学案曲线与方程

4/4曲线与方程【学习目标】1．通过曲线与方程概念学习，培养数学抽象素养．2．借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升直观想象和逻辑推理素养．3．通过由方程研究曲线的性质，培养直观想象素养．4．借助由曲线求它的方程，提升逻辑推理、数学运算素养．5．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．6．初步学会通过曲线的方程研究曲线的几何性质．【学习重难点】1．掌握求轨迹方程的几种常用方法．（重点、难点）2．理解曲线的方程和方程的曲线的概念．（重点、易混点）【学习过程】一、新知初探1．曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．一个二元方程总可以通过移项写成F（x，y）＝0的形式，其中F（x，y）是关于x，y的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x，y）＝0之间具有如下关系：①曲线C上点的坐标都是方程F（x，y）＝0的解；②以方程F（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，方程F（x，y）＝0叫做曲线的方程；曲线C叫做方程的曲线．2．两条曲线的交点坐标曲线C1：F（x，y）＝0和曲线C2：G（x，y）＝0的交点坐标为方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fx，y＝0，,Gx，y＝0))的实数解．3．解析几何研究的主要问题（1）由曲线求它的方程．（2）利用方程研究曲线的性质．4．求曲线的方程的步骤5．利用曲线的方程研究曲线的对称性及画法（1）由已知曲线的方程讨论曲线的对称性设曲线C的方程为：f（x，y）＝0，一般有如下规律：①如果以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于x轴对称；②如果以－x代替x，方程保持不变，那么曲线关于y轴对称；③如果同时以－x代替x，以－y代替y，方程保持不变，那么曲线关于原点对称．（2）根据曲线的方程画曲线①对于这类问题，往往要把方程进行同解变形．注意方程的附加条件和x，y的取值范围，有时要把它看作y＝f（x）的函数关系，利用作函数图像的方法画出图形．②对于变形过程一定要注意其等价性，否则作出的曲线与方程不符．③注意方程隐含的对称性特征，并充分予以运用，从而减少描点量．二、初试身手1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若以方程f（x，y）＝0的解为坐标的点都在曲线上，则方程f（x，y）＝0，即为曲线C的方程．（）（2）方程x＋y－2＝0是以A（2,0），B（0,2）为端点的线段的方程．（）（3）在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得的曲线方程也不一样．（）（4）求轨迹方程就是求轨迹．（）2．点P（a＋1，a＋4）在曲线y＝x2＋5x＋3上，则a的值为（）A．1或－5 B．－1或－5C．－2或3 D．2或－33．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于原点对称 D．关于直线x－y＝0对称4．平面上有三点A（－2，y），Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C（x，y）若eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，则动点C的轨迹方程为_________．三、合作探究类型1：曲线与方程关系的应用【例1】已知方程x2＋（y－1）2＝10．（1）判断点P（1，－2），Q（eq\r(2)，3）是否在此方程表示的曲线上；（2）若点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－m))在此方程表示的曲线上，求m的值．类型2：由方程研究曲线的性质【例2】已知曲线C的方程是x4＋y2＝1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y＝x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是．类型3：直接法求曲线方程【例3】一个动点到直线x＝8的距离是它到点A（2，0）的距离的2倍，求动点的轨迹方程．类型4：代入法求曲线方程【例4】已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B（3,0）连线的中点为P，求P点的轨迹方程．【学习小结】1．曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．2．点（x0，y0）在曲线C上的充要条件是点（x0，y0）适合曲线C的方程．坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同．3．一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是（x，y），而不要设成（x1，y1）或（x′，y′）等．4．方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f（x，y）＝0化成x，y的整式．如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．5．“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨迹的形状．【精炼反馈】1．若M（1,2）在曲线x2＋ay2＝2上，则a的值为（）A．eq\f(1,4) B．4C．eq\f(1,3) D．32．方程（x2－4）2＋（y2－4）2＝0表示的图形是_________．3．曲线y＝eq\r(1－x