小波分析课件

1.1

小波(Wavelet)小波就是空间L2(R)中满足下述条件的函数或者信号:这时，也称为小波母函数，(2)称为容许性条件。（1）（2）1.1小波(Wavelet)小波就是空间L2(R)中满1连续小波函数：为由小波母函数生成的依赖于参数（a,b）的连续小波，简称为小波。

（3）连续小波函数：为由小波母函数生成的依赖于参数2注释注释：如果小波母函数的Fourier

变换在原点是连续的，那么公式(2)说明，于是这说明函数有波动的特点，公式(1)又说明函数有衰减的特点，因此，称函数为“小波”。

注释注释：如果小波母函数的Fourier于31.2

小波变换(WaveletTransform)对于任意的函数或者信号，其小波变换为（4）1.2小波变换(WaveletTransform)对于任4性质这样定义的小波变换具有下列性质：Plancherel恒等式：小波变换的逆变换公式：（5）（6）性质这样定义的小波变换具有下列性质：Plancherel恒等5性质吸收公式：当吸收条件成立时，有吸收的Plancherel恒等式（7）（8）性质吸收公式：当吸收条件成立时，有吸收的Planchere6性质吸收的逆变换公式（9）性质吸收的逆变换公式（9）71.3.二进小波和二进小波变换

(DyadicWaveletTransform)

如果小波函数满足稳定性条件

(10)则称为二进小波，对于任意的整数k,记(11)1.3.二进小波和二进小波变换

(DyadicWavele8逆变换对于任意的，其二进小波变换为：

这时，逆变换公式是

（12）（13）逆变换对于任意的，9重构小波其中的Fourier变换满足称为二进小波的重构小波，比如可取：

（14）（15）重构小波其中的Fourier变换满足称为10设小波为，对于任意的整数k和j，记1.4.正交小波和小波级数

(OrthonormalWavelet)

构成空间的标准正交基，则称是正交小波。

如果函数族(16)(17)设小波为，对于任意的整数k和j，记1.11小波级数这时，逆变换公式就是小波级数(18)

其中小波系数的算法是(19)小波级数这时，逆变换公式就是小波级数12连续和离散统一上的取值，因此，小波系数实际上是信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是小波变换迷人的风采之一：

小波系数是信号f(x)的小波变换在二进离散点(20)连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换都适合全体信号；

连续和离散统一上的取值，因此，小波系数实际上是13§2.小波分析和时-频分析

(Time-FrequencyAnalysis)2.1窗口Fourier变换和Gabor变换(WindowedFourierTransformandGaborTransform)

D.Gabor在1946年开创时-频分析的先河提出GaborTransform一般的时-频分析是WindowedFourierTransformShort-TimeFourierTransform§2.小波分析和时-频分析

(Time-Frequenc14WindowedFourierTransform称为信号的窗口Fourier变换，其中的函数称为窗口函数，一般要求是：具体地(21)WindowedFourierTransform称为信号15GaborTransformD.Gabor取(22)是Gaussian函数，对应的变换称为Gabor变换(1946)。对于Gabor变换，存在如下的频率再分割公式：(23)GaborTransformD.Gabor取(22)是Ga16物理解释Gabor变换是信号在x=x0点“附近”的频率为的频率成分；只要把信号在各个时间点“附近”的频率为的频率成分全部累加起来，理所当然就应该是这个信号的频率为的频率成分；Gabor变换可以认为是信号f(x)的另一种等价描述(因为Fourier变换是信号的等价描述)物理解释Gabor变换17局限Gabor变换没有“好”的（即可以构成标架或者正交基）离散形式；Gabor变换没有快速算法：比如没有类似于离散Fourier变换之FFT的快速数值算法；

遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：局限Gabor变换没有“好”的（即可以构成标架或者正交基）离18

AppendixAFig.1.

Gabor变换的固定时-频窗口t00t1t1AppendixAFig.1.

Gabor变换的固定192.2.时-频分析

(Time-FrequencyAnalysis）时-频分析本质上是信号描述、分析和处理的一种方法，它给信号的“最优描述问题”提供一种解决方案。R.Balian(1981)早在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在通讯理论中，人们对于在给定的时间内，把一个信号表示成“每一个都同时具有足够确定的位置及频率的谐波”的叠加这种信号的描述方法极感兴趣

2.2.时-频分析

(Time-FrequencyAn20最优描述问题有用的信息总是同时被所发射信号的频率特性与信号的时间结构所传递，最好的例子是演奏音乐；把信号表成时间的函数其频率特征无法突出，而Fourier分析又无法标定各个分量发射的瞬时位置和持续时间；“最优描述”应该综合这两种描述的优点，并用一个离散的刻画来表示，以适应信息理论和计算机处理的需要。

最优描述问题有用的信息总是同时被所发射信号的频率特性与信号的21Wigner分布函数Wigner分布函数是信号时-频分析的另一种具体的解决途径。信号f(x)的Wigner分布函数是著名理论物理学家E.P.Wigner在1932年提出来的，定义是：(24)

显然，这是一个实的二元函数。Wigner分布函数Wigner分布函数是信号时-频分析的另22性质Wigner分布函数有如下性质：(25)(26)(27)性质Wigner分布函数有如下性质：(25)(26)(27)23Wigner分布函数的物理意义Wigner分布函数的Plancherel恒等式成立；Wigner分布函数标明信号的瞬时频率的位置；Wigner分布函数标明信号的瞬时位置的频率。在能量的意义下，Wigner分布函数的物理意义是：Wigner分布函数的物理意义在能量的意义下，Wigner分24Wigner分布函数理论的局限Wigner分布函数的三个局限：

Wigner分布函数只记忆信号的部分信息；Wigner分布函数没有有效的重建算法；Wigner分布函数的“瞬时”是渐近意义的。

Wigner分布函数理论的局限Wigner分布函数的三个局限252.3.

小波的时-频分析

(Wavelet’sTime-FrequencyAnalysis)

小波变换是一种时-频描述，它的信息记忆是完全的，是一种等价的变换描述，具有独特的时—频分析性质。引入记号：

(28)中心半径(29)2.3.小波的时-频分析

(Wavelet’sTime-26对于，如果满足条件:窗口函数及说明则称之为窗口函数，和分别称为它的时间中心和时间半径，而和分别称为它的谱中心和谱半径。

说明：中心和半径是下述分布的期望和均方差对于，如果满足条27小波的时-频中心与半径2.3.2.小波的时-频半径2.3.1.小波的时-频中心（29）（30）小波的时-频中心与半径2.3.2.小波的时-频半径2.3.282.3.3.小波的时-频窗

(32)2.3.3.小波的时-频窗(32)29AppendixBFig.2.

小波在时-频相平面上的窗t00t12t1AppendixBFig.2.

小波在时-频相平面上的窗302.3.4.小波的时-频特性小波时-频窗的面积恒等于；小波的时-频窗是时-频相平面中的可变的矩形；小波时-频窗的变化规律：

（1）尺度参数a增大时，小波的时窗变宽，同时，它的主频变低，频窗变窄；（2）尺度参数a减小时，小波的时窗变窄，同时，它的主频变高，频窗变宽；

2.3.4.小波的时-频特性小波时-频窗的面积恒等于31小波的频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率(33)

主频变低时，频窗变窄，频率分辨率提高；主频变高时，频窗变宽，频率分辨率降低；高频时出现较低的频率分辨率（难题！）。

小波的频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率32小波的频带特性

(1)小波变换处理频域的方式完全不同于经典的Fourier变换，任何小波本质上都是以频带的形式出现在频域中，这样避免了许多理论和计算上的麻烦；(2)二进小波频域划分的特色：将参数a按二进方式离散化为选择二进小波满足小波的频带特性(1)小波变换处理频域的方式完全不同于经典的33二进小波的主频是二进小波的分频特性

(34)所在的频带是当k取遍全体整数时，这些频带正好分离覆盖正频轴，即这就是著名的二进小波频带划分技术。二进小波342.4.正交小波的时-频分析

OrthonormalWavelet’sTime-FrequencyAnalysis对于正交小波，(35)

其中系数是是一个标准正交基，所以，对于任何信号f(X)，可以展开成小波级数：

(36)2.4.正交小波的时-频分析

OrthonormalW35正交小波的吸收谱由小波变换的定义可知，正交小波级数的系数正好是信号f(x)的小波变换在二进离散点：(37)上的取值。这说明：对于正交小波来说，任何信号在二进离散点上的小波变换包含了它的小波变换的全部信息，所以正交小波具有优美的谱吸收特点。正交小波的吸收谱由小波变换的定义可知，正交小波级数的系数36小波变换与Fourier变换Fourier变换：对于任何信号f(x)，只有当它是时间有限时，它的谱F()(Fourier变换)才是频率吸收的；反过来，只有当它是频域有限时，f(x)才是时间吸收的;小波变换:对于正交小波分析来说，任何信号的正交小波谱都是谱吸收的，即二维小波谱所包含的信息完全被二进离散点上的谱吸收。小波变换与Fourier变换Fourier变换：小波变换:37一点评论正交小波变换谱的完全吸收性为小波变换的理论分析、数值计算和各种应用提供了极大的方便。同时，这些离散的小波谱点，本质上意味着时-频分析中频谱分析的频带（统计意义下的区间），因此，小波分析成功地实现了人们梦寐以求的“频带信息的点处理方式”；在(a,b)-W(a,b)给出的二维小波谱空间，二进离散小波谱点的分布规律可以用AppendixCFig.3.

加以说明。

一点评论正交小波变换谱的完全吸收性为小波变换的理论分析、数值38AppendixCFig.3.

正交小波的点谱吸收特性0123456789101112131415012345670123010AppendixCFig.3.

正交小波的点谱吸收特性039§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWaveletandMultiresolutionAnalysis)多分辨分析：上的一列闭的线性子空间和一个函数共同称为一个多分辨分析，如果它们满足如下的五个要求：3.1.多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWa40多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸缩性公理：(39)(40)(41)5.构造性公理：(42)生成V0的标准正交基。其中的函数称为尺度函数(ScaleFunction)。1.单调性公理：(38)多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸缩性公理：(41图像的多分辨分析多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)方法，在计算机科学和信号处理中，特别是在图像分析中，通常称为多尺度分析方法(MultiscaleAnalysis)

，在小波分析建立之前就已经得到了一些理论研究和应用，这推动了小波变换理论的产生和完善。实际上，信号f(x)在子空间Vk上的正交投影fk(x)是图像的多分辨分析多分辨分析(Multiresolution42图像的多分辨分析（续）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在一定的分辨率之下的模糊象，公式(40)说明，当分辨率足够高时，模糊象和原象重合，即

因此，对fk(x)的分析实际是对原象的多种分辨率的分析。多分辨分析的困难在于如何从低分辨率的模糊象有效地添加恰当的细节，得到正确的高分辨率下的模糊象。这些问题的研究都属于多分辨分析的范围。

图像的多分辨分析（续）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在433.2.

小波构造

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)称之为尺度方程。系数列叫低通滤波系数。

如果和函数是一个多分辨分析，那么，必然存在一列系数，使得(43)3.2.小波构造

(Y.MeyerandS.Mall44构造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)令，并构造(44)

是L2(R)的标准正交基则有如下结论:(45)

是Vk在Vk+1中的正交补构造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1945构造定理的延伸结果(46)(47)(49)

(48)构造定理的延伸结果(46)(47)(49)(48)46§4.多分辨分析和金字塔算法

(MultiresolutionAnalysisandPyramidAlgorithms)4.0.记号（Notation）：分别表示信号的趋势和波动或者模糊象和细节(50)§4.多分辨分析和金字塔算法

(Multiresolut474.1.小波分解算法

(DecompositionAlgorithmsofWavelet)(51)4.1.小波分解算法

(DecompositionAl484.2.小波重建算法

(ReconstructionAlgorithmsofWavelet)(52)

4.2.小波重建算法

(ReconstructionA494.3.金字塔算法

(PyramidAlgorithms)(53)

引入记号:它们的几何意义分别是原信号在子空间Vk和WK上的正交投影，且它们是相互正交的。由多分辨分析的意义可得

(54)4.3.金字塔算法

(PyramidAlgorith504.3.1.分解金字塔算法

(DecompositionPyramidAlgorithms)信号的分解(DecompositionofSignal)

4.3.1.分解金字塔算法

(Decomposition51空间的分解空间的分解(DecompositionofTheSubspace)

空间的分解空间的分解52系数的分解系数的分解(DecompositionofTheCoefficients)

系数的分解系数的分解534.3.2.重建金字塔算法

(ReconstructionPyramidAlgorithms)信号的重建(ReconstructionofSignal)

4.3.2.重建金字塔算法

(Reconstruction54空间的重建空间的重建(ReconstructionofSubspace)

空间的重建空间的重建55系数的重建

系数的重建(ReconstructionofTheCoeffients)系数的重建

系数的重建56信号的小波分解和合成算法信号的小波分解和合成算法57有限数字信号的高低通滤波器有限数字信号的高低通滤波器58矩阵分解算法矩阵分解算法59矩阵合成算法矩阵合成算法60有限数字信号的小波变换编码有限数字信号的小波变换编码61数字信号小波编码数据量关系数字信号小波编码数据量关系62小波应用基本模式小波应用基本模式63数字图像二维小波编码数字图像二维小波编码64数字图像二维小波重建数字图像二维小波重建65数字图像的矩阵小波变换数字图像的矩阵小波变换66§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

（R.CoifmanandY.Meyer1991)5.1Malvar小波(H.S.Malvar1987)

选择窗口函数满足如下要求：

时时§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

67Malvar小波基构造Malvar小波基是函数族

(55)Malvar小波基构造Malvar小波基是函数族(55)68说明容易验证，上述函数族构成L2(R)的标准正交基。一般称这个函数族的小波为Malvar小波。Malvar小波和离散余弦变换(DCT)、离散正弦变换(DST)有许多相似之处，根本的差别在于，Malvar小波是真正局部化了的离散余弦变换和离散正弦变换分析，同时，它还具有变换结果的递推数值算法。

说明容易验证，上述函数族构成L2(R)的标准正交基。一般称这69让人们惊奇的是，物理学家K.Wilson和数学家I.Daubechies也得到了极其相似的结果。但是，他们两人和Malvar的工作之间并没有必然的逻辑的关系。K.Wilson的想法是，对于实数轴的长度是2的等长划分，按照各个区间的奇偶变化，分别轮番使用离散余弦变换和离散正弦变换进行信号分析；I.Daubechies的想法是，不仅如此，而且必须加以局部化，局部化因子是同一个函数的2倍整数平移，只不过要求函数和它的Fourier变换都是指数衰减的并使得前述函数族构成的标准正交基。让人们惊奇的是，物理学家K.Wilson和数学家I.Daub705.2Malvar小波

(R.CoifmanandY.Meyer1991)

选择和并构造窗口函数列满足:

5.2Malvar小波

(R.Coifmanand71窗函数的构造实际上，函数本质上是区间的特征函数的光滑化

窗函数的构造实际上，函数本质上是区间72AppendixDFig.4.

窗函数的形状示意图Ak-1AkAk+1Ak+kAk-kAk+1-k+1k(t)k-1(t)AppendixDFig.4.

窗函数的形状示意图Ak-73第一类Malvar小波基第一类Malvar小波为：(56)

第一类Malvar小波基第一类Malvar小波为：(56)74第二类Malvar小波基第二类Malvar小波基为(57)

第二类Malvar小波基第二类Malvar小波基为(57)75§6.小波包(WaveletPackets)

(R.CoifmanandY.MeyerandM.V.Wickerhauser1992)

设和是一个多分辨分析且(43)和(44)成立。记6.1正交小波包(OrthonormalWaveletPackets)§6.小波包(WaveletPackets)

(R.C76正交小波包的定义递推定义的函数族(58)(59)k是整数，m是自然数。称之为小波包。引入记号正交小波包的定义递推定义的函数族(58)(59)k是整数，m77正交小波包定理正交小波包定理(CoifmanandMeyerandWickerhauser92’)空间构造是的标准正交基空间关系

(60)特殊空间关系正交小波包定理正交小波包定理78正交小波包的空间分割小波包实现小波空间的再分割正交小波包的空间分割小波包实现小波空间的再分割796.2．小波包和时-频分析

(WaveletPacketsand

itsTime-FrequencyAnalysis)利用正交小波的构造定理可知，子空间Wk是Vk在Vk+1中的正交补：

同时，根据小波的时-频分析特性，可得下列关系:

6.2．小波包和时-频分析

(WaveletPackets80正交小波实现有限频带的二进分割正交小波实现有限频带的二进分割81正交小波实现全频域的二进分割正交小波实现全频域的二进分割82正交小波包对二进频带的等分割（62）正交小波包对二进频带的等分割（62）83AppendixEFig.5.

小波包的完全频带分割特性0123456789101112131415012345670123010AppendixEFig.5.

小波包的完全频带分割特性84小波包的Mallat算法数字信号的小波包分解小波包的Mallat算法数字信号的小波包分解85数字信号的小波包分解数字信号的小波包分解86数字图像的小波包分解数字图像的小波包分解87AppendixFFig.6.

图片的小波包分解示意图AppendixFFig.6.

图片的小波包分解示意图88§7.总结和展望将前述小波工具归纳如下：

连续小波变换分析法二进小波变换分析法;正交小波变换分析法;Malvar类小波分析法;小波包频域再分割法。§7.总结和展望将前述小波工具归纳如下：连续小波变换分89最后的几点说明（一）1.上述工具中，前三种即连续、二进和正交小波分析，从分析和处理问题的过程来看，与Fourier分析颇为相似，不过在某些方面更加优越，比如，正交小波本身具备的多分辨率分析的含义以及连续频带“点”吸收的二进离散化技巧等等但因为它与Fourier分析比较相似，所以在应用中使用得就比后面的两种方法要多得多；

最后的几点说明（一）1.上述工具中，前三种即连续、二进和正交902.Malvar类小波分析完全有别于经典的Fourier分析，真正实现严格意义下的局部化，而且，频率也是严格意义下的Fourier频率或经典的线性频率，同时，它还具有快速的递推算法。从理论上突破了统计局部化以及时-频分析的非线性频率含义，数值计算的快速算法又奠定了数字信号处理的计算基础。因此，Malvar类小波分析为数字信号的分析和处理提供了崭新的分析工具,特别是在信号的最优描述的搜索算法方面，Malvar小波分析提供了最优算法；最后的几点说明（二）2.Malvar类小波分析完全有别于经典的Fourier913.小波包工具可以认为是小波分析独创地为科学研究和工程技术应用研究提供的让人颇感意外的新鲜工具，它那种统计意义下和严格意义下的频域再分割的巧妙思想和优美的递推计算方法，让人们几乎不敢相信

同时，理解和使用起来也更加困难。这正是小波包分析现在使用得比较少的主要原因。

完最后的几点说明（三）3.小波包工具可以认为是小波分析独创地为科学研究和工程技术921.1

小波(Wavelet)小波就是空间L2(R)中满足下述条件的函数或者信号:这时，也称为小波母函数，(2)称为容许性条件。（1）（2）1.1小波(Wavelet)小波就是空间L2(R)中满93连续小波函数：为由小波母函数生成的依赖于参数（a,b）的连续小波，简称为小波。

（3）连续小波函数：为由小波母函数生成的依赖于参数94注释注释：如果小波母函数的Fourier

变换在原点是连续的，那么公式(2)说明，于是这说明函数有波动的特点，公式(1)又说明函数有衰减的特点，因此，称函数为“小波”。

注释注释：如果小波母函数的Fourier于951.2

小波变换(WaveletTransform)对于任意的函数或者信号，其小波变换为（4）1.2小波变换(WaveletTransform)对于任96性质这样定义的小波变换具有下列性质：Plancherel恒等式：小波变换的逆变换公式：（5）（6）性质这样定义的小波变换具有下列性质：Plancherel恒等97性质吸收公式：当吸收条件成立时，有吸收的Plancherel恒等式（7）（8）性质吸收公式：当吸收条件成立时，有吸收的Planchere98性质吸收的逆变换公式（9）性质吸收的逆变换公式（9）991.3.二进小波和二进小波变换

(DyadicWaveletTransform)

如果小波函数满足稳定性条件

(10)则称为二进小波，对于任意的整数k,记(11)1.3.二进小波和二进小波变换

(DyadicWavele100逆变换对于任意的，其二进小波变换为：

这时，逆变换公式是

（12）（13）逆变换对于任意的，101重构小波其中的Fourier变换满足称为二进小波的重构小波，比如可取：

（14）（15）重构小波其中的Fourier变换满足称为102设小波为，对于任意的整数k和j，记1.4.正交小波和小波级数

(OrthonormalWavelet)

构成空间的标准正交基，则称是正交小波。

如果函数族(16)(17)设小波为，对于任意的整数k和j，记1.103小波级数这时，逆变换公式就是小波级数(18)

其中小波系数的算法是(19)小波级数这时，逆变换公式就是小波级数104连续和离散统一上的取值，因此，小波系数实际上是信号f(x)的离散小波变换。其实，这也是小波变换迷人的风采之一：

小波系数是信号f(x)的小波变换在二进离散点(20)连续变换和离散变换形式统一；连续变换和离散变换都适合全体信号；

连续和离散统一上的取值，因此，小波系数实际上是105§2.小波分析和时-频分析

(Time-FrequencyAnalysis)2.1窗口Fourier变换和Gabor变换(WindowedFourierTransformandGaborTransform)

D.Gabor在1946年开创时-频分析的先河提出GaborTransform一般的时-频分析是WindowedFourierTransformShort-TimeFourierTransform§2.小波分析和时-频分析

(Time-Frequenc106WindowedFourierTransform称为信号的窗口Fourier变换，其中的函数称为窗口函数，一般要求是：具体地(21)WindowedFourierTransform称为信号107GaborTransformD.Gabor取(22)是Gaussian函数，对应的变换称为Gabor变换(1946)。对于Gabor变换，存在如下的频率再分割公式：(23)GaborTransformD.Gabor取(22)是Ga108物理解释Gabor变换是信号在x=x0点“附近”的频率为的频率成分；只要把信号在各个时间点“附近”的频率为的频率成分全部累加起来，理所当然就应该是这个信号的频率为的频率成分；Gabor变换可以认为是信号f(x)的另一种等价描述(因为Fourier变换是信号的等价描述)物理解释Gabor变换109局限Gabor变换没有“好”的（即可以构成标架或者正交基）离散形式；Gabor变换没有快速算法：比如没有类似于离散Fourier变换之FFT的快速数值算法；

遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：局限Gabor变换没有“好”的（即可以构成标架或者正交基）离110

AppendixAFig.1.

Gabor变换的固定时-频窗口t00t1t1AppendixAFig.1.

Gabor变换的固定1112.2.时-频分析

(Time-FrequencyAnalysis）时-频分析本质上是信号描述、分析和处理的一种方法，它给信号的“最优描述问题”提供一种解决方案。R.Balian(1981)早在八十年代就清清楚楚地描述了这个问题：在通讯理论中，人们对于在给定的时间内，把一个信号表示成“每一个都同时具有足够确定的位置及频率的谐波”的叠加这种信号的描述方法极感兴趣

2.2.时-频分析

(Time-FrequencyAn112最优描述问题有用的信息总是同时被所发射信号的频率特性与信号的时间结构所传递，最好的例子是演奏音乐；把信号表成时间的函数其频率特征无法突出，而Fourier分析又无法标定各个分量发射的瞬时位置和持续时间；“最优描述”应该综合这两种描述的优点，并用一个离散的刻画来表示，以适应信息理论和计算机处理的需要。

最优描述问题有用的信息总是同时被所发射信号的频率特性与信号的113Wigner分布函数Wigner分布函数是信号时-频分析的另一种具体的解决途径。信号f(x)的Wigner分布函数是著名理论物理学家E.P.Wigner在1932年提出来的，定义是：(24)

显然，这是一个实的二元函数。Wigner分布函数Wigner分布函数是信号时-频分析的另114性质Wigner分布函数有如下性质：(25)(26)(27)性质Wigner分布函数有如下性质：(25)(26)(27)115Wigner分布函数的物理意义Wigner分布函数的Plancherel恒等式成立；Wigner分布函数标明信号的瞬时频率的位置；Wigner分布函数标明信号的瞬时位置的频率。在能量的意义下，Wigner分布函数的物理意义是：Wigner分布函数的物理意义在能量的意义下，Wigner分116Wigner分布函数理论的局限Wigner分布函数的三个局限：

Wigner分布函数只记忆信号的部分信息；Wigner分布函数没有有效的重建算法；Wigner分布函数的“瞬时”是渐近意义的。

Wigner分布函数理论的局限Wigner分布函数的三个局限1172.3.

小波的时-频分析

(Wavelet’sTime-FrequencyAnalysis)

小波变换是一种时-频描述，它的信息记忆是完全的，是一种等价的变换描述，具有独特的时—频分析性质。引入记号：

(28)中心半径(29)2.3.小波的时-频分析

(Wavelet’sTime-118对于，如果满足条件:窗口函数及说明则称之为窗口函数，和分别称为它的时间中心和时间半径，而和分别称为它的谱中心和谱半径。

说明：中心和半径是下述分布的期望和均方差对于，如果满足条119小波的时-频中心与半径2.3.2.小波的时-频半径2.3.1.小波的时-频中心（29）（30）小波的时-频中心与半径2.3.2.小波的时-频半径2.3.1202.3.3.小波的时-频窗

(32)2.3.3.小波的时-频窗(32)121AppendixBFig.2.

小波在时-频相平面上的窗t00t12t1AppendixBFig.2.

小波在时-频相平面上的窗1222.3.4.小波的时-频特性小波时-频窗的面积恒等于；小波的时-频窗是时-频相平面中的可变的矩形；小波时-频窗的变化规律：

（1）尺度参数a增大时，小波的时窗变宽，同时，它的主频变低，频窗变窄；（2）尺度参数a减小时，小波的时窗变窄，同时，它的主频变高，频窗变宽；

2.3.4.小波的时-频特性小波时-频窗的面积恒等于123小波的频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率(33)

主频变低时，频窗变窄，频率分辨率提高；主频变高时，频窗变宽，频率分辨率降低；高频时出现较低的频率分辨率（难题！）。

小波的频率分辨率小波分析具有固定的相对频率分辨率124小波的频带特性

(1)小波变换处理频域的方式完全不同于经典的Fourier变换，任何小波本质上都是以频带的形式出现在频域中，这样避免了许多理论和计算上的麻烦；(2)二进小波频域划分的特色：将参数a按二进方式离散化为选择二进小波满足小波的频带特性(1)小波变换处理频域的方式完全不同于经典的125二进小波的主频是二进小波的分频特性

(34)所在的频带是当k取遍全体整数时，这些频带正好分离覆盖正频轴，即这就是著名的二进小波频带划分技术。二进小波1262.4.正交小波的时-频分析

OrthonormalWavelet’sTime-FrequencyAnalysis对于正交小波，(35)

其中系数是是一个标准正交基，所以，对于任何信号f(X)，可以展开成小波级数：

(36)2.4.正交小波的时-频分析

OrthonormalW127正交小波的吸收谱由小波变换的定义可知，正交小波级数的系数正好是信号f(x)的小波变换在二进离散点：(37)上的取值。这说明：对于正交小波来说，任何信号在二进离散点上的小波变换包含了它的小波变换的全部信息，所以正交小波具有优美的谱吸收特点。正交小波的吸收谱由小波变换的定义可知，正交小波级数的系数128小波变换与Fourier变换Fourier变换：对于任何信号f(x)，只有当它是时间有限时，它的谱F()(Fourier变换)才是频率吸收的；反过来，只有当它是频域有限时，f(x)才是时间吸收的;小波变换:对于正交小波分析来说，任何信号的正交小波谱都是谱吸收的，即二维小波谱所包含的信息完全被二进离散点上的谱吸收。小波变换与Fourier变换Fourier变换：小波变换:129一点评论正交小波变换谱的完全吸收性为小波变换的理论分析、数值计算和各种应用提供了极大的方便。同时，这些离散的小波谱点，本质上意味着时-频分析中频谱分析的频带（统计意义下的区间），因此，小波分析成功地实现了人们梦寐以求的“频带信息的点处理方式”；在(a,b)-W(a,b)给出的二维小波谱空间，二进离散小波谱点的分布规律可以用AppendixCFig.3.

加以说明。

一点评论正交小波变换谱的完全吸收性为小波变换的理论分析、数值130AppendixCFig.3.

正交小波的点谱吸收特性0123456789101112131415012345670123010AppendixCFig.3.

正交小波的点谱吸收特性0131§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWaveletandMultiresolutionAnalysis)多分辨分析：上的一列闭的线性子空间和一个函数共同称为一个多分辨分析，如果它们满足如下的五个要求：3.1.多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)§3.正交小波和多分辨分析

(OrthonormalWa132多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸缩性公理：(39)(40)(41)5.构造性公理：(42)生成V0的标准正交基。其中的函数称为尺度函数(ScaleFunction)。1.单调性公理：(38)多分辨分析2.唯一性公理：3.稠密性公理：4.伸缩性公理：(133图像的多分辨分析多分辨分析(MultiresolutionAnalysis)方法，在计算机科学和信号处理中，特别是在图像分析中，通常称为多尺度分析方法(MultiscaleAnalysis)

，在小波分析建立之前就已经得到了一些理论研究和应用，这推动了小波变换理论的产生和完善。实际上，信号f(x)在子空间Vk上的正交投影fk(x)是图像的多分辨分析多分辨分析(Multiresolution134图像的多分辨分析（续）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在一定的分辨率之下的模糊象，公式(40)说明，当分辨率足够高时，模糊象和原象重合，即

因此，对fk(x)的分析实际是对原象的多种分辨率的分析。多分辨分析的困难在于如何从低分辨率的模糊象有效地添加恰当的细节，得到正确的高分辨率下的模糊象。这些问题的研究都属于多分辨分析的范围。

图像的多分辨分析（续）正交投影fk(x)正好是原象f(x)在1353.2.

小波构造

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)称之为尺度方程。系数列叫低通滤波系数。

如果和函数是一个多分辨分析，那么，必然存在一列系数，使得(43)3.2.小波构造

(Y.MeyerandS.Mall136构造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,1988)令，并构造(44)

是L2(R)的标准正交基则有如下结论:(45)

是Vk在Vk+1中的正交补构造定理

(Y.MeyerandS.Mallat,19137构造定理的延伸结果(46)(47)(49)

(48)构造定理的延伸结果(46)(47)(49)(48)138§4.多分辨分析和金字塔算法

(MultiresolutionAnalysisandPyramidAlgorithms)4.0.记号（Notation）：分别表示信号的趋势和波动或者模糊象和细节(50)§4.多分辨分析和金字塔算法

(Multiresolut1394.1.小波分解算法

(DecompositionAlgorithmsofWavelet)(51)4.1.小波分解算法

(DecompositionAl1404.2.小波重建算法

(ReconstructionAlgorithmsofWavelet)(52)

4.2.小波重建算法

(ReconstructionA1414.3.金字塔算法

(PyramidAlgorithms)(53)

引入记号:它们的几何意义分别是原信号在子空间Vk和WK上的正交投影，且它们是相互正交的。由多分辨分析的意义可得

(54)4.3.金字塔算法

(PyramidAlgorith1424.3.1.分解金字塔算法

(DecompositionPyramidAlgorithms)信号的分解(DecompositionofSignal)

4.3.1.分解金字塔算法

(Decomposition143空间的分解空间的分解(DecompositionofTheSubspace)

空间的分解空间的分解144系数的分解系数的分解(DecompositionofTheCoefficients)

系数的分解系数的分解1454.3.2.重建金字塔算法

(ReconstructionPyramidAlgorithms)信号的重建(ReconstructionofSignal)

4.3.2.重建金字塔算法

(Reconstruction146空间的重建空间的重建(ReconstructionofSubspace)

空间的重建空间的重建147系数的重建

系数的重建(ReconstructionofTheCoeffients)系数的重建

系数的重建148信号的小波分解和合成算法信号的小波分解和合成算法149有限数字信号的高低通滤波器有限数字信号的高低通滤波器150矩阵分解算法矩阵分解算法151矩阵合成算法矩阵合成算法152有限数字信号的小波变换编码有限数字信号的小波变换编码153数字信号小波编码数据量关系数字信号小波编码数据量关系154小波应用基本模式小波应用基本模式155数字图像二维小波编码数字图像二维小波编码156数字图像二维小波重建数字图像二维小波重建157数字图像的矩阵小波变换数字图像的矩阵小波变换158§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

（R.CoifmanandY.Meyer1991)5.1Malvar小波(H.S.Malvar1987)

选择窗口函数满足如下要求：

时时§5.Malvar小波

(H.S.Malvar1987）

159Malvar小波基构造Malvar小波基是函数族

(55)Malvar小波基构造Malvar小波基是函数族(55)160说明容易验证，上述函数族构成L2(R)的标准正交基。一般称这个函数族的小波为Malvar小波。Malvar小波和离散余弦变换(DCT)、离散正弦变换(DST)有许多相似之处，根本的差别在于，Malvar小波是真正局部化了的离散余弦变换和离散正弦变换分析，同时，它还具有变换结果的递推数值算法。

说明容易验证，上述函数族构成L2(R)的标准正交基。一般称这161让人们惊奇的是，物理学家K.Wilson和数学家I.Daubechies也得到了极其相似的结果。但是，他们两人和Malvar的工作之间并没有必然的逻辑的关系。K.Wilson的想法是，对于实数轴的长度是2的等长划分，按照各个区间的奇偶变化，分别轮番使用离散余弦变换和离散正弦变换进行信号分析；I.Daubechies的想法是，不仅如此，而且必须加以局部化，局部化因子是同一个函数的2倍整数平移，只不过要求函数和它的Fourier变换都是指数衰减的并使得前述函数族构成的标准正交基。让人们惊奇的是，物理学家K.Wilson和数学家I.Daub1625.2Malvar小波

(R.CoifmanandY.Meyer1991)

选择和并构造窗口