二阶常系数齐次线性微分方程课件

第六节二阶常系数线性 微分方程一、定义二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法第六章常微分方程第六节二阶常系数线性1一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式其中为常数。一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性2二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上3有两个不相等的实根得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为特征根为有两个不相等的实根得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为4有两个相等的实根得一特解故齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根得一特解故齐次方程的通解为特征根为5有一对共轭复根重新组合故齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合故齐次方程的通解为特征根为6由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方7解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例28例3解特征方程为解得故所求通解为例3解特征方程为解得故所求通解为9例4解特征方程为解得故所求通解为代入初始条件 得例4解特征方程为解得故所求通解为代入初始条件 得10对上式求导，得代入初始条件 得对上式求导，得代入初始条件 得11例5解特征方程为解得故所求通解为作业(P103)：28(2)(3)例5解特征方程为解得故所求通解为作业(P103)：28(2)12n阶常系数齐次线性微分方程解法：其特征方程为在复数范围内它有个根。方程通解分三种情况：（1）有个不同实特征根时，通解为（2）若为重实特征根时，通解中包含（3）若为重共轭复特征根时，通解中包含n阶常系数齐次线性微分方程解法：其特征方程为在复数范围内它有13例求微分方程的通解解特征方程为解得故所求通解为例求微分方程的通解解特征14二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构的常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.三、二阶常系数非齐次线性方程解法二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构的常见类型难点：15设非齐方程特解为代入原方程1.型设非齐方程特解为代入原方程1.型16综上讨论可设综上讨论可设17例6解所给方程对应的齐次方程为它的特征方程为由于 不是特征方程的根，所以可设特解为把它代入所给方程，得例6解所给方程对应的齐次方程为它的特征方程为由于 不是特征18由此求得于是求得一个特解为比较两端的同次幂的系数，得由此求得于是求得一个特解为比较两端的同次幂的系数，得19解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例7可设解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例20利用欧拉公式把第二种自由项转化成第一种自由项后，可以证明：第二种自由项对应的特解可设为利用欧拉公式把第二种自由项转化成第一种自由项后，可以证明：第21解对应齐次方程通解代入方程，得例8比较两端同类项的系数，得可设特征方程为解对应齐次方程通解代入方程，得例8比较两端同类项的系数，得可22所求非齐方程特解为原方程通解为所求非齐方程特解为原方程通解为23四、小结二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)四、小结二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:（1）写24二阶常系数齐次线性微分方程课件25求特解的方法：待定系数法作业(P103)：29(2)；30；31求特解的方法：待定系数法作业(P103)：29(2)；30；26思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题写出微分方程的待定特解的形式.27思考题解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）思考题解答设28练习题练习题29二阶常系数齐次线性微分方程课件30二阶常系数齐次线性微分方程课件31练习题答案练习题答案32二阶常系数齐次线性微分方程课件33二阶常系数齐次线性微分方程课件34第六节二阶常系数线性 微分方程一、定义二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法第六章常微分方程第六节二阶常系数线性35一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式其中为常数。一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性36二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上37有两个不相等的实根得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为特征根为有两个不相等的实根得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为38有两个相等的实根得一特解故齐次方程的通解为特征根为有两个相等的实根得一特解故齐次方程的通解为特征根为39有一对共轭复根重新组合故齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合故齐次方程的通解为特征根为40由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方41解特征方程为解得故所求通解为例2解特征方程为解得故所求通解为例242例3解特征方程为解得故所求通解为例3解特征方程为解得故所求通解为43例4解特征方程为解得故所求通解为代入初始条件 得例4解特征方程为解得故所求通解为代入初始条件 得44对上式求导，得代入初始条件 得对上式求导，得代入初始条件 得45例5解特征方程为解得故所求通解为作业(P103)：28(2)(3)例5解特征方程为解得故所求通解为作业(P103)：28(2)46n阶常系数齐次线性微分方程解法：其特征方程为在复数范围内它有个根。方程通解分三种情况：（1）有个不同实特征根时，通解为（2）若为重实特征根时，通解中包含（3）若为重共轭复特征根时，通解中包含n阶常系数齐次线性微分方程解法：其特征方程为在复数范围内它有47例求微分方程的通解解特征方程为解得故所求通解为例求微分方程的通解解特征48二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构的常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.三、二阶常系数非齐次线性方程解法二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构的常见类型难点：49设非齐方程特解为代入原方程1.型设非齐方程特解为代入原方程1.型50综上讨论可设综上讨论可设51例6解所给方程对应的齐次方程为它的特征方程为由于 不是特征方程的根，所以可设特解为把它代入所给方程，得例6解所给方程对应的齐次方程为它的特征方程为由于 不是特征52由此求得于是求得一个特解为比较两端的同次幂的系数，得由此求得于是求得一个特解为比较两端的同次幂的系数，得53解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例7可设解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解为例54利用欧拉公式把第二种自由项转化成第一种自由项后，可以证明：第二种自由项对应的特解可设为利用欧拉公式把第二种自由项转化成第一种自由项后，可以证明：第55解对应齐次方程通解代入方程，得例8比较两端同类项的系数，得可设特征方程为解对应齐次方程通解代入方程，得例8比较两端同类项的系数，得可56所求非齐方程特解为原方程通解为所求非齐方程特解为原方程通解为57四、小结二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)四、小结二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:（1）写58二阶常系数齐次线性微分方程课件59求特解的方法：待定系数法作业(P103)：29(2)；30；31求特解的方法：待定系数法作业(P103)：29(2)；30；60思考题写出微分方程的待定特解的形式.思考题写出微分方程的待定特解的形式.61思考题解答设