数学分析练习：数分题库6

（十八）数学分析2考试试题一、叙述题：（每小题6分，共18分）牛顿-莱不尼兹公式收敛的cauchy收敛原理全微分计算题：（每小题8分，共32分）1、2、求由曲线和围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。3、求的收敛半径和收敛域，并求和4、已知，求三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数2、讨论反常积分的敛散性3、讨论函数列的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设，证明发散2、证明函数在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。，参考答案一、1、设在连续，是在上的一个原函数，则成立2、使得，成立3、设为开集，是定义在上的二元函数，为中的一定点，若存在只与点有关而与无关的常数A和B，使得则称函数f在点处是可微的，并称为在点处的全微分二、1、分子和分母同时求导（8分）、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：（3分）所求的体积为：（3分）解：设，，收敛半径为1，收敛域[-1，1]（2分）(3分）x=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（3分）4、解：=（3分）(5分）三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分）（4分）由D’Alembert判别法知级数收敛（1分）2、解：（2分），对，由于故p>0时收敛（4分）；，由于（4分）故对一切的p收敛，综上所述p>0，积分收敛3、解：收敛于（4分）所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：（6分）发散，由比较判别法知级数发散（4分）2、证明：（4分）=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又，存在切等于0，（4分）但不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）（十九）数学分析2考试题叙述题：(每小题5分，共10分）叙述反常积分为奇点收敛的cauchy收敛原理二元函数在区域D上的一致连续计算题：（每小题8分，共40分）1、2、求摆线与x轴围成的面积3、求4、求幂级数的收敛半径和收敛域5、，求讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、，求；是否存在？为什么？2、讨论反常积分的敛散性。3、讨论的敛散性。证明题：（每小题10分，共20分）设f（x）在[a,b]连续，但不恒为0，证明设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu参考答案1、使得，成立2、设为点集，为映射，使得，成立二、1、由于在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）=（6分）、所求的面积为：（8分）解：(3分）4、解：，r=1（4分）由于x=0，x=2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分）5、解：=（3分）（5分）三、1、解、（5分）由于沿趋于（0，0）极限为所以重极限不存在（5分）2、解：（2分），对，由于故p<2时收敛（4分）；，由于（4分）故p>1收敛，综上所述1<p<2，积分收敛3、解：所以级数收敛（10分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：由但不恒为0，至少有一点f（x）在[a,b]连续（2分），存在包含x0的区间，有（4分），（4分）2、证明：以二元函数为例（10分）（二十）数学分析2考试题叙述题：（每小题5分，共15分）1、定积分2、连通集3、函数项级数的一致连续性计算题：（每小题7分，共35分）1、2、求三叶玫瑰线围成的面积3、求的上下极限4、求幂级数的和5、为可微函数，求在极坐标下的表达式讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知，求，问是否存在？为什么？2、讨论反常积分的敛散性。3、讨论的一致收敛性。证明题：（每小题10分，共20分）设f（x）在[a,+∞）上单调增加的连续函数，，记它的反函数f--1（y），证明设正项级数收敛，证明级数也收敛参考答案一、1、设有定数I，使得对任意的分法和任意的点，只要，成立S的任意两点x，y之间，都存在S中的一条道路r，则称S为连通集3、使得，成立二、1、（5分）（2分）由对称性知，所求的面积为：（7分）解：上极限为0.5，下极限为(7分）4、解：，r=2（3分）收敛域为（-3，1），级数的和为（4分），5、解：设极坐标方程为=（5分）=（2分）三、1、解、由于有界，为无穷小，0（5分），而极限不存在，极限存在，故整体极限不存在，同理不存在（5分）2、解：（2分），对，由于故时收敛（4分）；，由于（4分）故收敛，综上所述，时，积分收敛（2分）3、解：（3分），所以函数列一致收敛（7分）四、证明题（每小题10分，