大学物理质点运动学课件

第一篇力学(Mechanics)1第一篇(Mechanics)1第1章质点运动学(Kinematicsofparticle)描述物体的运动状态运动方程经典力学的时空观参考系物理模型物理量相对运动2第1章质点运动学(Kinematicsofpartic牛顿力学的时空观时间与空间：机械运动发生于时间之中，理论力学中采用的理想时空模型是最简单的模型——假设存在绝对空间和绝对时间。绝对空间是三维均匀各向同性的固定不动的欧几里得空间。绝对时间是大小连续变化的，方向是从过去到未来。在空间的所有点，时间都是均匀的、单值的，不依赖于点的运动的。3牛顿力学的时空观时间与空间：机械运动发生于时间之中，理论力学§1.0矢量一.矢量的表示法axaxayazyzoa4§1.0矢量一.矢量的表示法axaxayazyzoa4二.矢量的加、减法aba+b三角形法aba-bab+=？多边形法aca+b+cbbac=?-ab=？5二.矢量的加、减法aba+b三角形法aba-bab+=？三.标量积(点积、数量积、内积)6三.标量积(点积、数量积、内积)6

积C的方向垂直于矢量a和b组成的平面，指向由右手螺旋法则确定。四.矢量积(向量积、叉积、外积)bacc7积C的方向垂直于矢量a和b组成的平面，指向

1.矢量函数的微商与标量函数的微商不同：

矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函数A(t)的微商limt0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有当t0时，A的极限方向，才是的方向。特别是,当A的大小不变而只是方向改变时,就时刻保持与A垂直。81.矢量函数的微商与标量函数的微商不同：五由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以就是普通函数的微商。

3.

在直角坐标系中,考虑到是常量,有9由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动的描述是相对的。一.运动的绝对性和相对性§1.1参考系和坐标系10运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。一.运动坐地日行八万里

巡天遥看一千河运动的绝对性和静止的相对性统一——《送瘟神》11坐地日行八万里

巡天遥看一千河运动的绝对性和静止的相对性统一在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系。为了作定量描述，还要取一个固定在参考系中的坐标系。

坐标系是参考系的代表和抽象。二.参考系坐标系常用的坐标系:直角坐标系自然坐标系极坐标系mS.12在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系。二.§1-2典型机械运动及理想模型质点—在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的物体。刚体—运动中形状和大小都保持不变的物体。谐振动

—弹性回复力F=kx

13§1-2典型机械运动及理想模型质点—在所研究的问§1.3描述质点运动的物理量！一.位置矢量描述质点在空间位置的矢量r=xi+yj+zkoxyzP(x,y,z)xyzABCr

位置矢量，简称位矢或矢径。

从坐标原点o指向P点的有向线段op=r

r质点P到原点o的距离cos2+cos2+cos2=114§1.3描述质点运动的物理量！一.位置矢量描述质点在它们都叫做质点的运动方程。质点经过的空间各点联成的曲线的方程，称为轨道方程。运动方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t

x2+y2=62轨道方程。二.运动方程和轨道方程

15它们都叫做质点的运动方程。运动方程例：x=6cos2

(1)位移是位置矢量r

在时间t内的增量:三.位移和路程而A到B的路径长度S,称为路程。Sr(t)rA(t)zyoxB(t+t)

称为质点在时间t内的位移。r(t+t)

从起点A到终点B的有向线段AB=r

16(1)位移是位置矢量r在时间t内的增量:三.位t1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移17t1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移17位移=AC路程=AB+BCAB只有当t→0时,才有

|Δr|

S。(2)位移和路程是两个不同的概念。BAC

路程表示路径长度，是标量，是弧长AB=S。r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S

位移代表位置变化，是矢量，是直线段AB的长度，与路径形状无关。18位移=AC路程=AB+BCAB只有当t→0时,才有(2)单位时间内的路程平均速率。

定义:

单位时间内的位移平均速度。四.速度、速率r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S19单位时间内的路程平均速率。定义:四.速度、速率r(如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，

即使在直线运动中，如质点经时间t从A点到B点又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率为则平均速度为BAC20如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，质点的(瞬时)速率:limt0=

质点的(瞬时)速度:

limt0即：速度等于位置矢量r

对时间的一阶导数;而速率等于路程S对时间的一阶导数。21质点的(瞬时)速率:limt0=质点的(瞬时)速度:

=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0=limt0(B)(C)limt0=limt0(2)=r大小的导数+r方向的导数。22=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0速度的大小：(3)在直角坐标系中,

速度的方向：轨道切线方向。23速度的大小：(3)在直角坐标系中,平均加速度：五.加速度的定义OxyzA.B.

(瞬时)加速度定义为limDt0加速度a等于速度

对时间的一阶导数。在时间t内质点速度的增量：24平均加速度：五.加速度的定义OxyzA.B.(瞬时)加速(2)加速度a的大小:

(1)在直角坐标系中,加速度的表示式是25(2)加速度a的大小:(1)在直角坐标系中,加速度的

在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。在国际单位制中,加速度的单位为米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：当t→0时,速度增量的极限方向。应该注意到,的方向和它的极限方向一般不同于速度的方向,因而加速度a的方向与同一时刻速度的方向一般不相一致。aaa26在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。例：任何一个曲线运动都可以看作是沿x,y,z三个坐标轴方向的独立的直线运动的叠加,这就是运动的叠加原理。27例：任何一个曲线运动都可以看作是沿x,y,z三个r=xi+yj+zk求导积分*运动学的两类问题28r=xi+yj+zk求导积

例题3.1

质点沿x轴运动,x=t3–9t2

+15t+1(SI),求:(1)质点首先向哪个方向运动?何时调头？(2)t=0,2s时的速度;

(3)02s内的平均速度和路程。

t=1,5s前后速度改变了方向(正负号），所以t=1,5s调头了。因t=0，

=+15m/s,所以质点首先向x轴正方向运动。

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0解(1)质点做直线运动时，调头的条件是什么？t=1,5s29例题3.1质点沿x轴运动,x=t3–9t2考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为

s=|x(1)-x(0)|0~2s内的位移：x=t3–9t2

+15t+1平均速度：x=x(2)-x(0)=3-1=2m=1(m/s)

(2)t=0,2s时的速度;

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)

t=0,=15m/s

t=2,=-9m/s(3)02s内的平均速度和路程。+|x(2)-x(1)|=7+5=12m

30考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为0~2s内的位质点作什么样的运动？例题3.2质点位矢：解

x=3+2t2,y=2t2-1y=x-4直线质点作匀加速直线运动。31质点作什么样的运动？例题3.2质点位矢：解x=3+2t

解(1)

x=Rcost，y=Rsint轨道方程：

x2+y2=R2圆

由于t=0时,x=R,y=0,而t>0+时,x>0,y>0,由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。

例题3.3粒子矢径:r=Rcosti+Rsintj，其中R、为正值常量。(1)分析粒子的运动情况;(2)时间t=/2/内的位移和路程。32解(1)x=Rcost，y=R其大小为

加速度a的方向-r，即沿着半径指向圆心。综上所述，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。33其大小为加速度a的方向-r，即沿着半径指向圆心。综上(2)在时间t=/2/内的位移为

注意到为角速度，在时间t=/2/内粒子刚好运动半个圆周，故路程:

S=R。

34(2)在时间t=/2/内的位移为注意到为角速平均速度：(2)第2s内的平均速度：当t=1s时，(1)位矢：当t=2s时，

例题3.4质点:x=2t,y=19-2t2(SI),求：(1)质点在t=1s、t=2s时的位置；解35平均速度：(2)第2s内的平均速度：当t=1s时，(1)代入t=1s,得：加速度：

(3)第1s末的速度和加速度：a=4(m/s2)速度：36代入t=1s,得：加速度：(3)第1s末的速度和加速度：a由此得:t=0,3s(略去t=-3s);t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可见t=3s时最近。r有极值的必要条件是：

(5)何时质点离原点最近?x=2t,y=19-2t2这是一条抛物线

(4)轨道方程：37由此得:t=0,3s(略去t=-3s);r有极值的必(6)第1s内的路程:10=1.34m38(6)第1s内的路程:1=1.34m38

例题3.5在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速率收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时速度和加速度。

解

hxroxy39例题3.5在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速

解2:船的速度:hxr40解2:船的速度:hxr40

解

取o=0位置为坐标原点，向下为x轴的正方向。

例题3.6伞兵竖直降落，o=0，a=A-B，式中A、B为常量；求伞兵的速度和运动方程。41解取o=0位置为坐标原点，向下为x轴的正完成积分就得运动方程:运动方程：42完成积分就得运动方程:运动方程：42单位矢量:

沿轨道切向

n

沿轨道法向指向凹側p1C.六.

向心加速度和切向加速度曲率圆

=

大小的变化率+方向的变化率43单位矢量:沿轨道切向p1C.六.向心加速度和=p1C.p2so加速度:当t0时，0的极限方向为的方向，所以limt044=p1C.p2so加速度:当t因ds=d(为曲率半径)p1C.p2so45因ds=d(为曲率半径)p1C.p2so大小：方向：沿半径指向圆心。大小：方向：沿轨道切线方向。作用：描述速度方向的变化。作用：描述速度大小的变化。加速度小结：名称：向心(法向)加速度。名称：切向加速度。46大小：方向：沿半径指向圆心。大小：方向：沿轨道切线方向。作用加速度的大小:a与速度的夹角是:aan47加速度的大小:a与速度的夹角是:aan47由an=|at|得:解得解(1)

例题3.7质点作圆周运动,半径R，(b,c为常数,且b2>Rc);求:何时an=a?a=c?(2)由=a+naa2248由an=|at|得:解得解(1)例题3.7

解

an

、a是总加速度g沿轨道法向和切向的分量：

例题3.8求斜抛体在时刻t的an、a和(设初速o，仰角)。axyuogoaaqnuxuuyq49解an、a是总加速度g沿轨道法向和切向的分

讨论：(1)在轨道的最高点，显然=0，y=0,故该点：an=g,a=0axyuogoaaqnuxuuyq50讨论：(1)在轨道的最高点，显然=0，y=0,故该(2)

解法之二gaxyuo51(2)解法之二gaxyuo51

例题3.9质点:x=2t,y=19-2t2(SI);求时刻t的an、a、及a与的夹角。解52例题3.9质点:x=2t,y=19-2t2a与的夹角：t=0aan何时a?53a与的夹角：t=0aan何时a?53=3t,

3t2=3,求出t=1s

例题3.10

圆运动，r=3m，开始静止,a=3ms-2；求：(1)第1s末加速度的大小；(2)经多少时间a与成45?这段时间内的路程是多少？

解(1)由有又

(2)a与成45，即表示：an=a，于是有=a+naa2254=3t,3t2=3,求出t=1s

角加速度：七.

圆周运动中角量和线量的关系角速度：角角坐标(角位置)。yxoAR55角加速度：七.圆周运动中角量和线量的关系角速度：角

的方向：垂直于质点的运动平面,其指向由右手螺旋定则确定。角速度矢量56的方向：垂直于质点的运动平面,其指向由右手螺旋定则

圆周运动与直线运动的比较：直线运动圆周运动坐标

x角坐标

q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，则若=恒量,则57圆周运动与直线运动的比较：直线运动圆周运动坐标x角坐标

例题3.11

飞轮半径R=1m，=2+12t-t3(SI)，求：(1)轮边上一点第1s末的an=？

a=？(2)经多少时间、转几圈飞轮将停止转动？

an=R2=(12-3t2)2,

a=R=-6t代入t=1s,an=812,a=-6(SI)(2)停止转动条件：=12-3t2=0,求出：t=2s。

t=2s,2=18，解(1)

t=0,o=2,所以转过角度：=2-o=16=8圈。58例题3.11飞轮半径R=1m，=2+1

解

例题3.12质点作圆运动，R，=A+Bt

(A、B为正的常量)。求：质点在圆上运动一周又回到出发点时，an=？

a=？a=？解得59解例题3.12质点作圆运动，R，=A+Btan=？

a=？a=？=A+Bt60an=？a=？a=？=A+Bt60§1.4相对运动对空间P点,有rps=rps+

rssyxyoSSzzO’rpsrps.

prssps=ps+ssaps=aps+ass

假定：参考系S和S之间，只有相对平移而无相对转动,且各对应坐标轴始终保持平行。61§1.4相对运动对空间P点,有rps=ps=-spps=p

+sss人对水=人+水对船

船对它表示：质点P对S系的速度等于质点P对S系的速度与S系对S系的速度的矢量和。

注意：(1).速度合成定理是矢量关系式。(2).双下标先后顺序交换意味着改变一个符号,即：ps=ps+ss速度合成定理62ps=-spps=p+ss45

解首先写出速度合成定理：

（1）矢量三角形法

风对人=风对地

+

地对人

例题4.1一人骑自行车以速率向正西行驶，风以相同速率由北向南方向吹来，试问：人感到的风速大小是多少？风从哪个方向吹来？=风对地-人对地

由于人对地=风对地=,风对人=人感到风从西北方向吹来。xy风对地u人对地u风对人6345解首先写出速度合成定理：

(2)单位矢量法风对人=风对地

+

地对人=风对地-人对地

大小：风对人=方向：与x轴正方向的夹角：xyo风对地u人对地

(由于人对地=风对地=)64(2)单位矢量法风对人=风对地+解

雨对地=雨对车+车对地30o雨对地车对地=35xy得：雨对地=25.6m/s

例题4.2火车静止时，雨滴方向偏向车头30；当火车以35m/s的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴方向偏向车尾45，求雨滴相对地速度的大小。

4545o雨对车65解雨对地=雨对车+车对地30o雨对地车对地=

例题4.3河水由西向东,速度10km/h。轮船相对河水的航速20km/h，航向为北偏西30°。此时风向为正西，风速为10km/h。求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的方向(设烟离开烟囱后很快获得与风相同的速度)。

解xyo船对水=2030°66例题4.3河水由西向东,速度10km/h。轮得大小:方向与x轴正向的夹角为(南偏西30°)xyo船对水=2030°3067得大小:方向与x轴正向的夹角为(南偏西30°)xyo船对水第一篇力学(Mechanics)68第一篇(Mechanics)1第1章质点运动学(Kinematicsofparticle)描述物体的运动状态运动方程经典力学的时空观参考系物理模型物理量相对运动69第1章质点运动学(Kinematicsofpartic牛顿力学的时空观时间与空间：机械运动发生于时间之中，理论力学中采用的理想时空模型是最简单的模型——假设存在绝对空间和绝对时间。绝对空间是三维均匀各向同性的固定不动的欧几里得空间。绝对时间是大小连续变化的，方向是从过去到未来。在空间的所有点，时间都是均匀的、单值的，不依赖于点的运动的。70牛顿力学的时空观时间与空间：机械运动发生于时间之中，理论力学§1.0矢量一.矢量的表示法axaxayazyzoa71§1.0矢量一.矢量的表示法axaxayazyzoa4二.矢量的加、减法aba+b三角形法aba-bab+=？多边形法aca+b+cbbac=?-ab=？72二.矢量的加、减法aba+b三角形法aba-bab+=？三.标量积(点积、数量积、内积)73三.标量积(点积、数量积、内积)6

积C的方向垂直于矢量a和b组成的平面，指向由右手螺旋法则确定。四.矢量积(向量积、叉积、外积)bacc74积C的方向垂直于矢量a和b组成的平面，指向

1.矢量函数的微商与标量函数的微商不同：

矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商

五.矢量函数A(t)的微商limt0

2.

的方向，一般不同于A的方向。只有当t0时，A的极限方向，才是的方向。特别是,当A的大小不变而只是方向改变时,就时刻保持与A垂直。751.矢量函数的微商与标量函数的微商不同：五由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以就是普通函数的微商。

3.

在直角坐标系中,考虑到是常量,有76由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动的描述是相对的。一.运动的绝对性和相对性§1.1参考系和坐标系77运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。一.运动坐地日行八万里

巡天遥看一千河运动的绝对性和静止的相对性统一——《送瘟神》78坐地日行八万里

巡天遥看一千河运动的绝对性和静止的相对性统一在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系。为了作定量描述，还要取一个固定在参考系中的坐标系。

坐标系是参考系的代表和抽象。二.参考系坐标系常用的坐标系:直角坐标系自然坐标系极坐标系mS.79在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系。二.§1-2典型机械运动及理想模型质点—在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的物体。刚体—运动中形状和大小都保持不变的物体。谐振动

—弹性回复力F=kx

80§1-2典型机械运动及理想模型质点—在所研究的问§1.3描述质点运动的物理量！一.位置矢量描述质点在空间位置的矢量r=xi+yj+zkoxyzP(x,y,z)xyzABCr

位置矢量，简称位矢或矢径。

从坐标原点o指向P点的有向线段op=r

r质点P到原点o的距离cos2+cos2+cos2=181§1.3描述质点运动的物理量！一.位置矢量描述质点在它们都叫做质点的运动方程。质点经过的空间各点联成的曲线的方程，称为轨道方程。运动方程

例：x=6cos2t

y=6sin2t

x2+y2=62轨道方程。二.运动方程和轨道方程

82它们都叫做质点的运动方程。运动方程例：x=6cos2

(1)位移是位置矢量r

在时间t内的增量:三.位移和路程而A到B的路径长度S,称为路程。Sr(t)rA(t)zyoxB(t+t)

称为质点在时间t内的位移。r(t+t)

从起点A到终点B的有向线段AB=r

83(1)位移是位置矢量r在时间t内的增量:三.位t1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移84t1:t2:x方向的位移y方向的位移z方向的位移17位移=AC路程=AB+BCAB只有当t→0时,才有

|Δr|

S。(2)位移和路程是两个不同的概念。BAC

路程表示路径长度，是标量，是弧长AB=S。r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S

位移代表位置变化，是矢量，是直线段AB的长度，与路径形状无关。85位移=AC路程=AB+BCAB只有当t→0时,才有(2)单位时间内的路程平均速率。

定义:

单位时间内的位移平均速度。四.速度、速率r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S86单位时间内的路程平均速率。定义:四.速度、速率r(如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，

即使在直线运动中，如质点经时间t从A点到B点又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率为则平均速度为BAC87如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，质点的(瞬时)速率:limt0=

质点的(瞬时)速度:

limt0即：速度等于位置矢量r

对时间的一阶导数;而速率等于路程S对时间的一阶导数。88质点的(瞬时)速率:limt0=质点的(瞬时)速度:

=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0=limt0(B)(C)limt0=limt0(2)=r大小的导数+r方向的导数。89=(1)速率=速度的大小。例:(A)limt0速度的大小：(3)在直角坐标系中,

速度的方向：轨道切线方向。90速度的大小：(3)在直角坐标系中,平均加速度：五.加速度的定义OxyzA.B.

(瞬时)加速度定义为limDt0加速度a等于速度

对时间的一阶导数。在时间t内质点速度的增量：91平均加速度：五.加速度的定义OxyzA.B.(瞬时)加速(2)加速度a的大小:

(1)在直角坐标系中,加速度的表示式是92(2)加速度a的大小:(1)在直角坐标系中,加速度的

在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。在国际单位制中,加速度的单位为米/秒2(m·s-2)。加速度a的方向是：当t→0时,速度增量的极限方向。应该注意到,的方向和它的极限方向一般不同于速度的方向,因而加速度a的方向与同一时刻速度的方向一般不相一致。aaa93在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。例：任何一个曲线运动都可以看作是沿x,y,z三个坐标轴方向的独立的直线运动的叠加,这就是运动的叠加原理。94例：任何一个曲线运动都可以看作是沿x,y,z三个r=xi+yj+zk求导积分*运动学的两类问题95r=xi+yj+zk求导积

例题3.1

质点沿x轴运动,x=t3–9t2

+15t+1(SI),求:(1)质点首先向哪个方向运动?何时调头？(2)t=0,2s时的速度;

(3)02s内的平均速度和路程。

t=1,5s前后速度改变了方向(正负号），所以t=1,5s调头了。因t=0，

=+15m/s,所以质点首先向x轴正方向运动。

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0解(1)质点做直线运动时，调头的条件是什么？t=1,5s96例题3.1质点沿x轴运动,x=t3–9t2考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为

s=|x(1)-x(0)|0~2s内的位移：x=t3–9t2

+15t+1平均速度：x=x(2)-x(0)=3-1=2m=1(m/s)

(2)t=0,2s时的速度;

=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)

t=0,=15m/s

t=2,=-9m/s(3)02s内的平均速度和路程。+|x(2)-x(1)|=7+5=12m

97考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为0~2s内的位质点作什么样的运动？例题3.2质点位矢：解

x=3+2t2,y=2t2-1y=x-4直线质点作匀加速直线运动。98质点作什么样的运动？例题3.2质点位矢：解x=3+2t

解(1)

x=Rcost，y=Rsint轨道方程：

x2+y2=R2圆

由于t=0时,x=R,y=0,而t>0+时,x>0,y>0,由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。

例题3.3粒子矢径:r=Rcosti+Rsintj，其中R、为正值常量。(1)分析粒子的运动情况;(2)时间t=/2/内的位移和路程。99解(1)x=Rcost，y=R其大小为

加速度a的方向-r，即沿着半径指向圆心。综上所述，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。100其大小为加速度a的方向-r，即沿着半径指向圆心。综上(2)在时间t=/2/内的位移为

注意到为角速度，在时间t=/2/内粒子刚好运动半个圆周，故路程:

S=R。

101(2)在时间t=/2/内的位移为注意到为角速平均速度：(2)第2s内的平均速度：当t=1s时，(1)位矢：当t=2s时，

例题3.4质点:x=2t,y=19-2t2(SI),求：(1)质点在t=1s、t=2s时的位置；解102平均速度：(2)第2s内的平均速度：当t=1s时，(1)代入t=1s,得：加速度：

(3)第1s末的速度和加速度：a=4(m/s2)速度：103代入t=1s,得：加速度：(3)第1s末的速度和加速度：a由此得:t=0,3s(略去t=-3s);t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可见t=3s时最近。r有极值的必要条件是：

(5)何时质点离原点最近?x=2t,y=19-2t2这是一条抛物线

(4)轨道方程：104由此得:t=0,3s(略去t=-3s);r有极值的必(6)第1s内的路程:10=1.34m105(6)第1s内的路程:1=1.34m38

例题3.5在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速率收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时速度和加速度。

解

hxroxy106例题3.5在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速

解2:船的速度:hxr107解2:船的速度:hxr40

解

取o=0位置为坐标原点，向下为x轴的正方向。

例题3.6伞兵竖直降落，o=0，a=A-B，式中A、B为常量；求伞兵的速度和运动方程。108解取o=0位置为坐标原点，向下为x轴的正完成积分就得运动方程:运动方程：109完成积分就得运动方程:运动方程：42单位矢量:

沿轨道切向

n

沿轨道法向指向凹側p1C.六.

向心加速度和切向加速度曲率圆

=

大小的变化率+方向的变化率110单位矢量:沿轨道切向p1C.六.向心加速度和=p1C.p2so加速度:当t0时，0的极限方向为的方向，所以limt0111=p1C.p2so加速度:当t因ds=d(为曲率半径)p1C.p2so112因ds=d(为曲率半径)p1C.p2so大小：方向：沿半径指向圆心。大小：方向：沿轨道切线方向。作用：描述速度方向的变化。作用：描述速度大小的变化。加速度小结：名称：向心(法向)加速度。名称：切向加速度。113大小：方向：沿半径指向圆心。大小：方向：沿轨道切线方向。作用加速度的大小:a与速度的夹角是:aan114加速度的大小:a与速度的夹角是:aan47由an=|at|得:解得解(1)

例题3.7质点作圆周运动,半径R，(b,c为常数,且b2>Rc);求:何时an=a?a=c?(2)由=a+naa22115由an=|at|得:解得解(1)例题3.7

解

an

、a是总加速度g沿轨道法向和切向的分量：

例题3.8求斜抛体在时刻t的an、a和(设初速o，仰角)。axyuogoaaqnuxuuyq116解an、a是总加速度g沿轨道法向和切向的分

讨论：(1)在轨道的最高点，显然=0，y=0,故该点：an=g,a=0axyuogoaaqnuxuuyq117讨论：(1)在轨道的最高点，显然=0，y=0,故该(2)

解法之二gaxyuo118(2)解法之二gaxyuo51

例题3.9质点:x=2t,y=19-2t2(SI);求时刻t的an、a、及a与的夹角。解119例题3.9质点:x=2t,y=19-2t2a与的夹角：t=0aan何时a?120a与的夹角：t=0aan何时a?53=3t,

3t2=3,求出t=1s

例题3.10

圆运动，r=3m，开始静止,a=3ms-2；求：(1)第1s末加速度的大小；(2)经多少时间a与成45?这段时间内的路程是多少？

解(1)由有又

(2)a与成45，即表示：an=a，于是有=a+naa22121=3t,3t2=3,求出t=1s

角加速度：七.

圆周运动中角量和线量的关系角速度：角角坐标(角位置)。yxoAR122角加速度：七.圆周运动中角量和线量的关系角速度：角

的方向：垂直于质点的运动平面,其指向由右手螺旋定则确定。角速度矢量123的方向：垂直于质点的运动平面,其指向由右手螺旋定则

圆周运动与直线运动的比较：直线运动圆周运动坐标

x角坐标

q速度角速度加速度角加速度若a=恒量，则若=恒量,则124圆周运动与直线运动的比较：直线运动圆周运动坐标x角坐标

例题3.11

飞轮半径R=1m，=2+12t-t3(SI)，求：(1)轮边上一点第1s末的an=？