GCT入学资格考试微积分

对新考试特点的分析GCT-ME重在考查获取知识的能力；重在直观分析、判断综合；考查的不是难度、深度，而是能力。（以下来自考试大纲）

GCT-ME考试数学基础能力测试宗旨：考查考生所具有的数学方面的基础知识、基本思想方法，及使用所掌握数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。试题结构：

25道单项选择题，每题4分，时间为45分钟。内容为算术、代数、几何与三角、一元微积分、线性代数五部分（各5道题）。——包括审题、涂答案和分析计算在内，平均每题2分钟不到，少量题上最长不宜超过3分钟。命题范围：算术、代数、几何与三角、一元微积分、线性代数的基础知识，及其在日常生活、科学研究和实际工程中的应用，要求考生对所列数学知识有较深刻的理性认识。——基础知识、思维方式及应用（思维方式：理性直观）应有的基本对策

由于考查是在基础知识上的直观分析、判断综合；而且选择题适宜考查基本概念及基本计算。因此复习中应注意：

1、强调“正确”理解基本概念，熟练基本运算。注意概念、性质、方法、结论的变化和综合；

2、强调理性直观的分析问题能力，尤其是通过图形的直观分析能力；

3、注意以前有关学习中容易错，不是很清楚的地方；应试基础：以不变应万变(不变—熟练的双基、稳定的心态);应试要领：速度；应试方法：题目读完后，先看一下四个答案的特征(因最终要选);

能画图的尽量画个准确的图;

画不出图，四答案也不能帮助分析的，注意相关概念本质和结论。这些都不行，别忘记再看一遍已知。

注意应对选择题的多种有效方法等等。课后：熟悉相关概念的“正确”理解和强调的方法.第四部分一元函数微积分第一节函数及其图形[考试要求]

集合，映射，函数，函数的应用[内容综述]函数及有关概念

1、定义：设A，B是两个实数域R的非空子集，则A到B的对应f：A→B称为A到B的函数。通常记作y=f(x),x∊A，

或相关概念：定义域、自变量、因变量、基本初等函数(幂、指、对、三角、反三角）、初等函数、分段函数（不属初等函数）。注意:①定义域及对应法则是两个基本要素：②

x本身不一定是数，也可以是函数、定积分、行列式。x本身不一定是一个字母，也可以是复杂的形式；③确定任何函数的函数值，都必须先确定自变量的值。

2、函数的性质：有界，单调，奇偶，周期例1已知f(x+1)=x2+1，求f(x)的表达式例2已知例3设函数f(x)的定义域是，且f(x)的图形关于直线x=a与x=b对称(a<b)，求f(x)的周期。

例4研究下列函数的奇偶性：

(1)(2)例5已知函数f(x)的周期是2，求函数的周期。第二节数列与函数的极限[考试要求]

数列、函数的极限，极限的运算，极限存在准则，两个重要极限，连续，无穷大、无穷小。

1、数列与函数极限定义；

2、极限性质；①若数列(或函数)极限存在(收敛),则其极限唯一;②若数列(或函数)极限存在(收敛),则其极限有界;3、极限运算；

4、两个重要极限;

①,特别（注意核心：(1+无穷小)无穷大，且三种形式对应.)

②（注意形式对应）[内容综述]5、无穷大量与无穷小量的定义与性质：①定义：时，，称f(x)在时为无穷小量；若时，，称f(x)在时为无穷大量；注意：

1°都是指函数值是否具有某种趋势:能越来越接近0(或∞)，是变化的量；

2°区别无穷大量与无界量.如②性质：有限个无穷小量的代数和、积仍为无穷小；无穷小量与有界量的积为无穷小。

6、无穷小量的比较及等价无穷小的替换；①定义：

注意条件②x→*,则(注意分子分母整体替换)7、函数连续的定义：若，则称y=f(x)在点x0连续。即f(x)在x0点连续“连续”的核心要素：①f(x0)存在;②;③三者相等.8、连续函数在闭区间上的性质(1)闭区间上连续，则闭区间上有界;(2)闭区间上连续，则闭区间上有最大、最小值;(3)闭区间[a,b]上连续,f(a)≠f(b),对f(a)，f(b)之间任一数η，有c，使f(c)=η.——介值定理(4)闭区间[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,c∈(a,b),使f(c)=0.例1下列极限正确的是

A.，0<a<b.B.C.不存在.D.求A=例2设，则当，一定是无穷小量的是

A.xf(x)B.f(x)-

xC.D.例3，则下列结论必成立的是

A.f(x)在x=1处无定义；B.在x=1附近()，f(x)>2；

C.f(1)=4D.在x=1附近()，f(x)>5.例4已知函数在上(-∞,+∞)连续，求a，b的值。

例4*设，在(-∞,+∞)上连续，则a=A.ln2B.0C.2D.任意实数例5设x→0时，是比高阶的无穷小，其中a，b，c是常数，则a=

,b=

,c=

?例6的草图是：ABCD第三节

导数与微分

[考试要求]

导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分。[内容综述]1、导数的定义记号：y=f(x)在x0点的导数，记为含义：(Δx只是形式,是无穷小量,分子与分母一致,趋于０)

注：某点x0点处可导（有导数）的要素①f(x0)存在；②；③f(x)在x0点的左导数，右导数存在且相等.2、导数的几何意义:曲线上该点切线斜率、变化速度3、导数公式及导数四则运算；4、求导法则（1）复合函数求导：思路：拆分成若干层，使每一层能直接使用基本导数公式或四则运算法则．如：

（2）隐函数导数x与y的对应关系由F(x,y)=0确定（隐函数）。如

思路：一个变量作自变量，其余看成自变量的函数．5、高阶导数；6、微分①定义：x，x＋Δx

∈f(x)的定义域，相应函数的改变量有，Δy=f(x＋Δx)-

f(x)=AΔx＋o(Δx)其中A是不依赖于Δx的常数，o(Δx)是比Δx高阶的无穷小量，AΔx

称为函数y=f(x)在点x处相应于Δx的微分，记为dy

dy=f'(x)Δx=f'(x)dx②微分的几何意义函数在某点的微分，是函数对应曲线上该点切线上相应于Δx的增量．例1f(x)在可导，求下列极限（1）（2）例2将(a)~(d)中的函数与图中I~IV的导函数图形匹配abcdIIIIIIIV例3f(x)在(-∞,+∞)内可导，f(-x)=-f(x)，则

A.kB.-kC.0D.∞例4

确定了y=y(x)，求在x=0处的切线和法线方程。例5

可导偶函数的导函数是奇函数；可导奇函数的导函数是偶函数；周期为T的可导函数的导函数是以T为周期的函数。第四节

微分中值定理与导数应用

[考试要求]

中值定理，导数应用。

[内容综述]1、中值定理（理论性强，了解）（图示）：①罗尔定理：f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则有ξ∈(a,b),使f'(ξ)=0.即在(a，b)中有点的切线平行于x轴。②拉格朗日中值定理：f(x)在[a,b]上连续,(a,b)上可导,则有ξ∈(a,b),使f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)即此时(a，b)中有点的斜率等于直线AB的斜率。

2、导数的应用（重要）①洛必达法则：作用：不定式求极限方法（不定式：，，或可化为这两种型式的极限计算问题）条件：1°f'(x),g'(x)

极限点附近存在;2°g'(x)≠0;3°存在.

法则：注意：1°注意先简化再求导，及边简化边求导;2°整个分式是，，先化成单一分式.②函数的单调性与极值点：

1°单调性定义：单增:x1<x2,f(x1)≤f(x2);单减:x1<x2,f(x1)≥f(x2)

单调性判定：

f(x)在(a,b)内可导,则f(x)在(a,b)内单调增(减)

2°极值点定义:任给x∈{x|0<|x-x0|<ε},f(x)<f(x0),则x0是极大值点,任给x∈{x|0<|x-x0|<ε},f(x)>f(x0),则x0是极小值点.

极值点特性：双侧，局部极值点来源：导数为零的点,或导数不存在的点.

极值点判定:Ⅰ.f(x)在x0的空心领域内可导时x<x0，f'(x)>0，x>x0，f'(x)<0，x0为极大值点;X<x0，f'(x)<0，x>x0，f'(x)>0，x0为极小值点.x0两侧f'(x)同号，x0不是极值点。

Ⅱ.f(x)在x0处有二阶导数,f'(x)=0,f

″(x)≠0x0附近，f

″(x)<0，x0为极大值点；

x0附近，f″(x)>0，x0为极小值点。（记：大小，小大）③函数的凹凸性与拐点：

1°凹凸性定义：曲线上切线与曲线的位置.

凹凸性判定:f(x)在区间I上二阶可导,则

f″(x)>0，f(x)在I上凹的; f″(x)<0，f(x)在I上凸的.

（记：大小凹，小大凸）

2°拐点定义：连续曲线上凹凸部分的分界点.

拐点判定：f″(x)=0，f″(x)在x0两侧异号.导数及其应用总结概括：例1求（注意边化简边使用洛必达法则）例2求

（通分化成单一分式后再求，自课后做）例3设f(x)二阶可导，且，则当时有

A、

B、

C、

D、

例4在区间

内，方程(A)无实根

(B)有且仅有一个实根

(C)有且仅有两个实根

(B)有无穷多个实根例5下图是关于汽车位移函数的图像，利用图像，回答下列问题

a)汽车的初始速度?b)汽车在B，C两点哪个速度更快?c)汽车在A，B，C三点速度是增快还是减慢?d)在D，E两点之间汽车的运动状况?例6设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其导数的图形如图，则f(x)有

A.一个极小值点和两个极大值点B.两个极小值点和一个极大值点

C.两个极小值点和两个极大值点D.三个极小值点和一个极大值点第五节积分[考试要求]

不定积分和定积分的概念，牛顿－莱布尼茨公式，不定积分和定积分的计算，定积分的几何应用。

[内容综述]一、不定积分

1、原函数、不定积分的概念原函数：若，，F(x)是f(x)的原函数(与导函数是相对概念，成对出现）。不定积分：f(x)的全体原函数F(x)+C，称为f(x)的不定积分。记号，即注意：上式说明右边是f(x)的原函数，其导函数为f(x)。如

2、不定积分基本计算及性质：公式1~12；性质。

3、不定积分的换元法：（第一换元）凑微分法：被积函数中的导函数从原函数放到微分号后面。即（第二换元）变量代换法：可导，则

4、不定积分的分部积分法（容易求，新积分容易积）。二、定积分

1、关于定义：记号：含义：本质：定积分是和的极限,是一个只与区间a,b及函数f(x)有关的(变化的)数,与积分变量的形式x无关；a,b确定f(x)已知时,定限积分是常数.

可积的必要条件：f(x)在区间[a,b]上有界.

可积的充分条件：f(x)在区间[a,b]上连续.2、定积分的几何意义：曲线f(x),x轴,x=a,x=b所围面积的代数和.3、定积分性质：4、变限定积分公式：5、定积分计算：

①几个重要结论：②牛—莱公式：F(x)是f(x)的原函数,则

③变量替换法：积分限变化规则：上限对上限，下限对下限，不论大小.

④分部积分法：6、定积分的几何应用例1求；