三角恒等变换 学案-高三数学一轮复习

三角恒等变换第一部分学一题会一法通一类题型1化简求值考点1两角和（差）余弦公式运用——化简求值思维总结：注意余弦公式，展开中的正负号；的结果是（）已知求的值.【变式训练】计算的值为（）若，则.考点2两角和（差）正弦公式运用——化简求值已知均为锐角，求.【变式训练】函数的最小值为（）考点3两角和（差）正切公式运用——化简求值求值：①的值是（）【变式训练】求值：.已知则..已知和是关于的二次方程的两个根，则的关系是.若则的值为（）考点4倍角公式已知为第二象限角，，则（）已知，则的值等于（）若，则的值为。化简：【变式训练】对于函数下列选项中正确的是（）在上递增的的图像关于原点对称的最小正周期为的最大值为若则（）已知函数.求的定义域及最小正周期；已知函数求的值.求的最大值和最小值.已知求的值.求的值.已知向量，且。求和的值；若的最小值为，求的值。考点5化简求值综合应用思维总结：记住三角恒等的公式及其对应变形，注意切割化弦，和1的应用；已知那么的值为（）A．﹣2B．2C．﹣D．若，则的值是（）A．﹣B．C．5D．﹣5【变式训练】已知角在第一象限且则等于（）A．B．C．D．﹣已知，且，则=（）A．B．C．D．（2005•北京）已知，求（1）的值（2）的值．

题型2半角公式已知，则的值等于（）A． B． C． D．已知α为钝角，β为锐角，且，，则的值为（）A．﹣7B．7C．D．已知且，则（）A．B．C．D．【变式训练】已知角α为第二象限角且，则（）A．B．C．D．（）A． B． C． D．若则的值等于（）A．B．或不存在C．2D．2或题型3求值求角考点1给角求值方法发散总结：解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补（互余）关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理进行变形。求值：考点2给值求值方法发散总结：给值求值的关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数的差异，同时也要注意变换待求式子，便于将已知式子求得的函数值代入，从而达到解题的目的。一般来说，主要为角度的拆分。已知，求的值．若，则等于（）A． B． C． D．已知，则（）A．B．C．﹣D．﹣【变式训练】则的值为（）A．B．C．D．已知且，则（）A．B．C．D．﹣已知则（）A．﹣B．C．D．﹣已知则的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣设则的值为（）A．B．C．D．已知且为第三象限角，则的值为（）A．B．C．D．若则（）A．±B．﹣C．﹣D．设都是锐角，且则（）A．B．﹣C．或﹣D．或已知，则。设其中，求.考点3给值求角思维总结：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。在解题过程中尽量使得角的范围。已知（1）求（2）求的大小．已知，（1）求的值；（2）求的值．【变式训练】已知则（）A． B． C． D．已知为锐角，，求的值及的大小．已知分别是方程的两个实根，且求的值．题型4和差化积与积化和差考点1和差化积可化简为()A．B．C．D．已知，则的值为．【变式训练】对任意的实数α、β，下列等式恒成立的是（）A．B．C．D．已知，则的值为．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣①sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣②由①+②得sin（α+β）+sin（α﹣β）=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③令α+β=A，α﹣β=β有，代入③得．（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：；（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）考点2积化和差sineq\f(π,12)coseq\f(5π,12)的值是()A．1－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,4)(2＋eq\r(3))C．eq\f(1,4)(2－eq\r(3)) D．eq\f(1,4)(eq\r(2)－1)已知sin(α＋β)＝eq\f(2,3)，sin(α－β)＝eq\f(1,5)，则sinαcosβ的值是________．设直角三角形中两锐角为A和B，则cosAcosB的取值范围是（）A．（0，] B．（0，1） C．[，1） D．[，1）【变式训练】已知α，β为锐角，且，那么sinαsinβ的取值范围是．关于函数，有下列命题：①此函数可以化为；②函数的最小正周期是，其图象的一个对称中心是；③函数的最小值为，其图象的一条对称轴是；④函数的图象向右平移个单位后得到的函数是偶函数；⑤函数在区间上是减函数．其中所有正确的命题的序号个数是（）A．2B．3C．4D．5题型5三角恒等式证明思维总结：①证明方式一般从左往后，从右往左或两边同时进行；②证明所用知识主要为三角恒等变换的公式；求证．求证：（1）；（2）（cosβ﹣1）2+sin2β=2﹣2cosβ．证明：．证明下列恒等式（1）1+cos2θ+2sin2θ=2（2）．【变式训练】已知∠A、∠B是△ABC的两个内角，向量，其中为相互垂直的单位向量．若，证明：．证明下列三角恒等式：（1）；（2）．证明：．证明下列三角恒等式（1）（2）．求证：（1）（2）．题型6综合问题考点1与三角函数交汇1函数图像及简单性质已知函数为奇函数，且图象上相邻的一个最高点和一个最低点之间的距离为．（1）求函数的解析式；（2）若，为第二象限角，求的值．已知，且（1）求实数的值；（2）求的单调区间．已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）若是第二象限角，，求的值．2求最值（值域）考点①形如或可化为的函数求函数的值域．函数的值域为________．考点②形如或可化为的函数已知函数.（1）求的单调增区间；（2）当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))时，求函数的最大值，最小值．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间内的最大值和最小值．已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最小值．考点③形如的函数求函数的最大值和最小值3恒成立及函数零点已知函数，．（1）若对任意，都有成立，求的取值范围；（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和．【变式训练】已知函数.（1）函数的图象关于点对称，且，求的值；（2），恒有成立，求实数的取值范围．已知函数；（1）求函数的最小正周期；（2）若存在满足，求实数的取值范围；（3）求证：任意的，存在唯一的，使成立．考点2与平面向量交汇已知向量，，．（1）若，求角的大小；（2）若，求的值．已知向量，，，且．（1）求；（2）设向量与的夹角为，求的值．【变式训练】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求的值．已知向量，，，其中．（1）求证：；（2）设函数，求的最大值和最小值．已知向量，，且．（1）求及；（2）求函数的最小值．考点3与三角形及实际问题交汇已知A，B（A＜B）是Rt△ABC的两锐角，若存在一正实数使，是方程的两根．求：（1）的值；（2）的值．如图所示，C，D是两个小区的所在地，C，D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km，DB=2km，AB两地之间的距离为4km（1）如图一所示，某移动公司将在AB之间找一点M，在M处建造一个信号塔，使得M对C，D的张角与M对C，A的张角相等，试确定点M到点A的距离；（2）如图二所示，某公交公司将在AB之间找一点N，在N处建造一个公交站台，使得N对C，D两个小区的视角∠CND最大，试确定点N到点A的距离．【变式练习】已知函数（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积．如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池ABCD内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形APQ，其中P位于边CB上，Q位于边CD上．已知AB=20米，∠PAQ=，设∠PAB=，记，当越大，则污水净化效果越好．（1）求关于的函数解析式，并求定义域；（2）求最大值，并指出等号成立条件？已知△ABC的三个内角A，B，C满足：,，求的值．考点4信息迁移及新定义问