凝固过程的基本原理

关于凝固过程的基本原理第一页，共五十八页，2022年，8月28日1一.相图与凝固1.二元合金的凝固

工程合金通常是多组元的。凝固中各组元的形态：单质、固溶体、化合物析出。因此，对凝固过程基本原理的研究通常以二元系为对象。在实验和计算的基础上建立了大量的二元相图，为凝固分析奠定了基础二元合金系是研究凝固过程基本原理的基础。多元系的凝固（可用二元系的凝固特征分析）单组元，纯物质。（相当于二元系在溶质质量分数趋于零的情况）第二页，共五十八页，2022年，8月28日2所有二元相图都是由共晶、偏晶、包晶及固溶体四种基本相图所构成的单相合金凝固是最典型的，除共晶点和偏晶点外，其它成分合金在开始凝固时仅有一个相析出。最常见的多相合金凝固是共晶凝固：L→α+β第三页，共五十八页，2022年，8月28日3偏晶凝固：与共晶凝固相似，析出相之一为液相：L1→α+L2包晶凝固：LP+

β

→α第四页，共五十八页，2022年，8月28日42.多元合金的凝固

多元合金的凝固过程复杂得多，并且仅三元系有较成熟的相图可以借鉴。三元相的三个边由二元相图构成，成分位于液相面特殊点，如多相反应点上的合金在平衡凝固过程中将会发生两个以上的相同时析出的过程，且凝固在恒温下进行。成分位于线上的合金也将发生多相凝固，但析出固相和液相的成分是变化的。第五页，共五十八页，2022年，8月28日5二、晶体生长的热力学与动力学

（一）晶体生长的热力学(二）均质形核（三）非均质形核第六页，共五十八页，2022年，8月28日6

（一）晶体生长的热力学1.相变驱动力2.压力、曲率对熔点的影响3.溶质平衡分配系数

第七页，共五十八页，2022年，8月28日71.相变驱动力系统的自由能随温度的变化关系：

系统的自由焓（G）可表示为：G=H-TSH----热焓，S----熵，T----绝对温度自由焓G也称等压位，而对应的为自由能F，也称等容位，F=u-TS，又：G=H-TS=u+PV-TS，当pV很小时，G=u–TS=F，故有时粗略地将自由焓称为自由能由G=u+PV-TS可得：dG=du-TdS-SdT+PdV+VdPdu=δq-δAq：系统从外界吸收的热量，A：系统对外界所做的功。

恒温下：δq=TdS，而只有膨胀功时，δA=PdV故du=TdS-PdV则有：dG=-TdS+VdP在恒压条件下dp=0，故：dG=-SdT，即：

表明：在通常的压力一定条件下，温度升高时，自由能是下降的。

第八页，共五十八页，2022年，8月28日8相变的驱动力在熔点Tm时：液相自由能=固相自由能，即：△G=GL-GS=0，两相处于平衡状态。当T＜Tm时，GL＞GS，固相稳定；当T＞Tm时，GL＜GS，液相稳定；当温度高于熔点或低于熔点时，△G即为相变的驱动力，过冷度在Tm以下温度时：一克分子物质由液相转变为固相自由能(焓)的变化为：△GV=GS-GL=(HS-TSS)-(HL-TSL)=(HS-HL)-T(SS-SL)=△H-T△S△H、△S均为固、液两相的克分子焓和克分子熵的差额，温度的函数，△H≈结晶潜热（△Hm），△S≈熔融熵（△Sm）在Tm温度时，-△Hm+Tm△Sm=0,即：△Sm=△Hm/Tm因此：

△T---即为过冷度。

△G△T第九页，共五十八页，2022年，8月28日9过冷度是影响相变驱动力的决定性因素。为什么相变要过冷度？S-L平衡时，原子双向跳动的速度相等，方向相反；晶胚越小，表面曲度越大，稳定度越小：△P=2σ/r一定温度下，r越小，熔化速度越快，而凝固速度越慢；r一定时，温度越低，S-L自由能差越大，熔化速度越小，而凝固速度越大；因此，凝固速度与熔化速度相等的温度随晶胚尺寸的减小而降低。

一个小晶胚的固-液平衡温度要低于大晶胚的平衡温度，凝固过程总是从小晶胚开始的，因此凝固过程总是在过冷的液相中发生，即有一定的过冷度。一定的过冷度也会有一定的晶胚尺寸（或晶胚表面曲度）与之对应，比该曲度大的晶胚（曲率半径小）将熔化消失，而比该曲度小的晶胚（曲率半径大）将继续长大，此即临界晶核。

Sr第十页，共五十八页，2022年，8月28日10当恒压下金属有多种晶体结构时,各自在其对应的熔点温度下与液相平衡Δ无熔点只能由气相形成.热力学上,只有α相能在平衡温度下形成而βγ不能.但是在连续冷却条件下的较低温度下是析出稳定相α,还是介稳相Β,γ将取决于体积自有能,界面能和异质形核的条件..第十一页，共五十八页，2022年，8月28日112.压力、曲率对熔点的影响（1）固相界面曲率的影响固相曲率可引入固相的压力，此压力使固相的自由能升高，而使系统的熔点降低。固-液两相的自由能的变化为：

----因固相曲率而造成的温差，△P-----由于曲率而造成的固相附加压力

设k为平均界面曲率：固液两相平衡时：，当曲率k为正时，△Tr为正，此时平衡熔点下降，且曲率半径越小，其平衡的熔点温度越低。

第十二页，共五十八页，2022年，8月28日12（2）压力的影响系统压力改变而引起的液,固相自由能的变化:

△Tp-----因压力改变引起的平衡熔点的变化。通常金属(VS-VL)=△V＜0,则压力升高,平衡熔点上升.而△V＞0,的金属Sb,Bi压力升高,平衡熔点降低.通常压力改变时，熔点的变化很小，10-2℃/大气压，故生产中靠改变压力来提高过冷度细化晶粒是很困难的。熔体中导入超声波,产生空化作用,空穴破灭时,产生很大压力,使熔点上升几十度.第十三页，共五十八页，2022年，8月28日133.二元合金凝固过程的溶再分配（1）溶再分配的概念（2）平衡溶质分配系数k0（3）有效溶质分配系数（4）非平衡溶质分配系数第十四页，共五十八页，2022年，8月28日14（1）溶再分配的概念溶质再分配：二元合金凝固中，组元在液相和固相中化学位的变化,固相成分不同于液相，造成液相和固相中成分梯度，而引起溶质扩散现象，即溶质再分配。凝固过程重要的伴生现象，影响凝固组织描述溶质再分配的关键参数：

溶质分配系数：平衡条件下，ws、wL由固相线和液相线确定。然而，实际条件下，平衡是很难的，故引入近平衡凝固、非平衡凝固分配系数。因此，溶质分配系数有三个层次：平衡溶质分配系数k0、有效溶质分配系数ke、非平衡溶质分配因数ka。凝固过程溶质分配的平衡条件指：凝固界面上溶质迁移的平衡及固相和液相内部扩散的平衡。

第十五页，共五十八页，2022年，8月28日15随凝固速率的变化，凝固界面附近溶质分配呈现3种情况：wL*,wS*：平衡凝固条件下界面上液、固侧溶质分配系数；wLa*,wSa*：非平衡条件下界面上液、固侧溶质分配系数；SLLLSSwL=wL*wS=wL*wS*wL*wLwLa*wSa*wLwLa)平衡凝固b)近平衡凝固c)快速凝固第十六页，共五十八页，2022年，8月28日16（2）平衡溶质分配系数k0

极其缓慢条件下，界面附近溶质迁移、扩散充分，平衡条件下，固相溶质分数与液相溶质分数之比定义为平衡溶质分配系数k0平衡溶质分配系数k0的热力学意义：热力学平衡条件下，液相化学位与固相化学位相等。溶质在固相中的化学位：溶质在液相中的化学位：分别是溶质元素在固相和液相中的标准化学位；只有在纯物质的熔点时两者才相等。fS,fL-----溶质在液相和固相中的活度因数，温度函数，R---气体常数，P-----外压，p0-----标准大气压，T----热力学温度，k----曲率，σ—界面张力。由液相化学位与固相化学位相等得：（忽略曲率的影响）第十七页，共五十八页，2022年，8月28日17两相平衡时：

纯组元时，在熔点时，溶质在液固相中的化学位相等：得到：在稀溶液中，活度系数均为1.由于溶质元素纯组元的液相化学位比固相的低。因此，k0＜1故，固相溶质浓度低于液相。第十八页，共五十八页，2022年，8月28日18影响k0的因素：1）温度与合金成分：由上式可知k0与温度有关；而凝固温度与合金成分有关，由相图决定。因此，实际上，k0不是常数，而是合金成分的函数。2）凝固界面曲率由分析可知，只有当曲率小于10-6cm时，才有明显影响，故一般可忽略。3）压力通常是指在标准大气压下的溶质平衡分配系数。分析可知，只有当压力差大于10MPa时才有显著影响。第十九页，共五十八页，2022年，8月28日19（3）有效溶质分配系数

当凝固速度稍快时，凝固界面上溶质迁移仍然能达到平衡，wS*/wL*=k0，但是内部不能达到平衡，即所谓近平衡。近平衡凝固过程的有效溶质分配系数：ke界面处固相的溶质质量分数wS*与溶质富集层外的液相溶质质量分数wL之比，即：Burton等通过求解扩散场方程确定了ke的计算式：当DL→∞，或δ→0，或R→0时，ke→k0

第二十页，共五十八页，2022年，8月28日20（4）非平衡溶质分配系数当凝固速进一步加快时，凝固界面上的溶质迁移也偏离平衡，凝固完全在非平衡条件下进行。非平衡溶质分配系数ka：界面处固相和液相的实际溶质质量分数之比，偏离k0,接近于1。快速凝固条件的实际溶质分配系数超出热力学范畴，需采用动力学方法研究。Backer,Jackson等作过理论研究，迄今广泛采用的时Aziz模型。Aziz模型：假设凝固界面在推进过程中液相一侧的溶质和溶剂原子首先在瞬间内全部发生凝固，形成过饱和层，然后，在非平衡驱动力的作用下，溶质原子向液相反向扩散，直到下一层原子发生凝固，过量的溶质被保留下来，形成非平衡溶质分配。故:ka可通过对凝固界面层中扩散方程的求解确定。第二十一页，共五十八页，2022年，8月28日21台阶生长的Aziz模型：连续生长过程的表达式：Di---界面扩散系数，R-----凝固速率，δ-----凝固方法上的原子厚度R-----凝固方向上的原子厚度

第二十二页，共五十八页，2022年，8月28日22界面溶质分配系数：

在非平衡凝固条件下，界面处固-液相的成分即使在一定的温度下也不是像平衡条件下的定值，而是在一定的范围内波动，范围取决于动力学条件。M.Krumnacker和J.C.Brice等研究了固液界面的溶质分配系数与生长速度的关系：对于k0＜1的合金，晶体的生长速度越快，k*越大，越偏离平衡分配系数。而生长速度越低，两者越接近。而对于k0＞1的合金，则相反。J.C.Brice导出了k*与生长速度f的关系：v是原子的扩散速度，α是溶质分子在固液界面上的粘着系数，β是被吸附分子的解离常数。可见，当f→0时，k*→k0,当f→∞时，k*→1第二十三页，共五十八页，2022年，8月28日23（二）均质形核凝固：固相核心核心长大=相变。形核是凝固过程研究的主要问题之一。形核的研究目标：确定不同条件下、不同成分合金的形核温度、形核速率。

1.形核的研究方法2.形核驱动力，过冷度3.临界晶核,形核功4.均质形核率第二十四页，共五十八页，2022年，8月28日241.形核的研究方法

测定凝固过程的冷却曲线以确定形核温度；

分析凝固组织中的晶粒度定性确定形核速率；

对凝固再辉过程的直接观察进行形核研究（高速摄影）；

用热力学和动力学进行形核模型研究；

形核过程的MonteCalro模拟。为了确定均质形核温度（最大过冷度）：可将液体分散成很小的液滴；迫使液体金属与化学活性玻璃熔渣充分接触；在保护性气氛下反复加热、凝固。测定均质形核温度的方法：低熔点金属：用膨胀仪测凝固时体积的变化；高熔点金属：在加热的显微镜下惰性气体保护，表面变化或凝固时产生的复辉（recalescence).第二十五页，共五十八页，2022年，8月28日252.形核驱动力，过冷度当T＜T0时，Gs＜GL，△GV----形核驱动力；析出固相，形成附加界面能Gi，通过液相的过冷获得形核驱动力，当过冷为△T，析出体积V的晶核时，体积自由能变化为：

产生的总界面能：Gi=Aσ；σ----界面能，A----表面积。总的自由能变化：△G=△GV+Gi形核过程自发进行的条件：△G＜0取△G=0，得临界条件：

球形晶核：V=4/3πr3,A=4πr2,对应于a点

barC第二十六页，共五十八页，2022年，8月28日263.形核功、晶核、临界过冷度形核功当液体中出现晶核时，系统总的自由能变化为：△G=△GV+△Gi

=△GmV+σLSA当晶核为球形时，△Gm—固液单位体积的自由能之差。△Gm=△Sm△T随着r的变化，△GV、△Gi都改变，σLS随温度的变化很小。当T＞Tm时，△GV、△Gi均随r的增加而上升，总的自由能也上升当T=Tm时，△GV=0，△G=△Gi，并随r的增加而而上升。当T＜Tm时，液相过冷，热力学上是不稳定的。故，△GV随r的增加而下降，第二十七页，共五十八页，2022年，8月28日27

实际上，在b点，即r≥rc时，晶核便能自发长大，因此，半径为rc的晶核定义为临界晶核。取：，即得：进而得形核功：

barC第二十八页，共五十八页，2022年，8月28日284.均质形核率

液相中的半径为rC的原子集团通过过冷液相中的结构起伏产生，当过冷液相中半径为rC的原子集团获得一个新的原子后变成稳定的晶体。形核率是表征形核规律并对凝固组织具有重要影响的量化指标。形核率：单位时间、单位体积液相中形成的晶核数目。Turnbull在统计热力学的基础上导出的形核率的计算式：N----单位体积液相中的原子数；k-----玻尔兹曼常数；a-----晶核形状因子，球形a=16π/3h----普朗克常数；△GA-----原子激活能；△Gv-----体积自由能第二十九页，共五十八页，2022年，8月28日29形核率与过冷度的关系：

按形核率的定义：I=niSCνLNi-----单位体积内由I个原子组成的晶胚数；SC-----一个晶胚周围的液态原子数；νL-----一个原子穿过固-液界面的跳跃频率。由临界形核功与玻尔兹曼公式、原子跳跃频率与激活能和振动频繁的关系得：可见：当△T→0时，△GC→∞，I→0，当△T↑时,△GC↓,I↑△TI第三十页，共五十八页，2022年，8月28日30但是，当过冷度大到一定程度后，温度很低，扩散困难，I↓，这种现象在实际金属中很难出现，（形核的动力学因素起主要作用）尤其是纯金属，106℃/s速度淬火也很难抑制形核。对合金，固体在不同成分液体间保持平衡，形核时扩散起重要作用，采用快速冷却可以获得非晶.均质形核的形核率与过冷度的关系第三十一页，共五十八页，2022年，8月28日31图中Im为最大的形核速率与之相应的临界温Tc．位于熔点温度和0K之间。由于I的倒数是时间t，因此，可以将图改变为T-t,横坐标由lgI变为lgt，建立类似于奥氏体连续冷却转变曲线的液-固转变TTT曲线(即时间、温度、转变曲线)。可以给出形核所需要的时间。图中tm为与Im相对应的达到最大形核速率时所需要的最短时间。当有非均质晶胚存在时，（点划线所示），将使tm减小，这是由于形核功减小之。由图可知，当采用：①的冷却速度时，可以获得固态晶体。②冷却速度时，由于粘性的增加，只能获得非品菠固体。某些共晶合金在超高速冷却(106~109oC／s)条件下可以得到非晶。这种材料由于没有晶界，没有偏折，所以具有高的强度、塑性和耐腐蚀性。第三十二页，共五十八页，2022年，8月28日32

（三）非均质形核

很多情况下，形核依赖于液体中的固相质点的表面及各种界面发生形核----

异质形核

1.异质形核功2.异质形核速率3.形核的影响因素于形核控制4.形核过程的控制

第三十三页，共五十八页，2022年，8月28日331.异质形核功非均质形核过冷度ΔT比均质形核临界过冷度ΔTC小得多时就大量成核在界面张力作用下，形成球冠：形成的球冠的半径与均质形核时相同：形核功：

=0~1θ-----新生晶体对异质晶核的接触角(=0~1800)；θ=0,润湿，θ=1800，不润湿，△G*=△GC，异质形核不起作用。通常情况下，接触角远小于180o，所以，非均质形核功ΔGhe*远小于均质形核功ΔGC，θ越小，ΔG小，夹杂界面的非均质形核能力越强，形核过冷度越小，第三十四页，共五十八页，2022年，8月28日34球冠体积一定时，θ角越小，曲率半径越大，较小的过冷度下便可达到临界晶核半径，因此形核能力越高。0π△G*△GC11θ△Tθ=1800θ=0r,r,r,r*第三十五页，共五十八页，2022年，8月28日352.异质形核速率Turnbull等在统计热力学的基础上得出的形核率：

NS---单位面积上的原子数。该式给出了异质晶核表面单位面积的形核速率，除了其中所反映的影响因素之外，异质形核的速率还取决于、异质晶核的数量及表面形状。θ↓,u↑第三十六页，共五十八页，2022年，8月28日363.形核的影响因素与形核控制工程上常见的是异质形核方式，其影响因素也包含了均质形核的因素，异质形核的影响因素是：（1）形核温度（过冷度）

对于一定的合金，当过冷度大于某一值时，形核速率随温度的降低而迅速增大。（2）形核时间

单位体积液相中形成晶核的数量是形核速率对时间的积分。（3）形核基底的数量形核基底的数量直接决定着形核的数量（4）接触角θ接触角θ是决定形核速率的最关键因素，

θ↓,I↑第三十七页，共五十八页，2022年，8月28日37(5)形核基底的形状当接触角不变时，三种（凹、平、凸）面上，凹形面晶核体积小，形核功小，因此，形核表面凹凸不平存在大量凹角时形核效率高。123θ1θ3θ2第三十八页，共五十八页，2022年，8月28日384.形核过程的控制对凝固过程的形核进行有效地控制可以实现对凝固组织的控制，包括：（1）促进形核在普通铸件中通常采用各种手段来促进形核、提高形核率，以获得细小的等轴晶。如：增大过冷；增强对流冲刷和型壁脱落；加细化剂；物理措施（机械、电磁、超声搅拌）（2）抑制形核为了实现大过冷下的凝固，或使形核完全抑制而得到非晶。快速冷却；去除液相中的固体质点，如循环加热和熔融玻璃净化、悬浮熔炼。（3）选择形核当合金液在远离热力学平衡的大过冷下凝固时，某些在低温下才会形成的非平衡相可能达到形核条件而优先于平衡相析出。因此，通过控制形核温度或加入适合特定相的形核剂激励某特定相的优先形核，以实现凝固过程相的选择。

第三十九页，共五十八页，2022年，8月28日39三、晶体的长大1.晶体的生长方式与生长速率2.晶体生长形态3.晶体生长中形成的结构缺陷第四十页，共五十八页，2022年，8月28日401、晶体的生长方式与生长速率当过冷液体中存在大于临界半径的晶核时，液相中原子不断向晶核沉积-----凝固界面向前推进：凝固（1）凝固时固-液界面的形式（2）几种光滑界面的生长方式（3）生长速率第四十一页，共五十八页，2022年，8月28日41（1）凝固时固-液界面的形式

根据液相原子在界面上沉积的方式不同，将固液界面分为：粗糙界面和光滑界面。粗糙界面：用原子的尺度衡量是高低不平的，从液相中扩散来的原子容易与晶体连接起来，长大连续不断地进行，称：连续长大。光滑界面：用原子的尺度衡量是光滑的，单个原子与晶体的结合力较弱。液相原子可在：平面、台阶、扭折位置上生长。如果液相原子主要在台阶或扭折处沉积，则凝固是通过液相原子的逐层沉界实现的,就是光滑界面，如果，当原子的沉积位置完全随机时，就是连续长大的粗糙界面。第四十二页，共五十八页，2022年，8月28日42光滑与粗糙界面的判据：固一液界面处原子的能量高于固体内部原子的能量，是与失去的部分结合健能成正比，其差值转变为表面能。在恒压下热焓的变化为：△H＝△u十p△V固-液转变时，△V=0，所以△H0=△u因此，潜热就可以看作内能，即结合能的差值。如果把液体内的原子结合能视为“o”的话，则当固体转变为液体时，潜热△H0可看作一个固体原子所具有的结合能。设在固体内部一个原子的配位数(近邻数)为ν，则一个结合键的能量为：△H0/ν设固-液界面有N个原子沉积位置时，若表面层的配位数(仅限于表面这一层)为η，则表面层原子理论上的结合能应该为：

式中，A为表层原于与下层固体原子联系配位数。如果界面上N个原子位置只有NA个原子被占满，占据率：x=NA/N，则表面上原子的实际结合能应为：界面上总数为N*x个原子，结合能差的总值为：在液态原子向固一液界面上沉积的过程中，使界面自由能的变化为：第四十三页，共五十八页，2022年，8月28日43Jackson总结了区分两种界面的判据-----Jackson因子a.定义为：H0----固相原子的结合键能；k---波耳兹曼常数Tm---凝固温度，N---固相内部配位数，N1-----界面原子在凝固层内的配位数。界面自由能与占据率的关系。

1)a≤2的物质，凝固时固-液界面为粗糙面，因为ΔFS在x=0.5时有一个极小值，即自由能最低。大部分金属属此类；2)凡a＞5的物质凝固时界面为光滑面，a非常大时，ΔFS的两个最小值出现在x→0，x→1的地方。有机物及无机物属此类；

3)a=2～5的物质，常为多种方式的混合，Bi、Si、Sb等属于此类。第四十四页，共五十八页，2022年，8月28日44D.E.temkia和K.A.Jackson的固液界面的多原子模型：在多原子层界面中，存在排列较为规则的原子簇，而原子簇的部分位置被填满，并与一定的晶面相对应，越靠近固相的一边，排列有序度越大。在多原子层界面中还有排列很紊乱的原子，单原子层的粗糙界面变成了多原子层的粗糙界面。重要的是，原子层的厚度随过冷度的增大而增大，当过冷度较小时，界面原子层数少，长大可以按每层台阶的侧向扩展方式进行，即使是熔融熵很低的金属，在足够小的过冷度下（10-5K），也可以按照小晶面方式长大，而反之，随过冷度的增加，界面原子层厚度增大，粗糙度也增大，即使是小晶面的物质也可以按照粗糙界面长大。为此，就存在一个临界过冷度问题，但是这个临界过冷度是随不同物质而定的。其熔融熵越大，临界过冷度也越大。相反，熔融熵越小，临界过冷度也就越小。物质在合金的浓度较低的溶液中，固液界面的而厚度小，即使是熔融熵很小的物质，长大也可能按照台阶侧向扩展方式进行，具有小晶面的结果特征。第四十五页，共五十八页，2022年，8月28日45（2）几种光滑界面的生长方式光滑界面上原子的沉积是一层一层地进行的，单个原子的生长非常困难，因此依靠侧向生长，可通过以下的方式：二维形核、利用螺形位错、孪晶面二维晶核：从液相出现较为困难，（过冷大）需要不断地形成。第四十六页，共五十八页，2022年，8月28日46螺形位错台阶：台阶不断地扫过晶面，因各处线速度相等，位错中心的台阶扫过晶面的角速度较大，结果便产生一种塔尖状的晶体表面。孪晶面：晶体长大能够与孪晶面平行的方向上进行，而且一直保持沟槽的完整性，使长大得以连续不断地进行。光滑界面上界面能明显的各向异性，界面是由小平面构成的，称小平面相。第四十七页，共五十八页，2022年，8月28日47（3）生长速率各种晶面的生长速率是生长驱动力（过冷度、过饱和度）的函数，但是，不同微观生长方式对应的函数关系是不同的，根据原子通过固液界面的迁移速率、界面二维形核速率及面扩散率可以得到：连续生长、二维生长、及位错生长的速率与过冷度的关系：连续生长：DL----液相中原子的扩散系数DLM-----液固界面上原子的扩散系数二维生长：△h----生长过程中的质量焓的变化a----沿生长方向的原子层间距；Tm-----合金的凝固温度位错生长：B1B2B3-----与合金体系物性有关的常数第四十八页，共五十八页，2022年，8月28日48不同的生长方式其生长速率与生长过冷度的关系服从不同的规律。台阶生长的界面常依赖于界面原子的扩散，大多数原子要通过界面吸附和向台阶的扩散才能完成向固相的转移。如果生长速率很大，界面吸附的原子来不及完成向台阶的扩散，则光滑界面也将表现为连续生长。Temkin等进行蒙特-卡洛模拟证明了这一结论。第四十九页，共五十八页，2022年，8月28日49

2.晶体生长形态（1）自由能最小原理和Wull定律（2）BFDH模型（3）周期键链理论（4）界面附着理论

第五十页，共五十八页，2022年，8月28日50（1）自由能最小原理和Wull定律液相中晶体的生长形态符合自由能最小原理，由于晶