCd•in|3cosa=*，即直线CD与平面AC所成角的余弦值为喙.19.AB如图，四棱锥P-ABCM,底面ABC泗平行四边形，/DAB=60°,AB=2ADPDL底面ABCD(1)证明：PALBD(2)若PD=AD求二面角A-PB-C的余弦值.解：(1)证明：因为/DAB=60°,AB=2AD由余弦定理得BD=,3AD从而BD+AD=AB",故BDlAD又因为PDL底面ABCD可得BDLPD又因为AmPD=D所以BDL平面PAD故PALBD

(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(0,板0),a-1,g0),R0,0,1),At(-1,小,0),电(0,事,-1),BO(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),[n,AB=0,—x+J3y=0,贝心即,TIn-Pb=0,N3y-z=0,因此可取n=(弧1,小).设平面PBCW法向量为m则nrPB=0,i一、m・BC>0,一〜一…■.一小_一，，一一小一4可取m=(0,—1,一43),〈mn>等于一面角A—PB-C的平面角，cos〈m,n>=—定27故二面角A-PB-C的余弦值为一27720.角梯形,⑴角梯形,⑴(2)⑶如图，在四^麴tP—ABCDK侧面PADL底面ABCD侧^^PA=PD=也，底面ABC西直其中BC//ADABIADAD=2AB=2BC=2,O为AD中点.求证：POL平面ABCD求异面直线PB与CD所成角的余弦值；求点A到平面PCD勺距离.解：⑴证明：如图所示，以O为坐标原点，OcOdOp勺方向分别为x轴，y轴，z轴的正方

向，建立空间直角坐标系Oxyz则A(0,—1,0),B(1,—1,0),qi,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).所以Op=(0,0,1),AD-(0,2,0),Op-Ab-0,所以，polad又侧面PADL底面ABCD平面PAET平面ABCDADPC?平面PAD所以POL平面ABCD(2)Cb=(-1,1,0),PB=(1,—1,-1),所以cos〈的CDPb-Cd-1-11的CdV3xV2坐，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为孚.

33(3)设平面PCD勺法向量为n=(x。，y。，z。)，CP=(-1,0,1),Cb=(-1,1,0),[n-Cfe0由1一，得In-CD=0—X0+Zg0—Xo+y0=0即xo=yo=zo,取X0=1,得平面PCD勺一个法向量为n=(1,1,1).又AC(1,1,0),从而点A到平面PCD勺距离|Ac-n|22出d=不厂3.221D-a+-b--c332解析：选B.因MN=O