南通市高三调研数学试卷及答案

江苏省南通市2009届高三上学期期末调研考试数学试卷A．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，则集合=▲．2．已知函数，则的最小正周期是▲．3．经过点（－2，3），且与直线平行的直线方程为▲．4．若复数满足则▲．5．程序如下：t←1i←2Whilei≤4t←t×ii←i＋1EndWhilePrintt以上程序输出的结果是▲．6．若的方差为3，则的方差为▲．7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，则四面体的外接球的体积为▲．8．以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是▲．9．设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是▲．10．在闭区间[－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是▲．11．数列中，，且（，），则这个数列的通项公式▲．12．根据下面一组等式：…………可得▲．13．在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于▲．14．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是▲．B1A1ABCB1A1ABCC1D15．（本小题14分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．16．（本小题14分）如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．（1）求sin∠BAD的值；（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．ACACDB17．（本小题15分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差（°C）101113128发芽数（颗）2325302616该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?18．（本小题15分）抛物线的焦点为F，在抛物线上，且存在实数λ，使0，．（1）求直线AB的方程；（2）求△AOB的外接圆的方程．19．（本小题16分）已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．20．（本小题16分）已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．（1）求a的值；（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．B．附加题部分DABCDABCEO·A．选修4－1（几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．B．选修4－2（矩阵与变换）将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．C．选修4－4（坐标系与参数方程）求直线（t为参数）被圆（α为参数）截得的弦长．D．选修4－5（不等式选讲）已知x，y均为正数，且x＞y，求证：．22．（必做题）已知等式，其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）的值；（2）的值．ABCDA′B′C′D′23．（必做题）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是aABCDA′B′C′D′DDACB江苏省南通市2009届高三上学期期末调研考试（数学）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．课本中的习题改编，考查集合的运算．一元二次不等式是C级要求．2．课本中的习题改编．考查知识点是三角公式，数学思想方法是化归的思想．关注．3．课本中的练习题改编的．考查知识点是直线方程和两直线的位置关系．4．考查复数的运算．注意填空题的结果．5．考查算法的循环语句．关注语句何时循环结束和输出的t值是多少?6．课本中的练习题改编的．考查统计中的方差．关注7．课本中的习题改编．考查正方体、四面体与球的组合体的关系，关注正方体的体对角线和正方体外接球的直径相等．8．考查椭圆和圆的方程及其性质．关注椭圆的离心率的范围．解：，所以离心率的取值范围是．9．考查线性规划、充分必要条件和圆的有关知识．10．考查概率中的几何概型，数形结合的思想方法．11．考查递推数列和等差数列的通项公式，数学能力是识别、归纳、构造．解：方法一由，构造数列，，，即数列是等差数列，所以，故．方法二归纳猜想，求得猜想．最好通过求出验证猜想结果正确与否．该题是由数列中，，且（，），则此数列的通项公式改编的．12．本题是课本中的习题．考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识．方法一：猜想．方法二：先求出，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍）13．本题是北师大出版社教材例题改编的．考查向量的运算和三角形中的有关公式，平面向量数量积是C级要求．解：由，所以△ABC是为顶角的等腰三角形．由，故．另本题也可用建立恰当的坐标系，用解析法求得．14．考查对数函数、二次函数与三次函数方程的根，数学思想方法为数形结合，能力是常见函数的导数运用．解：，即有两解，直接解不可能，只有通过画出两个图象的示意图求解．要画图，可通过求出它们的极值，确定单调区间．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．课本习题改编题．主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，基本数学能力是空间想象能力、化归能力和探究能力．要从第一小题中挖掘出是边的中点，第二小题要求学生注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的．16．主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，数学基本能力是运算求解和数据处理能力．涉及三角形中三角恒等变换时，从化角或化边的角度入手，合理运用两角和与差的三角公式求解．另解：对于第二问，在中，求出，在中，求出，进一步求出的长，在中，知道三边求出．另：以点为坐标原点，直线为轴，直线为轴建立坐标系，设，求出的斜率，得到，进一步求出．17．本题主要考查古典概率的计算及统计中的线性回归方程，数学能力是审题、数据处理的能力、阅读的能力．要求学生列举全面，书写规范．尤其注意此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答．讲评时着重在引导学生认真审题．18．本题主要考查向量、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生灵活运用圆的标准方程或一般方程求圆的方程，理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，也可求出交点坐标．关注弦长公式：，抛物线的焦点弦长为．19．此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数与与单调性、不等式等知识的综合．数学思想方法是分类讨论、数形结合等．数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析问题与解决问题的能力．评讲时注意着重导数在研究函数问题中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以函数的单调性为背景，着重是利用导数转化为研究二次函数的恒成立问题．第三问是函数存在性问题，通过构造辅助函数，利用导数转化为研究分式函数、对数函数等函数的恒成立问题．利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二问另解：分类讨论：，当时，由函数在[1，＋∞）上是单调递增，所以在[1，＋∞）上是单调递减，即在[1，＋∞）上是单调递减，所以符合条件．当时，在[1，＋∞）上是单调递减，所以所以符合条件．当时，，要单调，则在[1，＋∞）恒成立．因为函数的开口向上，对称轴，所以要在[1，＋∞）恒成立，则必须，即．综上，得的取值范围．第三问另解：构造，先解在[1，e]恒成立，求出的取值范围．，当时，，，，所以在成立，所以符合．当时，，因为，所以，，所以在[1，e]上恒成立，故在[1，e]上单调递增，，由，解得。所以在[1，e]恒成立的的取值范围是，故的取值范围是．20．主要考查数列的概念、等差数列、等比数列的通项求法就、求解不等式等知识与方法，数学思想方法是分类讨论．数学基本能力是推理论证和运算求解能力，同时考查学生的探究能力和分析问题与解决问题的能力，讲评时着要引导学生认真审题，怎样将复杂的问题化成简单的问题．第三问解：由．由，所以．以下同解答相同．三、附加题21．选做题A．（几何证明选讲）考查平面几何证明中的圆的有关知识．数学基本能力是识图与运算求解能力．B．（矩阵与变换）考查常见的几种变换公式．C．（参数方程与极坐标）考查直线与圆的参数方程及其直线与圆的位置关系．D．（不等式证明选讲）考查基本不等式的运用．22．考查二项式定理的运用．讲评时要引导学生灵活赋值．关注2008年江苏高考试卷的第23题．23．考查梯形的面积和棱台的体积公式的推导及其定积分，数学基本能力是推理论证、运算求解、阅读和类比能力．本题的知识与能力要求均较高．南通市2009届高三期末调研测试数学参考答案与评分意见A．必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合，则集合=▲．2．已知函数，则的最小正周期是▲．3．经过点（－2，3），且与直线平行的直线方程为▲．4．若复数满足则▲．5．程序如下：t←1i←2Whilei≤4t←t×ii←i＋1EndWhilePrintt以上程序输出的结果是▲．6．若的方差为3，则的方差为▲．7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为，则四面体的外接球的体积为▲．8．以椭圆的左焦点为圆心，c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是▲．9．设a＞0，集合A={（x，y）|}，B={（x，y）|}．若点P（x，y）∈A是点P（x，y）∈B的必要不充分条件，则a的取值范围是▲．10．在闭区间[－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是▲．11．数列中，，且（，），则这个数列的通项公式▲．12．根据下面一组等式：…………可得▲．13．在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于▲．14．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是▲．答案：1．{6，7}2．3．4．5．246．277．8．9．0＜a≤10．11．12．13．14．B1A1B1A1ABCC1D15．（本小题14分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E∥平面ADC1？请给出证明．解:（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC1．………2分又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥面BCC1B1．……………5分（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．………7分当，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．………………8分事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B=DE．又B1B∥AA1，且B1B=AA1，∴DE∥AA1，且DE=AA1．……………12分所以四边形ADEA1为平行四边形，所以EA1∥AD．而EA1面ADC1内，故A1E∥平面ADC1．………14分16．（本小题14分）如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．（1）求sin∠BAD的值；（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．ACDB解（1）在Rt△ADC中，AD=8，ACDB则AC=10，．………………2分又∵，AB=13，∴．…………4分∵，∴．…………………5分∴．……………………8分（2），，，11分则，∴．……14分17．（本小题15分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差（°C）101113128发芽数（颗）2325302616该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠?解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，………………2分所以．…………………4分答：略．……………………5分（2）由数据，求得．………………7分由公式，求得，．…………………9分所以y关于x的线性回归方程为．…………10分（3）当x=10时，，|22－23|＜2；…………12分同样，当x=8时，，|17－16|＜2．……14分所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．……15分18．（本小题15分）抛物线的焦点为F，在抛物线上，且存在实数λ，使0，．（1）求直线AB的方程；（2）求△AOB的外接圆的方程．解：（1）抛物线的准线方程为．∵，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=．…1分设直线AB：，而由得．……………3分∴||==．∴．……………6分从而，故直线AB的方程为，即．……8分（2）由求得A（4，4），B（，－1）．……10分设△AOB的外接圆方程为，则解得………………14分故△AOB的外接圆的方程为．…………………15分19．（本小题16分）已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．解：（1）由题意，≥0在上恒成立，即．………1分∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，…2分只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．……4分（2）由（1），得．．…………5分∵在其定义域内为单调函数，∴或者在[1，＋∞）恒成立．………6分等价于，即，而，（）max=1，∴．…………8分等价于，即在[1，＋∞）恒成立，而∈（0，1]，．综上，m的取值范围是．………………10分（3）构造，．当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立．………12分当时，．…………14分因为，所以，，所以在恒成立．故在上单调递增，，只要，解得．故的取值范围是．………16分20．（本小题16分）已知等差数列的首项为a，公差为b，等比数列的首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且．（1）求a的值；（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求b的值；（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知，得．由，得．因a，b都为大于1的正整数，故a≥2．又，故b≥3．…………2分再由，得 ．由，故，即．由b≥3，故，解得．………4分于是，根据，可得．…………………6分（2）由，对于任意的，均存在，使得，则．又，由数的整除性，得b是5的约数．故，b=5．所以b=5时，存在正自然数满足题意．…………9分（3）设数列中，成等比数列，由，，得．化简，得．（※）…………11分当时，时，等式（※）成立，而，不成立．…………12分当时，时，等式（※）成立．…………………13分当时，，这与b≥3矛盾．这时等式（※）不成立．…………………14分综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．…………16分B．附加题部分DABCDABCEO·A．选修4－1（几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．解：连接OD，则OD⊥DC．在Rt△OED中，OE=OB=OD，∴∠ODE=30°．………………3分在Rt△ODC中，∠DCO=30°，………………5分由DC=2，则OB=OD=DCtan30°=，……9分所以BC=OC－OB=．…………………10分B．选修4－2（矩阵与变换）将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．解：由题意，得旋转变换矩阵，……3分设上的任意点在变换矩阵M作用下为，，∴………………………7分得．将曲线绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，所得