高三一轮数学（文）总复习-1.1集合及其运算【系列一】

2017年高考“最后三十天”专题透析2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台——教育因你我而变好教育云平台——教育因你我而变第一章集合与常用逻辑用语1．集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________．(2)集合中元素的三个特性：__________，_________，___________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用数集的符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号3.元素与集合、集合与集合之间的关系(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作________．(2)集合与集合之间的关系：表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同__________⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素________或________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集∅⊆A，∅B(B≠∅)结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有______个，非空子集有________个，非空真子集有________个．4．两个集合A与B之间的运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示若全集为U，则集合A的补集记为________Venn图表示(阴影部分)意义5.集合运算中常用的结论(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩∅＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪∅＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁UA)＝________；②∁UU＝________；③∁U∅＝________；④A∩(∁UA)＝________；⑤A∪(∁UA)＝________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________．(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝_________________________；card[∁U(A∪B)]＝_______________________.自查自纠：1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．NN*(N＋)ZQRC3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆AA⊆BB⊇AABBA非空集合2n2n－12n－24．A∪BA∩B∁UA{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④∅⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②∅③U④∅⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(eq\a\vs4\al(2017·全国卷Ⅲ))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4解：由题意可得：A∩B＝{2，4}．故选B.(eq\a\vs4\al(2017·全国卷Ⅱ))设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝()A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{2，3，4} D．{1，3，4}解：由题意A∪B＝{1，2，3，4}．故选A.(eq\a\vs4\al(2017·全国卷Ⅰ))已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则()A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2))) B．A∩B＝∅C．A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2))) D．A∪B＝R解：由3－2x>0得x<eq\f(3,2)，所以A∩B＝{x|x<2}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2))).故选A.(eq\a\vs4\al(2017·全国卷Ⅲ))已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解：A表示圆x2＋y2＝1上所有点的集合，B表示直线y＝x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A∩B中元素的个数为2.故填2.(eq\a\vs4\al(2016·天津))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A},则A∩B＝________.解：因为A＝{1，2，3，4}，所以B＝{1，4，7，10}，则A∩B＝{1，4}．故填{1，4}．类型一集合及相关概念(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则实数a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8) C．0 D．0或eq\f(9,8)解：(1)当x＝0，y＝0，1，2时，x－y＝0，－1，－2；当x＝1，y＝0，1，2时，x－y＝1，0，－1；当x＝2，y＝0，1，2时，x－y＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B的元素为－2，－1，0，1，2，共5个．故选C.(2)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值为0或eq\f(9,8).故选D.点拨：第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A中只有一个元素，要分a＝0与a≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．解：(1)因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，eq\f(b,a)＝－1，从而b＝1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故填2.(2)由A＝∅知方程ax2＋3x－2＝0无实根，当a＝0时，x＝eq\f(2,3)不合题意，舍去；当a≠0时，Δ＝9＋8a<0，所以a<－eq\f(9,8).故填eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,8))).类型二集合间的关系已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．(1)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A⊆B，求实数m的取值范围；(2)若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B⊆A，求实数m的取值范围．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}．(1)若A⊆B，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＞m－6，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得3≤m≤4.所以m的取值范围为[3，4]．(2)若B⊆A，则①当B＝∅，有m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满足B⊆A；②当B≠∅，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．点拨：本例主要考查了集合间的关系，“当B⊆A时，B可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．(1)已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，则()A．A∩B≠∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解：由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝(1，＋∞)，所以A∪B＝R.故选B.(2)已知集合A＝{x|x2－2018x－2019≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A⊆B，则实数m的取值范围是________．解：由x2－2018x－2019≤0，得A＝[－1，2019]，又B＝{x|x<m＋1}，且A⊆B，所以m＋1>2019，则m>2018.故填(2018，＋∞)．类型三集合的运算(1)(eq\a\vs4\al(2015·全国卷Ⅰ))已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5B．4C．3D．2(2)(eq\a\vs4\al(2016·浙江))设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝()A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)解：(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．故选D.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．所以∁RQ＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁RQ)＝{x|－2<x≤3}．故选B.点拨：集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩(Venn)图等进行运算．(1)如果S＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，4}，B＝{2，4，5}，那么(∁SA)∩(∁SB)等于()A．∅B．{1，3}C．{4}D．{2，5}解：因为∁SA＝{2，5}，∁SB＝{1，3}，所以(∁SA)∩(∁SB)＝∅．故选A.(2)设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，则P∩(∁UQ)等于()A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，6，7}D．{1，2，3，4，5}解：因为∁UQ＝{1，2}，所以P∩(∁UQ)＝{1，2}．故选A.类型四韦恩(Venn)图及其应用设全集为R，集合M＝{y|y＝2x＋1，－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)}，N＝{x|y＝lg(x2＋3x)}，则韦恩图中阴影部分表示的集合在数轴上表示为()解：因为－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)，y＝2x＋1，所以0≤y≤2，所以M＝{y|0≤y≤2}．因为x2＋3x>0，所以x>0或x<－3，所以N＝{x|x>0或x<－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁RM)∩N，又∁RM＝{x|x<0或x>2}，所以(∁RM)∩N＝{x|x<－3或x>2}．故选C.点拨：韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．如图，全集I＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＜3} D．{x|x＞0}解：由韦恩(Venn)图可知，阴影部分表示的是集合A∪B＝{x|0＜x＜3}．故选B.1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题．例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一个不是空集，求a的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－4a＜0，,1－4（2a－1）≤0，,a＞4a－9，))解得eq\f(5,8)≤a＜3，从而所求a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a＜\f(5,8)或a≥3)).1．(eq\a\vs4\al(2016·北京))已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝()A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}解：易知A∩B＝(2，3)．故选C.2．(eq\a\vs4\al(2016·四川))设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是()A．3B．4C．5D．6解：由题意，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C.3．(eq\a\vs4\al(2015·浙江))已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，则(∁RP)∩Q＝()A．[0，1) B．(0，2]C．(1，2) D．[1，2]解：由题意得∁RP＝(0，2)，所以(∁RP)∩Q＝(1，2)．故选C.4．(eq\a\vs4\al(2017·江苏))已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A．－eq\r(2)B．0C．1D．2解：a2＋3＞1，故只能有a＝1.故选C.5．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解集分别为S与M，且S∩M＝{3}，则p＋q的值是()A．2B．7C．11D．14解：由交集定义可知，3既是集合S中的元素，也是集合M中的元素．亦即是方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的公共解，把3代入两方程，可知p＝8，q＝6，则p＋q的值为14.故选D.6．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝eq\r(7x－x2－6)}，B＝{x∈Z|－1<x≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A．3B．4C．7D．8解：A＝{x∈N|y＝eq\r(7x－x2－6)}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C.7．(eq\a\vs4\al(2017·天津))设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝________.解：A∪B＝{1，2，4，6}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故填{1，2，4}．8．已知集合A，B与集合A@B的对应关系如下表：A{1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8}{－2，－1，0，1}{－4，－2，0，2}A@B{1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A＝{－2019，0，2018}，B＝{－2019，0，2017}，试根据图表中的规律写出A@B＝________.解：由规律知，A@B是由A∪B中元素去掉A∩B中元素构成的集合，故A@B＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．9．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m，－3}，且3∈A，求m的值．解：因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3，解得m＝1或m＝－eq\f(3,2).当m＝1时，m＋2＝2m2＋m＝3，不满足集合元素的互异性，当m＝－eq\f(3,2)时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4