土力学第二章课件

第二章土体应力计算2-1概述支撑建筑物荷载的土层称为地基。与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。将持力层下面的土层称为下卧层。土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加应力；按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应（压）力。有效应力——由土骨架传递（或承担）的应力。孔隙应力——由土中孔隙流体（水和气体）传递（或承担）的应力。第二章土体应力计算2-1概述支撑建筑物荷载的土层1第二章土体应力计算对于饱和土体由于孔隙应力是通过土中孔隙水来传递的，因而它不会使土体产生变形，土体的强度也不会改变。孔隙应力分为：静孔隙应力和超静孔隙应力。自重应力——由土体自身重量所产生的应力。附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。第二章土体应力计算对于饱和土体由于孔隙应力是通过土中孔隙2第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力地下水位以下，用有效重度；不同土层的重量可以叠加：第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力地下水位以下3第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下有效小主应力σ’3与有效大主应力σ’1之比。K0与土层的应力历史及土的类型有关；经验公式：

正常固结粘土：K0＝1－sinf’对一般地基K0＝0.5左右无侧向变形条件下，侧向应力：第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力K0——静止4第二章土体应力计算2-3基底压力和基底净压力基底压力：指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力。地基反向施加于基础底面上的压力称为基底反力。基底净压力：是指基底压力扣除因基础埋深所开挖的土的自重应力之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。基底净压力：第二章土体应力计算2-3基底压力和基底净压力基底压力5第二章土体应力计算2-3基底压力与基底净压力一、柔性基础与刚性基础基底压力的大小和分布与荷载的性质（中心或偏心、倾斜等）、大小等有关，也与基础的刚度有关。柔性基础：刚度较小，基底压力与荷载大小及分布相同第二章土体应力计算2-3基底压力与基底净压力一、柔性6第二章土体应力计算2-3基底压力与基底附加应力刚性基础：刚度较大，基底压力与荷载的分布不同一般情况下，可假定基底压力为直线分布第二章土体应力计算2-3基底压力与基底附加应力刚性基7第二章土体应力计算二、刚性基础下基底压力分布（一）中心荷载下的基底压力中心荷载作用下的基础，上部结构荷载P与基础自重G的合力Fv通过基底形心，基底压力为均匀分布。平均基底压力为矩形基础条形基础集中力线荷载分布的基底压力第二章土体应力计算二、刚性基础下基底压力分布矩形基础集中8第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力对于单向偏心荷载作用下的矩形面积基底的刚性基础如图（a）、（b）所示。两端边缘最大压力pmax与最小压力pmin可按下式计算：对矩形基底，抗弯截面系数：第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力对于单向偏心9第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力根据上式，当e＜L/6时，基底压力成梯形分布；e=L/6时，基底压力为三角形分布；e＞L/6时，基底压力pmin＜0第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力根据上式，当10第二章土体应力计算当pmin＜0时，由于地基与基础接触面不能承受拉力，此时基底与地基将局部脱离而使基底压力重新分布。根据基底压力与偏心荷载相平衡的条件，三角形反力分布如图（c）中的实线所示的形心应在P+G的合力Fv作用线上，由此可计算基础边缘的最大压力pmax为

pmax=2Fv／3kb式中：k——单向偏心荷载作用点至具有最大压力的基底边缘的距离，

k=(l/2-e)。对于荷载沿长度方向均布的条形基础，P和G对应均取单位长度内的相应值，基础宽度取为b，则基底压力为第二章土体应力计算当pmin＜0时，由于地基与基础接触面11第二章土体应力计算三、倾斜偏心荷载作用下的基底压力当基础底面受到倾斜的偏心荷载作用时，先将倾斜偏心的合力R分解为竖向分量Fv和水平分量Fh，其中Fv=Rcosβ，Fh＝Rsinβ，β为倾斜荷载与竖向线之间的倾角。对于竖向分量Fv作用下的基底压力计算，矩形基底用式（2－11），条形基底用式（2－13）对于水平分量Fh引起的基底反力可按下式计算矩形基底ph=Fh／lb条形基底第二章土体应力计算三、倾斜偏心荷载作用下的基底压力对于竖12第二章土体应力计算四、——基底净压力实际工程中，基础总是埋置在天然地面以下一定的深度，势必要进行基坑开挖，这样一来就意味着加了一个负荷载。因此，应在基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础底面下真正施加于地基的压力，称为基底净压力。基底净压力按下式计算：对于基底压力p为均布情况

对于基底压力为梯形分布情况

第二章土体应力计算四、——基底净压力13第二章土体应力计算2-4地基中的附加应力计算基本假定：地基土是各向同性的、均质的线弹性体，而且在深度和水平方向上都是无限延伸的。应力计算可分为空间问题和平面问题。空间问题：地基中的应力是直角坐标的三个分量x、y、z的函数；平面问题：地基中的应力是直角坐标的两个分量x、z的函数；研究对象到底使用哪个问题由基底压力、基础形状和地基土的性质决定。第二章土体应力计算2-4地基中的附加应力计算基本假定14一、附加应力基本解答（一）竖向集中力作用下地基附加应力——半无限空间体弹性力学基本解由布辛内斯克解答得σz的表达式：第二章土体应力计算2-4地基中的附加应力计算一、附加应力基本解答由布辛内斯克解答得σz的表达式：第二章15第二章土体应力计算由图中的几何关系，得式中称为竖向集中力作用竖向附加应力系数。第二章土体应力计算由图中的几何关系，得式中称为竖向集中力16第二章土体应力计算（二）等代荷载法——基本解答的初步应用由于集中力作用下地基中的附加应力σz仅是荷载的一次函数，因此当若干个竖向集中力Fi（I=1，2，‥‥‥n）作用于地表时，应用叠加原理，地基中z深度任一点M的附加应力σz应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和。式中：Ki——第i个竖向附加应力系数。第二章土体应力计算（二）等代荷载法——基本解答的初步应用17第二章土体应力计算等代荷载法第二章土体应力计算等代荷载法18第二章土体应力计算二、空间问题条件下地基附加应力（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力微面积dxdy上的微集中力pndxdy，基底角点O下z深度处所引起的附加应力为第二章土体应力计算二、空间问题条件下地基附加应力19第二章土体应力计算（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力竖直均布压力作用下矩形基底角点O下z深度处所引起的附加应力为式中，Ks称为竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是m，n的函数，其中m=l/b，n=z/b。L是矩形的长边，b是矩形的短边，而z是从基底面起算的深度，ks值可直接查表2－2。pn是基底净压力。 二、空间问题条件下地基附加应力第二章土体应力计算（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下20第二章土体应力计算式（2－25）是用于计算一个矩形面积角点下的竖向附加应力σz。对于在实际基底面积范围以内或以外任意点下的竖向附加应力σz，可以利用式（2－25）逐个计算每个矩形面积角点下的σz值，再按叠加原理求得该计算点附加应力σz的最后结果，称为“角点法”。第二章土体应力计算式（2－25）是用于计算一个矩形面积角21第二章土体应力计算【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应力。【解】（1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件pn=p－γod＝140－18×0.5＝131kPa第二章土体应力计算【例题2－2】如图所示，矩形基底长为422第二章土体应力计算（2）求O点下1m深处地基附加应力σzoO点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／1=2z／b=1／1=1查表2－2得Ks=0.1999，所以σzo=4Kspn=4×0.1999×131＝104.75（kPa）第二章土体应力计算（2）求O点下1m深处地基附加应力σz23第二章土体应力计算A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／2=1z／b=1／2=0.5查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以σzA=2Kspn=2×0.2315×131=60.65（kPa）（3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。第二章土体应力计算A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共24第二章土体应力计算对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由图可知l／b=2／0.5=4，z／b=1／0.5=2查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得σzH=（2×0.2350－

2×0.1350）×131=26.2（kPa）（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH

H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图l／b=2.5／2=1.25，z／b=1／2=0.5查表2－2，利用双向线性插值得Ks=0.2350第二章土体应力计算对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l25第二章土体应力计算（二）矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力矩形基底面积上受到的基底净压力为三角形分布时）沿整个面积积分的方法求得荷载强度为零的角点下的地基竖向附加应力σz。第二章土体应力计算（二）矩形面积基底受三角形分布荷载时角26第二章土体应力计算式中；为基底压力不变化的边的长度为基底压力变化的边的长度基底面到计算点的深度第二章土体应力计算式中；为基底压力不变化的边的长度为基底27第二章土体应力计算（三）矩形面积基底受水平荷载作用时角点下的竖向附加应力当矩形面积基底受水平荷载ph（基底的水平方向均布切向力）作用时，角点1，2下的地基竖向附加应力为σz1是水平压力矢量起始端角点下的附加应力，为“－”值；σz2是水平荷载矢量终止端角点下的附加应力，为“+”值。土力学中以压应力为正，拉应力为负。第二章土体应力计算（三）矩形面积基底受水平荷载作用时角点28第二章土体应力计算式中；为与基底压力指向垂直的边的长度为与基底压力指向平行的边的长度基底面到计算点的深度Kh由表2－4查取。第二章土体应力计算式中；为与基底压力指向垂直的边的长度为29第二章土体应力计算（四）圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力设圆形面积基底的半径为ro，其上作用均布荷载pn，微面积rdrdq上微集中力pnrdrdq则圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力σz为式中为圆形面积均布荷载中心点下的竖向附加应力系数，Kr是z/ro的函数，由表2－5查取。第二章土体应力计算（四）圆形面积均布荷载作用中心点的附加30第二章土体应力计算（一）竖直线荷载作用下的地基附加应力线荷载是作用于半无限空间表面宽度趋近于零沿无限长直线均布的荷载。在xoz的地基剖面内，任一点M（x，o，z）的附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方法求得三、平面问题条件下的地基附加应力（l/B>=10）这就是著名的符拉蒙（Flamant）解答的一部分第二章土体应力计算（一）竖直线荷载作用下的地基附加应力在31第二章土体应力计算（二）条形基底均布荷载作用下地基附加应力设条形基底宽度为b，作用有均布基底净压力pn，则由符拉蒙解答积分可得地基中任意M点的竖向附加应力为第二章土体应力计算（二）条形基底均布荷载作用下地基附加应32注意：积分是0b,要求：原点在角点；X轴正向与荷载分布方向一致第二章土体应力计算可由表2-6查得；注意：积分是0b,要求：第二章土体应33第二章土体应力计算（三）条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为pt），微宽度dz上的线荷载zptdz/b应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力：

σz＝Ktzpt式中：Ktz为条形基底三角形分布荷载作用的地基竖向附加应力系数，它们均是m=x/b，n=z/b的函数。由表2-7查得注意：（1）原点在尖点；2）X轴正向与基底压力增大方向一致第二章土体应力计算（三）条形基底三角形分布荷载作用下地基34第二章土体应力计算（四）条形基底受水平荷载作用时的附加应力当条形基底作用有水平均布荷载ph（作用于基底沿宽度b方向的切向力）时，地基中任一点的附加应力同样可利用弹性力学中水平线荷载作用下的地基附加应力的基本公式求得

σz＝Khzph

附加应力系数Khz是m=x/b，n=z/b的函数，可由表2－8查得。注意：（1）原点在荷载起点（2）X轴正向与荷载方向一致第二章土体应力计算（四）条形基底受水平荷载作用时的附加应35第二章土体应力计算基底作用有倾斜偏心荷载时平面问题：注意：（1）原点（2）X轴正向第二章土体应力计算基底作用有倾斜偏心荷载时平面问题：36第二章土体应力计算注意：尽管以上仅介绍了地基中竖向附加应力得计算，实际上，完整得布辛内斯克解答和符拉蒙解答都包含了全部应力分量，用类似得积分方式可以得到矩形基础、条形基础等地基内得附加应力全部应力分量，部分内容教材中已经给出。按照弹性力学理论，在各向同性得线弹性地基中得应力分量包括：空间问题：、、、、、平面问题：、、、第二章土体应力计算注意：尽管以上仅介绍了地基中竖向附加应37第二章土体应力计算【例题2－3】如图所示的挡土墙，基础底面宽度为6m，埋置于地面下1.5m处。每米墙自重及其上部其他竖向荷载Fv=2400kN/m，作用位置离墙基础前缘A点3.2m；因土压力作用墙背受到水平力Fh=400kN/m，其作用点距离基底面2.4m。设地基土重度为19kN/m3，若不计墙后填土附加应力的影响，试求因Fv，Fh作用基础中心点及前缘A点下深度z=7.2m处M点，N点的竖向附加应力。第二章土体应力计算【例题2－3】如图所示的挡土墙，基础底38第二章土体应力计算【解】（1）求作用于基底面上的力及偏心距。将Fh移至基底面，根据静力等效，需加力矩。设合力作用点离基底前缘A点的水平距离为x，利用合力矩定理，即

Fv·x=Fv×3.2－Fh×2.4则x=（3.2Fv－2.4Fh）／Fv=3.2－2.4×400／2400＝2.8（m）于是合力偏心距e=b/2－2.8＝0.2（m）；合力作用点位于基底面中点的左侧0.2m。（2）求基底压力。这属于平面问题应用式（2－13），得竖向基底压力第二章土体应力计算【解】（1）求作用于基底面上的力及偏心39第二章土体应力计算应用式（2－17），得ph=Fh/b=400/6=66.7kPa（3）求基底净压力（基底附加应力）。对于梯形分布的竖向基底压力应用图2－23所示方法可得竖向基底净压力如下

pn=pmin－γod=320－19×1.5＝291.5kPapt=pmax－pmin=480－320＝160kPa（4）计算各种压力形式pn，pt，ph引起的地基M点和N点的竖向附加应力，为了清晰起见，可采用列表的方法进行。第二章土体应力计算应用式（2－17），得ph=Fh40第二章土体应力计算2-5土坝（堤）自重应力荷坝基附加应力土坝（包括土堤，下同）的剖面形状不符合半无限空间体的假定。通常，为实用上的方便，不论是均质的或非均质的土坝，其坝身任意点自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有效重度与土柱高度的乘积。假定：柔性基础第二章土体应力计算2-5土坝（堤）自重应力荷坝基附加41第二章土体应力计算2-5土坝（堤）自重应力荷坝基附加应力奥斯特伯格公式：坝顶宽范围以下任意深度处：σz＝(K’zI+K’zII)pn由a1/z,b1/z和a2/z,b2/z查图2-27习题：2－1，2－2，2－4，2－5第二章土体应力计算2-5土坝（堤）自重应力荷坝基附加42EndofChapter2结束EndofChapter243第二章土体应力计算2-1概述支撑建筑物荷载的土层称为地基。与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。将持力层下面的土层称为下卧层。土体的应力按引起的原因分为自重应力和附加应力；按土体中土骨架和土中孔隙（水、气）的应力承担作用原理或应力传递方式可分为有效应力和孔隙应（压）力。有效应力——由土骨架传递（或承担）的应力。孔隙应力——由土中孔隙流体（水和气体）传递（或承担）的应力。第二章土体应力计算2-1概述支撑建筑物荷载的土层44第二章土体应力计算对于饱和土体由于孔隙应力是通过土中孔隙水来传递的，因而它不会使土体产生变形，土体的强度也不会改变。孔隙应力分为：静孔隙应力和超静孔隙应力。自重应力——由土体自身重量所产生的应力。附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。第二章土体应力计算对于饱和土体由于孔隙应力是通过土中孔隙45第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力地下水位以下，用有效重度；不同土层的重量可以叠加：第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力地下水位以下46第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下有效小主应力σ’3与有效大主应力σ’1之比。K0与土层的应力历史及土的类型有关；经验公式：

正常固结粘土：K0＝1－sinf’对一般地基K0＝0.5左右无侧向变形条件下，侧向应力：第二章土体应力计算2-2地基中的自重应力K0——静止47第二章土体应力计算2-3基底压力和基底净压力基底压力：指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力。地基反向施加于基础底面上的压力称为基底反力。基底净压力：是指基底压力扣除因基础埋深所开挖的土的自重应力之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。基底净压力：第二章土体应力计算2-3基底压力和基底净压力基底压力48第二章土体应力计算2-3基底压力与基底净压力一、柔性基础与刚性基础基底压力的大小和分布与荷载的性质（中心或偏心、倾斜等）、大小等有关，也与基础的刚度有关。柔性基础：刚度较小，基底压力与荷载大小及分布相同第二章土体应力计算2-3基底压力与基底净压力一、柔性49第二章土体应力计算2-3基底压力与基底附加应力刚性基础：刚度较大，基底压力与荷载的分布不同一般情况下，可假定基底压力为直线分布第二章土体应力计算2-3基底压力与基底附加应力刚性基50第二章土体应力计算二、刚性基础下基底压力分布（一）中心荷载下的基底压力中心荷载作用下的基础，上部结构荷载P与基础自重G的合力Fv通过基底形心，基底压力为均匀分布。平均基底压力为矩形基础条形基础集中力线荷载分布的基底压力第二章土体应力计算二、刚性基础下基底压力分布矩形基础集中51第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力对于单向偏心荷载作用下的矩形面积基底的刚性基础如图（a）、（b）所示。两端边缘最大压力pmax与最小压力pmin可按下式计算：对矩形基底，抗弯截面系数：第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力对于单向偏心52第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力根据上式，当e＜L/6时，基底压力成梯形分布；e=L/6时，基底压力为三角形分布；e＞L/6时，基底压力pmin＜0第二章土体应力计算（二）偏心荷载下的基底压力根据上式，当53第二章土体应力计算当pmin＜0时，由于地基与基础接触面不能承受拉力，此时基底与地基将局部脱离而使基底压力重新分布。根据基底压力与偏心荷载相平衡的条件，三角形反力分布如图（c）中的实线所示的形心应在P+G的合力Fv作用线上，由此可计算基础边缘的最大压力pmax为

pmax=2Fv／3kb式中：k——单向偏心荷载作用点至具有最大压力的基底边缘的距离，

k=(l/2-e)。对于荷载沿长度方向均布的条形基础，P和G对应均取单位长度内的相应值，基础宽度取为b，则基底压力为第二章土体应力计算当pmin＜0时，由于地基与基础接触面54第二章土体应力计算三、倾斜偏心荷载作用下的基底压力当基础底面受到倾斜的偏心荷载作用时，先将倾斜偏心的合力R分解为竖向分量Fv和水平分量Fh，其中Fv=Rcosβ，Fh＝Rsinβ，β为倾斜荷载与竖向线之间的倾角。对于竖向分量Fv作用下的基底压力计算，矩形基底用式（2－11），条形基底用式（2－13）对于水平分量Fh引起的基底反力可按下式计算矩形基底ph=Fh／lb条形基底第二章土体应力计算三、倾斜偏心荷载作用下的基底压力对于竖55第二章土体应力计算四、——基底净压力实际工程中，基础总是埋置在天然地面以下一定的深度，势必要进行基坑开挖，这样一来就意味着加了一个负荷载。因此，应在基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础底面下真正施加于地基的压力，称为基底净压力。基底净压力按下式计算：对于基底压力p为均布情况

对于基底压力为梯形分布情况

第二章土体应力计算四、——基底净压力56第二章土体应力计算2-4地基中的附加应力计算基本假定：地基土是各向同性的、均质的线弹性体，而且在深度和水平方向上都是无限延伸的。应力计算可分为空间问题和平面问题。空间问题：地基中的应力是直角坐标的三个分量x、y、z的函数；平面问题：地基中的应力是直角坐标的两个分量x、z的函数；研究对象到底使用哪个问题由基底压力、基础形状和地基土的性质决定。第二章土体应力计算2-4地基中的附加应力计算基本假定57一、附加应力基本解答（一）竖向集中力作用下地基附加应力——半无限空间体弹性力学基本解由布辛内斯克解答得σz的表达式：第二章土体应力计算2-4地基中的附加应力计算一、附加应力基本解答由布辛内斯克解答得σz的表达式：第二章58第二章土体应力计算由图中的几何关系，得式中称为竖向集中力作用竖向附加应力系数。第二章土体应力计算由图中的几何关系，得式中称为竖向集中力59第二章土体应力计算（二）等代荷载法——基本解答的初步应用由于集中力作用下地基中的附加应力σz仅是荷载的一次函数，因此当若干个竖向集中力Fi（I=1，2，‥‥‥n）作用于地表时，应用叠加原理，地基中z深度任一点M的附加应力σz应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和。式中：Ki——第i个竖向附加应力系数。第二章土体应力计算（二）等代荷载法——基本解答的初步应用60第二章土体应力计算等代荷载法第二章土体应力计算等代荷载法61第二章土体应力计算二、空间问题条件下地基附加应力（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力微面积dxdy上的微集中力pndxdy，基底角点O下z深度处所引起的附加应力为第二章土体应力计算二、空间问题条件下地基附加应力62第二章土体应力计算（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下的附加应力竖直均布压力作用下矩形基底角点O下z深度处所引起的附加应力为式中，Ks称为竖直均布压力矩形基底角点下的附加应力系数，它是m，n的函数，其中m=l/b，n=z/b。L是矩形的长边，b是矩形的短边，而z是从基底面起算的深度，ks值可直接查表2－2。pn是基底净压力。 二、空间问题条件下地基附加应力第二章土体应力计算（一）竖直均布压力作用下矩形基底角点下63第二章土体应力计算式（2－25）是用于计算一个矩形面积角点下的竖向附加应力σz。对于在实际基底面积范围以内或以外任意点下的竖向附加应力σz，可以利用式（2－25）逐个计算每个矩形面积角点下的σz值，再按叠加原理求得该计算点附加应力σz的最后结果，称为“角点法”。第二章土体应力计算式（2－25）是用于计算一个矩形面积角64第二章土体应力计算【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应力。【解】（1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件pn=p－γod＝140－18×0.5＝131kPa第二章土体应力计算【例题2－2】如图所示，矩形基底长为465第二章土体应力计算（2）求O点下1m深处地基附加应力σzoO点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／1=2z／b=1／1=1查表2－2得Ks=0.1999，所以σzo=4Kspn=4×0.1999×131＝104.75（kPa）第二章土体应力计算（2）求O点下1m深处地基附加应力σz66第二章土体应力计算A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得l／b=2／2=1z／b=1／2=0.5查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以σzA=2Kspn=2×0.2315×131=60.65（kPa）（3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。第二章土体应力计算A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共67第二章土体应力计算对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由图可知l／b=2／0.5=4，z／b=1／0.5=2查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得σzH=（2×0.2350－

2×0.1350）×131=26.2（kPa）（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH

H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图l／b=2.5／2=1.25，z／b=1／2=0.5查表2－2，利用双向线性插值得Ks=0.2350第二章土体应力计算对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l68第二章土体应力计算（二）矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加应力矩形基底面积上受到的基底净压力为三角形分布时）沿整个面积积分的方法求得荷载强度为零的角点下的地基竖向附加应力σz。第二章土体应力计算（二）矩形面积基底受三角形分布荷载时角69第二章土体应力计算式中；为基底压力不变化的边的长度为基底压力变化的边的长度基底面到计算点的深度第二章土体应力计算式中；为基底压力不变化的边的长度为基底70第二章土体应力计算（三）矩形面积基底受水平荷载作用时角点下的竖向附加应力当矩形面积基底受水平荷载ph（基底的水平方向均布切向力）作用时，角点1，2下的地基竖向附加应力为σz1是水平压力矢量起始端角点下的附加应力，为“－”值；σz2是水平荷载矢量终止端角点下的附加应力，为“+”值。土力学中以压应力为正，拉应力为负。第二章土体应力计算（三）矩形面积基底受水平荷载作用时角点71第二章土体应力计算式中；为与基底压力指向垂直的边的长度为与基底压力指向平行的边的长度基底面到计算点的深度Kh由表2－4查取。第二章土体应力计算式中；为与基底压力指向垂直的边的长度为72第二章土体应力计算（四）圆形面积均布荷载作用中心点的附加应力设圆形面积基底的半径为ro，其上作用均布荷载pn，微面积rdrdq上微集中力pnrdrdq则圆中心O点下任意深度z处M点的竖向附加应力σz为式中为圆形面积均布荷载中心点下的竖向附加应力系数，Kr是z/ro的函数，由表2－5查取。第二章土体应力计算（四）圆形面积均布荷载作用中心点的附加73第二章土体应力计算（一）竖直线荷载作用下的地基附加应力线荷载是作用于半无限空间表面宽度趋近于零沿无限长直线均布的荷载。在xoz的地基剖面内，任一点M（x，o，z）的附加应力可根据布辛内斯克基本解运用积分方法求得三、平面问题条件下的地基附加应力（l/B>=10）这就是著名的符拉蒙（Flamant）解答的一部分第二章土体应力计算（一）竖直线荷载作用下的地基附加应力在74第二章土体应力计算（二）条形基底均布荷载作用下地基附加应力设条形基底宽度为b，作用有均布基底净压力pn，则由符拉蒙解答积分可得地基中任意M点的竖向附加应力为第二章土体应力计算（二）条形基底均布荷载作用下地基附加应75注意：积分是0b,要求：原点在角点；X轴正向与荷载分布方向一致第二章土体应力计算可由表2-6查得；注意：积分是0b,要求：第二章土体应76第二章土体应力计算（三）条形基底三角形分布荷载作用下地基附加应力条形基底作用三角形分布荷载时（三角形分布的基底净压力，最大集度为pt），微宽度dz上的线荷载zptdz/b应用符拉蒙基本解答沿宽度b积分可得条形基底受三角形分布荷载作用时地基中任意M点的附加应力：

σz＝Ktzpt式中：Ktz为条形基底三角形分布荷载作用的地基竖向附加应力系数，它们均是m=x/b，n=z/b的函数。由表2-7查得注意：（1）原点在尖点；2）X轴正向与基底压力增大方向一致第二章土体应力计算（三）条形基底三角形分布荷载作用下地基77第二章土体应力计算（四）条形基底受水平荷载作用时的附加应力当条形基底作用有水平均布荷载ph（作用于基底沿宽度b方向的切向力）时，地基中任一点的附加应力同样可利用弹性力学中水平线荷载作用下的地基附加应力的基本公式求得

σz＝Khzph

附加应力系数Khz是m=x/b，n=z/b的函数，可由表2－8查得。注意：（1）原点在荷载起点