初中数学二次函数

关于初中数学二次函数第一页，共二十九页，2022年，8月28日本章主要知识内容二次函数1.1二次函数的概念1.2二次函数的图象1.3二次函数的性质1.4二次函数的应用第二页，共二十九页，2022年，8月28日1.1二次函数1.概念：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称二次项系数，b称一次项系数，c称常数项.特别注意：二次项系数a不能为0.2.二次函数的表达式和自变量的取值范围(2)根据实际问题列出二次函数的关系式，但要注意考虑自变量的取值范围，自变量的取值范围应使实际问题有意义.(1)会由x、y的3组对应值求出二次函数的表达式.第三页，共二十九页，2022年，8月28日练习1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）

A.y＝3x－1B.y＝ax2+bx+c

C.s＝2t2－2t+1D.y＝x2+C2.已知函数y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则m的取值范围是（）

A.m≠0B.m≠－1C.m≠0，且m≠－1D.m＝－1C3.矩形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的矩形中y与x的关系可以写成（）

A.y＝x2B.y＝(12－x)x

C.y＝12－x2D.y＝2(12－x)B第四页，共二十九页，2022年，8月28日1.2二次函数的图象1.画二次函数图象的一般步骤：①列表：列出自变量与函数的对应值；②描点：建立适当的直角坐标系，并以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点；③连线：用平滑曲线顺次连结各点.2.二次函数的图象(1)二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条关于直线对称的抛物线，抛物线与对称轴的交点是抛物线的顶点.第五页，共二十九页，2022年，8月28日(2)不同形式的二次函数图象y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+k第六页，共二十九页，2022年，8月28日(3)二次函数图象的平移y=ax2向上(或向下)平移单位长度y=ax2+ky=ax2向左(或向右)y=a(x-h)2平移单位长度y=ax2再向上(或向下)平移单位长度y=a(x-h)2+k先向左(或向右)平移单位长度第七页，共二十九页，2022年，8月28日练习1.将抛物线y＝-x2向上平移2个单位后，得到的函数表达式是（）A.y＝－x2+2B.y＝－(x+2)2

C.y＝－(x－1)2D.y＝－x2－2A2.将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x+3)2的图象，平移的方法是（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位C3.将抛物线y＝(x-1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A.y＝(x-1)2+4B.y＝(x-4)2+4C.y＝(x+2)2+6D.y＝(x-4)2+6B第八页，共二十九页，2022年，8月28日(5)抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴、顶点坐标①通过配方法将y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k；对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k).②直接用公式法：对称轴为直线顶点坐标为(4)抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口方向当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点.第九页，共二十九页，2022年，8月28日练习1.已知二次函数y＝a(x-1)2-c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+c的大致图象可能是（）A.B.C.D.A2.把二次函数y＝-2x2-4x+10，化成y＝a(x-h)2+k的形式是_______________________．

y=-2(x+1)2+123.抛物线y＝-x2+4x-3的对称轴是直线__________，顶点坐标为__________.(2，1)x=2第十页，共二十九页，2022年，8月28日(6)二次函数y＝ax2+bx+c的系数a、b、c与图象的关系①a的符号决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下，a的绝对值决定着抛物线的形状、大小，当a的绝对值相等时，抛物线的形状、大小相同；当a的绝对值越大时，抛物线的开口越小.②a、b符号决定着抛物线的对称轴位置a、b同号对称轴在y轴左侧a、b异号对称轴在y轴右侧b＝0对称轴是y轴第十一页，共二十九页，2022年，8月28日③c的符号决定着抛物线与y轴的交点位置c＞0与y轴交点在x轴的上方c＜0c＞0与y轴交点在x轴的下方抛物线必经过坐标原点已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=-1，下列结论：

①abc＜0；②2a+b＝0；③a-b+c＞0；④b2-4ac＞0.其中正确的是（）A.①②B.只有①C.③④D.①④D练习第十二页，共二十九页，2022年，8月28日1.3二次函数的性质1.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的增减性(1)在a＞0，抛物线开口向上的情况x随x的增大而增大x随x的增大而减小(2)在a＜0，抛物线开口向下的情况x随x的增大而减小x随x的增大而增大说明：二次函数的增减性可结合二次函数的大致图象进行分析.第十三页，共二十九页，2022年，8月28日1.下列函数：①y＝-3x2；②y＝2x2-1；③y＝(x-2)2；④y=-x2+2x+3.当x＜0时，其中y随x的增大而增大的函数有（）

练习A.4个 B.3个C.2个 D.1个C3.已知二次函数y＝x2+(m-1)x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A.m＝－1B.m＝3C.m≤－1D.m≥－12.在二次函数y＝-(x-2)2+3的图象上有两点(-1，y1),(1，y2)，则y1与y2的大小关系是（）A.y1＜y2B.y1＝y2C.y1＞y2D.不能确定AD第十四页，共二十九页，2022年，8月28日①通过配方法将y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k；若a＞0，则函数y有最小值，当x=h时，y最小值=k；

若a＜0，则函数y有最大值，当x=h时，y最大值=k

.②直接用公式法：若a＞0，则函数y有最小值，当时，若a＜0，则函数y有最大值，当时，2.二次函数的最大(小)值第十五页，共二十九页，2022年，8月28日3.二次函数与一元二次方程的关系②b2－4ac的符号决定着抛物线与x轴的交点情况b2－4ac＞0与x轴有两个交点b2－4ac＝0与x轴有一个交点b2－4ac＜0与x轴没有交点①对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，如果令y＝0，则ax2+bx+c＝0抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根；一元二次方程ax2+bx+c＝0的根即为抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，第十六页，共二十九页，2022年，8月28日练习1.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A.图象关于直线x＝1对称B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是-4C.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标分别是-1，3D.当x＜1时，y随x的增大而增大D3.已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且a2+b2=17，则k的值为_______.-6或22.已知函数y＝(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k＜4B.k≤4C.k＜4且k≠3D.k≤4且k≠3B第十七页，共二十九页，2022年，8月28日4.二次函数表达式的求法三种形式一般式：y＝ax2+bx+c(a≠0)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a≠0)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)1.已知二次函数的图象经过点（-1，5），（0，-4）和（1，1），则这个二次函数的表达式（）练习A.y＝-6x2+3x+4B.y＝-2x2+3x-4C.y＝x2+2x-4D.y＝2x2+3x-4D第十八页，共二十九页，2022年，8月28日3.若二次函数的图象的顶点坐标为（2，-1），抛物线过点（0，3），则二次函数的解析式是（）A.y＝(x+6)2B.y＝(x-6)2C.y＝-(x+6)2D.y＝-(x-6)2A.y＝－(x－2)2－1B.y＝－(x－2)2－1C.y＝(x－2)2－1D.y＝(x－2)2－14.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A、B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为__________________.C2.顶点为（6，0），开口向下，开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是（）

D第十九页，共二十九页，2022年，8月28日1.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（）1.4二次函数的应用二次函数在实际问题中的应用A.5元B.10元C.15元D.20元2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（）A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元AD第二十页，共二十九页，2022年，8月28日3.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45；(3)若该商场所获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？(1)求一次函数的解析式；第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日解:(1)∵把x＝65，y＝55；x＝75，y＝45解得：∴所求一次函数的解析式为y＝－x+120，(2)W＝(x－60)(－x+120)

＝－x2+180x－7200

＝－(x－90)2+900，代入y＝kx+b得：第二十二页，共二十九页，2022年，8月28日由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而60≤x≤87，∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元；∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，又∵60≤x≤87，∴当x＝87时，W＝－(87－90)2+900＝891，(3)由W＝500，得500＝－x2+180x－7200，整理得：x2－180x+7700＝0，解得：x1＝70，x2＝110，所以，销售单价x的范围是70≤x≤87.第二十三页，共二十九页，2022年，8月28日二次函数在几何问题中的应用1.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；第二十四页，共二十九页，2022年，8月28日(1)∵三块矩形区域的面积相等，

解：∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BE＝a，则AE＝2a，∴8a+2x＝80，∴a＝﹣x+10，2a＝﹣x+20，∴y＝(﹣

x+20)x+(-

x+10)x＝﹣

x2+30x，∴x＜40，则y＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；