导数及其应用高考题精选

（

·海南高考·理科

）曲线

在点

处的切线方程为（ ）（A）

（B）

（）

（）

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选

A.因为

，所以，在点

处的切线斜率

，故选

A.（·山东高考文科·Ｔ）已知某生产厂家的年利润

（单位：万元）与年产量

（单位：万件）的函数关系式为

，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）(A)

万件 (B)

万件

万件

万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选，

,令

得或

时

；当时

，故当时函数有极大值，也是最大值，故选

C.（·山东高考理科·Ｔ）由曲线

围成的封闭图形面积为（ ）

(B)

,

(B)

,

,封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线

的交点坐标，再利用定积分求面积.【规范解答】选

A,由题意得:

曲线

的交点坐标为，，故所求封闭图形的面积为（

1=

,故选

A.（·辽宁高考理科·Ｔ）已知点

在曲线

上，

为e

曲线在点

处的切线的倾斜角，则

的取值范围是（ ）

【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。【思路点拨】先求导数的值域，即

的范围，再根据正切函数的性质求

的范围。【规范解答】选

Q

,e

e

e

e

g e

e

e

e

e

e

e

当且仅当e

＝

e

，即

时“＝”成立。【思路点拨】记住

的原函数.【规范解答】选

.

又【思路点拨】记住

的原函数.【规范解答】选

.

设倾斜角为，则

又

，

，

。故选（·湖南高考理科·Ｔ）

等于（ ）

A、

B、

、 、【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.（·江苏高考·Ｔ）函数

的图像在点处的切线与

轴的交点的横坐标为,N

，若，则+a+a的值是________【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 的图像在点处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由

，即可求得切线与

轴交点的横坐标。【规范解答】由

得，

，所以函数

在点处的切线方程为：

),

，当

时，解得

，

,

.行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

,则（·江苏高考·Ｔ１）将边长为

1m

正三角形薄片沿一条平

的最小值是____

____。【命题立意】

本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将

用

表示，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，则：

，

，

，当

时，

递减；当

时，

递增；故当

时，

的最小值是

。 )

))

(

)

(

)

(

)

)

))

(

) ) ) 方法二：利用函数的方法求最小值

令

,

令

,

,

，则：

故当

,

时，

的最小值是

。

【答案】

【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。（·陕西高考理科·Ｔ１）从如图所示的长方形区域内任取一个点

（）,则点

取自阴影部分的概率为 ；【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可【规范解答】阴影部分的面积为

所以点

取自

阴影部分的概率为答案：

阴影长方形

．（

·海南高考·理科

）设

为区间上的连续函数，且恒有

≤

≤可以用随机模拟方法近似计算积分

,先产生两组（每组

个）区间上的均匀随机数

,

…

,

N

和) ,

,

…,

,由此得到

个点(

,

（…）在数出其中满足) , N i i

(

)（

（

…

N

，那么由随机模拟方法可得积分

的近似值为

.

.【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知，,所有取值构成的区域是一个边长为

的正方形，而满足

i≤

(

i)的点(

i,

i)落在

、

以及

、

围成的区域内，由几何概型的计算公式可知

的近似值为NN答案：

NN（·北京高考理科·Ｔ１）已知函数

+

，≥。Ⅰ当=2

时，求曲线

=

在点，

处的切线方程；Ⅱ求

的单调区间。【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。）求出

，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（）由讨论

的正负，从而确定单调区间。由于

，

，

，().I）当

时，

(

)

由于

，

，

，().所以曲线

(

)在点

处的切线方程为

即

（II）

当

时，

.所以，在区间(上，

)

；在区间)

上，

)

.故

(

)的单调递增区间是(，单调递减区间是

).当

时，由

，得

，

((和

,上，

)

；在区间

上，

)

故

故

(

)的单调递增区间是(和,

.当

时，

故

(

)的单调递增区间是()

.

当

时，

，得

，

.

和

和)

上，

)

；在区间

上，

)

和)

，单调递减区间是

和)

，单调递减区间是

【方法技巧】（）

过(

,

(

))的切线方程为

(

)

)(

)。（）求单调区间时要在定义域内讨论

内的正负。解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2

,知f

sin

令f(

)

，从面sin(

)

，得解：由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2

,知f

sin

令f(

)

，从面sin(

)

，得

，或

，

，求函数

的单调区间与极值。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】对函数

的单调区间和极值。【规范解答】 当变化时，f(

)，f(x)变化情况如下表：

,

,

,

,

+ 极大

极小

+

值

值

，),单调递减区间是(，),单调递减区间是(，

)

极小值为f(

极小值为f(

)=

，极大值为f()=

【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，简单易行，具体操作流程如下：（）求导数

(

)；（）求方程

(

)

的全部实根；（）列表，检查

(

)在方程

(

)

的根左、右的值的符号；（）判断单调区间和极值。（·北京高考文科·Ｔ１）

设定函数

d，

，且方程

(

)

的两个根分别为

，。（Ⅰ）当

a=3

且曲线

过原点时，求

的解析式；（Ⅱ）若

在,无极值点，求

的取值范围。【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。【思路点拨】由

(

)

的两个根及

过原点，列出三个（方程可解出

b,,d

；

）

是开口向上的二次函数，

无极值点，（则

恒成立。【规范解答】由

d

得

(

)

因

为

(

)

的

两

个

根

分

别

为

，

所

以bb

（*）（Ⅰ）当

时，（*）式为b（Ⅰ）当

时，（*）式为b

解得b

又因为曲线

过原点，所以d

故

(

)

（Ⅱ）由于（Ⅱ）由于所以“

d

在（∞，+∞）内无极值点”等价于“

(

)

在（∞，+由（*）式得b

,

。又

b)

解

解

得

恒大于

，则

；

恒小于

，则

；

）当

在的左侧为正，右侧为负时，

为极大值点；当

在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点（）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。

（

·

安

徽

高

考

理

科

·

Ｔ

）

设

为实数，函数

e,

。求

的单调区间与极值；求证：当

且

时，e

。【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。【思路点拨】先分析

的导数

的符号情况，从而确定

的单调区间和极值；

设g

(

)

，把问题转化为：求证：当

且

时，g

。）Q

(

)

，

(

)

令

，得

，

极小

值

在

上单调递减，在

上单调递增；当

时，

取得极小值为

（）设g

(

)

，g

(

)

(

)由（）问可知，g

恒成立，当

时，则g

恒成立，所以g

在上单调递增，所以当

时，g

g

，即当

且

时，e

。【方法技巧】、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；、证明函数不等式问题，如证

(

)

(

)，通常令

g

(

)

(

)

(

)， 转化为证明：g

。（

（）=

，其中

（Ⅰ）若

a=1，求曲线

（）在点（，（（Ⅱ）若在区间 ,

上，（）>0

恒成立，求

的取值范围.

（Ⅱ）若在区间 ,

上，（）>0

恒成立，求

的取值范围.

a=1

时，（）=

，（）=3；

’,

’（Ⅱ）’

(

.令

’，解得

或

.若

，则

，当

变化时，’，（）的变化情况如下表：

【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。【规范解答】所以曲线

（）在点（，（

（），即

以下分两种情况讨论：

’

+

极大值

当

等价于