测量平差60讲1、按条件列出误差方程

第七 间接平水准网1、按条件平差列出误2、选P1高程平差值为参数，列出全部条件方3、选P1P2高程平差值为参数，列出全部条件第七 间接平第七 间接平一、间接平差1、函数模间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式VBˆ nt v1

1

L1d1

t

Vv2,B

t2, ˆˆ2,

d2

vn

n

ˆt

dn第七 间接平2、随机模间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相 2

P

3、基础方4、法方

BTPVVˆl5、解向

BTPBˆBTPlˆNVBˆ nt

ˆL第七 间接平例：选择独立、足够CP 123456111222X3 t=3,X3 X X

101.266T第七 间接平 3 3

28 T

V

BPB

0

0

5

0

0

N1

1

ˆN1BTPl1

00 7

7

ˆX0ˆ 第七 间接平二、间接平差的1、根据平差问题的性质，选择t个独立量作为2、列出误3、组成法方程4、解算法方程5、计算改正数6、计算观测值的平第七 间接平三、选取参数的1、所选取t个待估参数必须相2、所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出四、不同情况下1、水准网2、方位角测方向坐测角网3、测边网4、GPS网误差第七 间接平1、水准网，例:水准网如图所示，已知，HC=7.650m。各点的近似高程H AH AH

h7 观测值见下表，试列出误差1234567第七 间接平2、三角网例如右图所示的大地四边形，其必要观测数为4中待定点坐标也是4，故选CDˆ1ˆC,ˆ CD

,ˆ

ˆD,ˆ 第七 间接平于是，误差方程为v1AB

arctanYB2XBXA2

arctanˆ2 1 ˆ1 v

arctanˆ2

arctanˆ4 88

ˆ1XA

ˆ3XAv

arctanYA

arctanˆ4

XAXB

ˆ3XB第七 间接平在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平待估参数，即t=2m 这样选，既足数，又而且容易写出参数与地，角度观测值可由j表示ikik k

ˆj

hh

ˆˆj

ˆ ˆ

ˆhˆ第七 间接平线性近在按台Y Y X X v

(S0)2

(S

)2

(S0

(S

)2

(S0

ˆ

(S0

ˆ

(S0

ˆ

(S0

ˆ

YjYklYjYk

0Y

0Y X0X

jhX0Xjh 第七 间接平( ( ˆ)2A3Aˆ)4

ˆ1ˆ

,ˆCC

,ˆ

ˆ

D,ˆ4Dv2 (XBˆ3)

((ˆ1ˆ3)2( )2B42422v3 2(XB(XBˆ1)2(YBˆ2)A2

ˆ1

v5 第七 间接平

(( ˆ)2ˆˆ)2kjkj

S

S

S

S

li (X0X0)2(Y(X0X0)2(Y0Y0kjkj

第七 间接平4、导线=（m为）ˆ

ˆj

ivˆi

i

Xkˆ

ˆ

ˆ再列边长v ( ˆ)2ˆˆ)2 第七 间接平5、GPS网三维无约束在GPSI点，则该点在WGS84系下的三维坐标Xi、 、 确定一个点的空间位置，需要X、Y、Z三个坐标分量，GPS网中的总点数为m个，则必要观测

t3(m ，因此，可

m-1XA,YA,Z如图，以A点为参考点， 已知，则tBˆ1ˆBˆ2ˆˆ3ˆBD9ˆD9

ˆC,ˆ

,ˆ

ˆCˆC

ˆD,ˆ8

,

ˆ第七 间接平于是，误差方程为

ˆ1Xˆ2ˆ3Zˆ4X

XZX

ˆ1ˆˆ2ˆˆ3ˆˆ1ˆ

XZBCX

ˆ5YAˆ6ZAZˆ7XAXˆ8YAˆ9ZAZ

ˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆˆ

ZBDXZCD 第七 间接平6、坐标变xix0ikqhyiy0igef第七 间接平SmS

x中时应乘以尺度比m。于是xi

x0,y0,m,

yiy0myicosmxisiniˆ0iˆ0i第七 间接平线性化（变量代换法

ˆ0ˆ0xiixi令ˆˆ0,ˆˆ0,ˆˆcosˆ,ˆˆ令 vx

y' x1 ˆ

1

1

2

1i bi

d

y'

xx2

2

2

2

2

' vxn

yn

xnv01 v01y

y n

n第七 间接平五、精度评1、单位权2、基本向量的协因数

ˆ0

VTrL

Zˆ=

N1BT

L

N1BTLV

BN1BTPE

BN1BTPEˆ

BN1BT

BN1BT 第七 间接平 Q

LL

ˆ

N1BT Q

BN1BTPE

LL

ˆV

Vˆ

Q Qˆˆ

Q Qˆˆ

BN1BT

LL

N N

BN1BT

BN1BT

1BT

BN1BT BN1

BN

BN1BT 第七 间接平 X N1 X

ˆ ˆ

ˆ tˆ ˆ

t X ˆ

ˆ Q

t待定点i的点位中ˆ

的中误差

Xi

Q 的中误差

iiii点的点

ˆ2iˆ2ˆ

Q

Q 2i 2i

X2 2第七 间接平5、参数估值设参数(Xˆ1,ˆ2

ˆt

ftdˆtdf1dX1f2dX

iFTQˆˆXXˆ第八 附有限制条件的间接平5hˆ5hˆT6不设ˆ

ˆ

ˆ

1234 ˆ 1234

(4)ˆ

ˆ

ˆ

5

6123456C1469Fˆ123456C1469F

ˆ

第八章附有限制条件的一、附有条件的设误差方程和参数之间所应满足的条件方程VBˆ nu CˆWx0,su1、基础方

su

ˆ n nuu n ˆWxsus

sB PVCT u nnn u

s第八 附有限制条件的间接平2

BTPBˆCT BTPlsCˆWx

CTˆ

0ks wx3、解： N1(CN1WW ˆN1(ECTN1CN1)WN1CTN ˆLV,ˆX0第八 附有限制条件的间接平例：习题集S=59.00cmL=5083cmL=0.40cXL1、L2第八 附有限制条件的间接平例：三角网如图所示，A、B为已

yAxByB角观测角160004595926000559593600065959第八 附有限制条件的间接平 解：取参数近似值为：

1500.00m,y0xDD0500.00m,y0xDD误差方程和限制条件方程 1.031

1.031

1.786 2.063ˆC

4.62

6.62V

1.032yC ˆD

D

1.38 1.0320.500ˆDˆ

第八 附有限制条件的间接平组成法方

ˆC

ˆC

0.500 24.504 D 0.866ˆD 2.065 0.500

k s k

求解法方

ˆˆD

1.8505cm,ˆC0.1399cm,ˆDkS第八 附有限制条件的间接平改正数为：V2.45.75.78.00.00.0参数平差值为：

X0 1500m1.8505cm Y0 866.00m0.6653cmCˆ

X0 500m0.1399cm Y0 第八 附有限制条件的间接平3、附有条件的间接平根据具由误差方计算参数的改正 计算观第八 附有限制条件的间接平4、精度评、单位权中误00

VTr、基本向L,W,ˆ,Ks,V,第八 附有限制条件的间接平令 CT

us 0

Qss 则 ˆ BTPl ksQsuBTPlQ 而

Qus 0 0 Q I s

C C C C 第八 附有限制条件的间接平、平差值

dˆFTXX

QFTQˆˆF

F

u N

第九 附有条件的条件平二、附有条件的条件平差模型（型AVBˆWcn cu CˆWxsu式中：c=r+u-三、平差

第九 附有条件的条件平四、最小二乘估计的观测就是抽样，抽样的结果称为子样，子样的函数称为统计量，统计量也都是随 量或随机向量因而每个统计n1量也各有其期望和方差，作 的数学期望的n1

以利用子

X1

，也可以

X2

ai n

X3

，等其它估计量，究竟用哪一个，这按什么标准来评价估计量的1、无2、有

选择方差最小的作为最佳估值。方差最小称为有效估第九 附有条件的条件平补充知矩阵的迹及其运算定义：方阵的主对角 和为该方阵的迹，记为n tr(A)aii

a11a22...性质：（1）trAT)tr （3）tr()（5）tr(AB)

（2）tr(AT)tr(（4）tr(AB)tr(A)（6）tr(ABT)tr(AT（7）设y为n维的随机向量，则有E{tryyTtr{EyyT当B为n阶方阵时，则E{tr(yyTB)}tr{E(yyT第九 附有条件的条件平3、迹的已知矩

和方阵FFA在内的若 个矩阵的乘积，或者F

A的函数矩阵，则F迹关于矩A的偏导数是一个矩阵

tr(F

tr(F)

dtr(F

(tr(F))

tr(F

tr(F) 第九 附有条件的条件平四、最小二乘估

具有最小第十 误差椭1、误差椭圆2、确定误差3、确定任意4、相对误差第十 误差椭1、点位在任意方向上的中误

2 cos2 sin2

2、

tan20

QxxQyyQxy0时，极大值在一、三象限；极小值在二、四象限。当Qxy0时，极大值在二、四象限；极小值在一、三象限。3、极大值与极小E22

12 K EE

)24QKF22

2 K FF

第十 误差椭4、以极值E、F表示任意方向上 22 cos2 sin2 5、点位

E2cos2F2sin2 p p

E

F第十 误差椭例1、已知P点的协因 xy

0.2082cmQQQxxQQ

yy

0.2082 0.3806

单位权中误差为05。试求点位误差椭圆的三及点位误差。0解 0

Qxx

20.4494

20有

20及0

0

或 319F因为Qxy0.2082F

EF F

第十 误差椭2E22

(0.44940.3806)24

22F2

(0.2082)20.44940.38062

(0.4494 4

于是得点

E3.96cm,F2E2F215.65065.099420.7500, 22 第十 误差椭六、误差第十 误差椭七、相对这两个待定点的相对位置可通过平差后两点的表示

xi

1

1 ij ixx

ij

101 jyj Qxy

j yy Qx Qx

x Qx

iQx

Qx

Qx

Qy

Qy

2Qy

j i

j

i

第十 误差椭如果这两个点中有一个为无误差的已知点，比

Pi点，以上协

Qxy

Qxjx Qxjyj Qy tan20

jE2

12

K

F2

12

K2 2

K (Qxx

yy

第十 误差椭例3、设单位权中误差

，P1点和 点的协数阵为

0.0020820.000952 0.003332

0.003784试绘出P1点和P2点的点位误差椭圆和相对误差椭圆并从图上量取两点的相对解：P1的点位误差椭圆参数为极值方向

2Qx

2tan

1

x y x