2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷一试、二试(加试)

加"年全国髙中数学联合竞赛一试（人卷）

参考答案及评分标准说明t舒阅试卷时，请搖据本评分标准-填空题貝设名分利o分两档：其他备题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分卩不具增加其他中间档it如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理.步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小題4分为一于档次，第込11小題5分为一于档ft不要增加其他中间档次.—，填空题：本大题共&小腿银小题&分，共開分.1.设实数価足曲1站引（小则庄的取值范IS是・解：由*◎可采品＜0•原不器式可变无为aa2设复数zdw鴻炬p=3.[z+wjJ2—=7+4i.；〔：：：i是虑数单忙，上一冶分别衷示兀艸的共辄复数I则*+细匸-*]的摸旳・答案;届.解『由运算性质，7#4i=（时卅（f一吋=|才一同1一（刑一即t因为|才与町为实数、Re^u'—5wJ=O,故”i—w*=乙zw—纠=—4i・又罔=3’斯以宙：=2,从而I：_7+龙眄jZ=lz|"-4|H-'|"—if2H1—2WI=9—S-|-fii=l-|-fii.冈此m（z+^j（l-2uj的摸为JF+汩二阖.TOC\o"1-5"\h\z正实数匕化丹均不等于论若上氏他+10臥.悼=山生.锐+10莒」=3】则log,,.^的值为”答案二?解：令loguu=W1log,.w=^+则iog,M=—.log„.v=—ilog^yw=logy+kg,,v-jo&w=a-^itb・dib条件化为d+血+丹二N丄斗丄二3+由此可得陆=?.闌此*b41昭/=泊咅「log严=厶=；・必5袋予訶中装有2^10元纸币和3张！冗纸帀.袋子」中装有4张5元纸帀和3张1元纸币.现隨机从两个菠子申务取出两张纸币•则左中剩下的祇币用i值之和大于M中剩下的纸币倆值之和的概率为解:•种取法符合要求，等价于从川中取走的两张眾币的总M值"小千从应中聪走的两张纸币的总面值必•从而a<6<5+5=W.只能从川中取走两张1无纸币*相师的纵法数为CJ-3,又此时"「苯即从左中取走的两張纸币不能都是1元纸帀*相应有S#种观法，肉此.所求的帆率沏3>?£8_54=9cf^cT10x2135r7.双曲线C的方程为=左、右俶点分别为,尽.过点码件一

巴钱号戏曲线C1的右半支交于点P.Q.使得z^Fg=9（T・则A^PQ的内切恻半径是.答黑"-丨.解：由収曲戟的性质知，FtF;=5x71+3=4,PF\_PF1=QF\—QF1=2・因丄昇戸0=町\枚円¥+幵，=孚弓・因此

P耳十脛=叔P科十砒）-（阴-PF$

=^2x4--2:=lyp.从而岂角AF^Q的内切圆半轻是心扣f+腔_£0耳呼一旳一扣耳一。巧）=。一1‘AaMm乩是I,乙….100中的4个圧不相同的瓶满足

（打「+“：+心；）（应：+誉;-4-fJjJ—（住小-4-n-,u..+if.ii」）2+则这样的有序数组厲卫“即＜｝的个数为「「・答案二40.二解答题：本大题共3小题|共56分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤.9.(*®満分1石分)在AAJC中.己知盂十2越-疋=马苗-看.求血C的晟大憤.b4j于亠-^―r/4解：由数虽积的定义及余弦定埋J-fl,AB-AC=ch^sA=・2同理得.BA-BC=^—^-.由•西=於亠"-X故已知条件忧均22b2+1-~-a2+2((?2+才一冋=33+山丄一才｝*U|Jn2+2b~=3c1.卄分由余弦宦理及基本不等式’得打+/?_¥U討+2巧cost==2tih所以£inr=Jl-ca^C<—,+吃分3等号成立半且仅卅。让上二丽:需：石.囚此冊厂肘最大值是£.ie分M•〔本题満分前分)：］^/(x)&R±的奇函数，/(I)=I-」L对任Sx<0,11.(本题满分20分)如图所示.在平面宜轴坐折系#0*中*F是兀轴正半轴上的一个动点.以F为焦点、O为顶点作抛物线€\设P泉第…象限内匸上的-•点，°星丫轴负半轴上一点•使得PQ为&的切线.且啓|=2.凰SG均勻直线帥相切于点尸］且均与工轴相切.求点尸的坐标,使圆q与G的面积之和収到最小值.解：设抛物线匸的方程y=2^(p>0)(点Q的坐标为(-^0)(tf>0)・并设GG的圆心分别为qg」),@%丿』设巴线卩。的方程为jf=jrty—it(jn>0)・密其与厂的方程联立*消去尤可加y~—2prrty—^pu—0・闵为出?与芒相切于点戶*所以上述力程的判别式为色=井诃-4J严=0.解得側=£^・进而可知.点尸的坐标为(S丹)=(釦J^ptr)・于是|PQ|=J」+*|丹—01=卜詈莎=J2讥p+如.由|户｛?|=2可紂①…………拓井4a1①…………拓井AT曲矶/'JV注意到o尸与圆c’G相切于点尸.刖以OF1.设圆GKJjx轴分别相切于点M,jV.则OO,,OO,分别是APOM,SON的平分践.故£0,00,=90°.从而由射嗣定AT曲矶/'JV帕=O理0应=口卩0,卩沪=x；_尤=a~亠2㈣，结合①'就有加儿=t?十=4—3『,*d…订o分+4=2巧+4+4=2巧+4・说等号成立当且仅％孕此时从而尸的坐标为2Q井-1'*'"……八*］须井令r=K+v=＞则圆GG的面积之和为材.根据题臥仪需考虑rHxliJ最水值的情况.根据②、③可知’4丁=心+Vi)~一M旳=-—卅山一即品2pa八―“yd,

4-4xri-tl隹代換J=I一心由于4£=4-4da=2pa>0t所Uf>0于是二仞址—壮加试—分如分净实数咛吆用足殂>1蚯总="一…一血5).盟g-Q他_<Ti)(g：»15_ffl*)的星大血鮮2=0-口0，(吗一哙-任出-此］A(口如一于).由已知御，^^=I2:-t2015(均有冏一嘅!>¥靖一砖［MO・黑册舷一才兰0.^S<0.】0分以下考渥％“一甲>0的情'况”肉定5】产叫-由甲均不尊式得］ImidI/2QE5血3；"叱帀亦召何—处4帀詁爭厂召％)耳卡口_阿)2-7016-=4断觇卩主爲”TO分当岂"陶讦+时.上述不導式等号槪辽,且有舸(i=lX-.2015),此时卩洛.综上所述+所求疑大曲外為.4Q丹证怯一作山dC*的內闻i时歿空野C十更Pri三用聒NCX押朋F的昨按圆号别旳码禍咏一由仰用十甘线的世釉：九空尸丄邑-用条件可聘竺円如rrCPACCYAC从甬PXAV^JPASBPPF=CT+CP=lc=~CPf^CP-PX^BPPY-20w故PCI圆叫称d的廉拥等・所IMP在科til週的厭轲上.'…跖分于是AP^ao.・这表明直「卩关干宣线肿对福，".而1角辱丄ur卮尊麗三和形.40分三.〔本J満分50略定空间申10卡点具中任意四点不在一节平临上.将據些臨之间用坯啟帕连-土冯到的帕解中也稅有空间四址形.班确崔所注缚段数口的疑人值・MW这io个点为ra点.所富覩段为址側到一牛io阶牌肌图g找们证明&的边数不趙过诂.S5g的顶点为吟坯….丫旷決有靶象边.用示顶点耳的度一K血威刁）幫3对都成玄*M暇设存在耳满是de喊耳）24.不妨iSdeg（珀=心4・且曲与耳-…小“均柑邻.于址…之何沒有边・弼龜茂鴨応三簡羽.颅#4号一勺,•…八间恰有旳条炖・10令H-lh-2n—2卫+理一1JJH-lh-2n—2卫+理一1JJ+N—2開此叫誤=如Ip+1）（尹土用）（尹亠2）对弓5三戸一1・设对k=i-,?j—1成立岸恒％媒叫严―也++卜110分（