初中数学人教九年级上册第二十四章圆三角形的内切圆PPT

【自主“学”习】

李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下定义：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的

，内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做的

。内切圆外切三角形思考下列问题：1．如图1，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？圆心0在∠ABC的平分线上。

2．如图2，如果⊙O与△ABC的∠ABC的两边相切，且与∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？OMABCNO图2ABC探究：三角形内切圆的作法圆心0在∠ABC与∠ACB的角平分线的交点上。3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的位置与半径的长？

4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？

只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。

IFCABED作法：

ABC1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。

I2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.⊙I就是所求的圆。

DMN探究：三角形内切圆的作法

外心（三角形外接圆的圆心）

名称确定方法图形性质三角形三边中垂线的交点

(1)OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部．内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点

（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部．OACDB图（1）图（2）说出下列图形中圆与四边形的名称四边形ABCD叫做⊙O的外切四边形四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形辨析：（1）三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等

（

）（2）三角形的外心到三角形各边的距离相等

（

）（3）等边三角形的内心和外心重合

（

）（4）三角形的内心一定在三角形的内部

（

）（5）菱形一定有内切圆

（

）（6）矩形一定有内切圆

（

）解：

∵点O为△ABC的内心∴∠1＝∠2＝∴∠BOC=1800-(∠1+∠2)=1800-(250+37.50)=117.50∴∠BOC=117.50C1O243BA例题1：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。变式1：在△ABC中，点O是内心，∠BAC=50°，求∠BOC的度数。变式2：在△ABC中，点O是外心，∠BOC=100°，求∠BAC的度数。变式：如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=_______度．·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c,⊙O为Rt△ABC的内切圆.求：Rt△ABC的内切圆的半径r.设AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝by＋r＝ax＋y＝c解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝a＋b－c2结论设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径

r＝或r＝a＋b－c2aba＋b＋c例2：(可作为三角形内切圆半径公式)（4）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图(二))且面积为S，各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；变式：已知：如图，边长为a的正△ABC内有一边长为b的内接正△DEF，求△AEF的内切圆半径

．例3：【视野拓展】如图，△ABC为⊙O点内接三角形，I为内心。（1）求证：BD=CD=ID；（2）若外接圆半径为R，内切圆半径为r，求证：AI·ID=2Rr例2、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O分别相切于点L、M、N、P，求证：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，

DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．例题2练习.如图，△ABC中,∠C=90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.OEBDCAF·ABCEDFO如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3,AC＝4,⊙O为Rt△ABC的内切圆.（1）求Rt△ABC的内切圆的半径.（2）若移动点O的位置，使⊙O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求⊙O的半径r的取值范围。设AD=x,BE=y,CE＝r

∵

⊙O与Rt△ABC的三边都相切∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD则有x＋r＝4y＋r＝3x＋y＝5解：（1）设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。解得r＝1在Rt△ABC中，BC＝3,AC＝4,∴AB＝5由已知可得四边形ODCE为正方形，∴CD＝CE＝OD∴Rt△ABC的内切圆的半径为1。（2）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连结OB、OD,则四边形BODC为正方形。·ABODC∴OB＝BC＝3∴半径r的取值范围为0＜r≤3点评几何问题代数化是解决几何问题的一种重要方法。

1.本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法