陕西省商洛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

商洛市2021~2022学年度第一学期期末教学质量检测高一数学考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2.请将各题答案填写在答题卡上．3.本试卷主要考试内容：必修1和必修2.第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合B，再根据交集的定义即可得解.【详解】解：因为，所以．故选：A.2.若直线与直线垂直，则（）A.6 B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知，即．故选：A.3.已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：1245612313615.55210.88-52.488-232.064在以下区间中，一定有零点的是（）A.（1，2） B.（2，4） C.（4，5） D.（5，6）【答案】C【解析】【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.【详解】∵∴，，，,又函数的图象是一条连续不断的曲线，由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点．故选：C.4.下列说法中正确的是（）A.存在只有4个面的棱柱 B.棱柱的侧面都是四边形C.正三棱锥的所有棱长都相等 D.所有几何体的表面都能展开成平面图形【答案】B【解析】【分析】对于A、B：由棱柱的定义直接判断；对于C：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断；对于D：由球的表面不能展开成平面图形即可判断．【详解】对于A：棱柱最少有5个面，则A错误；对于B：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B正确；对于C：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C错误；对于D：球的表面不能展开成平面图形，则D错误．故选：B5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助中间量比较大小即可.【详解】解：因为，，，所以．故选：A6.《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（）A.0.38寸 B.1.15寸 C.1.53寸 D.4.59寸【答案】C【解析】【分析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长【详解】由题意得，长方体的体积为(立方寸)，故圆柱的体积为(立方寸).设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得，计算得：(寸).故选：C7.如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.【详解】由题意可知是等腰直角三角形，，其原图形是，，，，则，故选：D.8.若函数满足，，则下列判断错误的是（）A. B.C.图象的对称轴为直线 D.f（x）的最小值为－1【答案】C【解析】【分析】根据已知求出，再利用二次函数的性质判断得解.【详解】解：由题得，解得，，所以，因为，所以选项A正确；所以，所以选项B正确；因为，所以选项D正确；因为的对称轴为，所以选项C错误．故选：C9.尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍【答案】C【解析】【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,由已知可得，则，故．故选：C.10.已知，分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，，求得关于直线的对称点为，则，计算即可得出结果.【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．设关于直线的对称点为，则解得，则．因为，分别在圆和圆上，所以，，则．因为，所以．故选：B.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】借助正方体模型还原几何体，进而求解表面积即可.【详解】解：如图，在边长为的正方体模型中，将三视图还原成直观图为三棱锥，其中，均为直角三角形，为等边三角形，，所以该几何体的表面积为．故选：D12.已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（）A.a的取值范围是(0,) B.的取值范围是(0,1)C. D.【答案】D【解析】【分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解．的图象如下图示，由图知：，所以，即的取值范围是(0,＋∞)．由二次函数的对称性得：，因为，即，故．故选：D【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．13.在空间直角坐标系中，点A到坐标原点距离为2，写出点A的一个坐标：____________．【答案】（2，0，0）（答案不唯一）【解析】【分析】利用空间两点间的距离求解.【详解】解：设，因为点A到坐标原点的距离为2，所以，故答案为：（2，0，0）（答案不唯一）14.已知直线与圆C：相交于A，B两点，则|AB|＝____________．【答案】6【解析】【分析】先求圆心到直线的距离，再根据弦心距、半径、弦长的几何关系求|AB|.【详解】因为圆心C(3,1)到直线的距离，所以．故答案为：615.若，则__________．【答案】【解析】【分析】先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.【详解】若,则,所以.故答案为:【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.16.在棱长为2的正方体ABCD－中，E，F，G，H分别为棱，，，的中点，将该正方体挖去两个大小完全相同的四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，现有下列四个结论：①CG//平面ADE；②该几何体的上底面的周长为；③该几何体的的体积为；④三棱锥F－ABC的外接球的表面积为．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①③④【解析】【分析】由面面平行的性质判断①；由题设知两段圆弧的长度之和为，即可得上底周长判断②；利用正方体体积及圆锥体积的求法求几何体体积判断③；首先确定外接球球心位置，进而求出球体的半径，即可得F－ABC的外接球的表面积判断④.【详解】因为面面，面，所以CG//平面，即CG//平面ADE，①正确；依题意知，弧EF与弧HG均为圆弧，且这两段圆弧的长度之和为，所以该几何体的上底面的周长为，该几何体的体积为8－，②错误，③正确；设M，N分别为下底面、上底面的中心，则三棱锥F－ABC的外接球的球心O在MN上．设OM＝h，则，解得，从而球O的表面积为，④正确.故答案为：①③④三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）-2；（2）18.【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质化简求值即可.（2）由有理数指数幂与根式的关系及指数幂的运算性质化简求值.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式．18.已知直线：的倾斜角为．（1）求a；（2）若直线与直线平行，且在y轴上的截距为－2，求直线与直线的交点坐标．【答案】（1）-1；（2）(4,2).【解析】【分析】（1）根据倾斜角和斜率的关系可得，即可得a值.（2）由直线平行有直线为，联立直线方程求交点坐标即可.【小问1详解】因为直线的斜率为，即，故．【小问2详解】依题意，直线的方程为．将代入，得，故所求交点的(4,2)．19.已知函数．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；（3）求f（x）在[－2，－1]上的值域．【答案】（1）f（x）为奇函数，理由见解析（2）证明见解析（3）[－，－2]【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义判断；（2）由单调性的定义证明；（3）由单调性得值域．【小问1详解】f（x）为奇函数．由于f（x）的定义域为，关于原点对称，且，所以f（x）为在上的奇函数（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）小问2详解】证明：设任意，，有．由，得，，即，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增．【小问3详解】由（1），（2）得函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，故f（x）的最大值为，最小值为，所以f（x）在[－2，－1]的值域为[－，－2]．20.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC＝2，，．（1）证明：．（2）若，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质及勾股定理可得，再由面面垂直的性质有BC⊥面PCD，根据线面垂直的性质即可证结论.（2）取CD的中点E，连接PE，易得，由面面垂直的性质有PE⊥底面ABCD，即PE是四棱锥的高，应用棱锥的体积公式求体积即可.【小问1详解】在平行四边形ABCD中．因为，即，所以．因为面PCD⊥面ABCD，且面PCD面ABCD＝CD，面PCD，所以BC⊥面PCD，又PD平面PCD，所以．【小问2详解】如图，取CD的中点E，连接PE，因为，所以，又面PCD⊥面ABCD，面PCD面ABCD＝CD，面PCD，所以PE⊥底面ABCD．因为，，则，故．21.已知函数（1）求的值域；（2）讨论函数零点的个数.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）分和，分别求出对应函数的值域，进而可求出结果；（2）作出函数的图象，数形结合即可分析出结果.【小问1详解】当时，，对称轴为，开口向上，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即值域为；当时，，则在上单调递减，且，所以，即值域为，故的值域为.【小问2详解】由，得，则零点的个数可以看作直线与的图象的交点个数，当时，取得最小值，的图象如图所示.①当时，直线与的图象有0个交点，即零点的个数为0；②当或时，直线与的图象有1个交点，即零点的个数为1；③当或时，直线与的图象有2个交点，即零点的个数为2；④当时，直线与的图象有3个交点，即零点的个数为3.综上：①当时，零点的个数为0；②当或时，零点的个数为1；③当或时，零点的个数为2；④当时，零点的个数为3.22.已知圆O：，点，点，直线l过点P．（1）若直线l与圆O相切，求l的方程；（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，且M的纵坐标为－，求△NAB的面积．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论求解，当直线斜率存在时，根据点到直线的距离公式求参数即可；（2）设直线l方程为，，进而与圆的方程联