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文档简介
1.掌握切线长定理,初步学会运用切线长定理进行计算
与证明.(重点)2.了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念.3.学会利用方程思想解决几何问题,体验数形结合思想.(难点)学习目标POO.PBAABO1问题1
上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示),如果点C是圆外一点,又怎么作该圆的切线呢?问题2
过圆外一点作圆的切线,可以作几条?请欣赏小颖同学的作法!(见右图所示)直径所对的圆周角是直角.问题引入P1.切线长的定义:
经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长叫做切线长.AO①切线是直线,不能度量.②切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量.2.切线长与切线的区别在哪里?切线长的定义1新课讲解思考:PA为⊙O的一条切线,沿着直线PO对折,设圆上与点A重合的点为B.
OB是⊙O的一条半径吗?PB是⊙O的切线吗?(利用图形轴对称性解释)
PA、PB有何关系?
∠APO和∠BPO有何关系?O.PAB切线长定理2新课讲解BPOA切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.PA、PB分别切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB几何语言:
注意:切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.新课讲解拓展结论PA、PB是⊙O的两条切线,A、B为切点,直线OP交⊙O于点D、E,交AB于C.(1)写出图中所有的垂直关系;OA⊥PA,OB⊥PB,AB⊥OP.(3)写出图中所有的全等三角形;△AOP≌△BOP,△AOC≌△BOC,△ACP≌△BCP.(4)写出图中所有的等腰三角形.△ABP△AOB(2)写出图中与∠OAC相等的角;∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.BPOACED新课讲解BPOA练一练
PA、PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,OA=3.(1)若AP=4,则OP=
;(2)若∠BPA=60°,则OP=
.56新课讲解★切线长问题辅助线添加方法(3)连接圆心和圆外一点.(2)连接两切点;(1)分别连接圆心和切点;要点归纳问题1
一张三角形的铁皮,如何在它上面截下一块圆形的用料,使截出的圆与三角形各边都相切呢?ABCABC三角形的内切圆及内心3新课讲解问题2
如何作圆,使它和已知三角形的各边都相切?已知:△ABC.求作:和△ABC的各边都相切的圆.MND作法:1.作∠B和∠C的平分线BM和CN,交点为O.2.过点O作OD⊥BC,垂足为D.3.以O为圆心,OD为半径作圆O.⊙O就是所求的圆.新课讲解1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.B2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.这个三角形叫做圆的外切三角形.4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.┐ACI┐┐DEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆,点O是△ABC的内心,△ABC是⊙O的外切三角形.概念学习新课讲解名称确定方法图形性质外心:三角形外接圆的圆心内心:三角形内切圆的圆心三角形三边中垂线的交点1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的内部.三角形三条角平分线的交点1.到三边的距离相等;2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.内心在三角形内部.填一填:ABOABCOC新课讲解
如图,PA、PB是⊙O的两条切线,点A、B是切点,在弧AB上任取一点C,过点C作⊙O的切线,分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7,∠P=40°.则⑵∠DOE=
.⑴△PDE的周长是
;14OPABCED70°例1新课讲解
△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=13cm,BC=14cm,CA=9cm,求AF、BD、CE的长.解:设AF=xcm,则AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm),
BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由
BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14,解得
x=4.∴AF=4cm,BD=9cm,CE=5cm.想一想:图中你能找出哪些相等的线段?理由是什么?方法小结:关键是熟练运用切线长定理,将相等线段转化集中到某条边上,从而建立方程.ACBEDFO例2新课讲解·ABCEDFO如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求Rt△ABC的内切圆的半径
r.设AD=x,BE=y,CE=r,∵⊙O与Rt△ABC的三边都相切,∴AD=AF,BE=BF,CE=CD,则有x+r=b,y+r=a,x+y=c,解:设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F,连结OD、OE、OF,则OA⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB.解得r=a+b-c2变式题:.新课讲解
设Rt△ABC的直角边为a、b,斜边为c,则Rt△ABC的内切圆的半径r=a+b-c2总结归纳.新课讲解20°4110°A1.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点分别是A、B,如果AP=4,∠APB=40°,则∠APO=
,PB=
.BPOA第1题2.如图,已知点O是△ABC
的内心,且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=
.BCO第2题随堂即练3.如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点为A、B,∠P=50°,点C是⊙O上异于A、B的点,则∠ACB=
.65°或115°BPOA第3题4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点,如图,已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是
.ABCFEDO第4题30随堂即练直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问:(1)它的外接圆半径是
cm;内切圆半径是
cm.·ABCEDFO2.51解:如图,△ABC的外接圆直径为AB,而由勾股定理可得AB=5cm,故外接圆半径为2.5cm.连接AO,BO,CO.设△ABC的内接圆半径为r,由面积公式可得:S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC,即,所以,代入数据得r=1cm.方法小结:直角三角形的外接圆半径等于斜边长的一半,内接圆半径.拓展提升(2)若移动点O的位置,使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切,求⊙O的半径r的取值范围.·ABODC解:如图所示,设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形
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