(完整版)初二数学经典难题(带答案及解析)

210分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN310分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．410分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．线段BC上，且PE=PB．（2）设AP=x，△PBE的面积为y．（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例1010分2007福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．于P，Q两点（P点在第一象限若由点A，B，P，Q为分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．∵正方形ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵∠PAD=∠PDA=15°，∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，在正方形内做△DGC与△ADP全等，∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，∴DP=DG=PG，在△DGC和△PGC中，∴△DGC≌△PGC，∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，210分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．解答：证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．∵N是CD的中点，且NG∥AD，∴NG=AD，G是AC的中点，又∴M是AB的中点，∴MG∥BC，且MG=BC．∵AD=BC，∴NG=GM，△GNM为等腰三角形，∴∠GNM=∠GMN，∵GM∥BF，∴∠GMF=∠F，∵GN∥AD，∴∠GNM=∠DEN，∴∠DEN=∠F．310分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，∴PQ为梯形EFSR的中位线，∴PQ=（ER+FS∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS同理Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER=AT，FS=BT，∴ER+FS=AT+BT=AB，∴PQ=AB．410分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．分析：根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，进而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出AEBP共圆，即可得出答案．解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，∵AD∥EP，AD∥BC．∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，∴AE∥DP，BE∥PC，∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，∴∠PAB=∠PCB．直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点C作CF⊥BE于点F，△CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾∴△APB≌△CEB，∴BE=PB=2a，∴PE==2a，在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，∴∠PEC=90°，∴∠BEC=45°+90°=135°，过点C作CF⊥BE于点F，∴CF=EF=CE=a，（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2，（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值8分）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+410分）线段BC上，且PE=PB．（2）设AP=x，△PBE的面积为y．分析1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD﹣GP，∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS∴PE=PD．∴∠DPE=90度．∴PE⊥PD．（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形，四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，∵AP=x，∴PM=x，∴BF=PM=，PF=1﹣△PBE=BE×PF=BF•PF=x2+x2+yx0＜x＜y．（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．梯形梯形OBCD=：（（3）设点P的坐标为（m，n易得C（m，3CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=PE．∴反比例函数的解析式为y=（x＞0）∴B（2，3）∵直线y=k1x+b过A（1，6B（2，3）两点∴∴（3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE．设点P的坐标为（m，n过B作BF⊥x轴，∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3∴C（m，3CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2∴m=4，又mn=6∴n=，即PE=CE∴PC=PE．1010分2007•福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．于P，Q两点（P点在第一象限若由点A，B，P，Q为把x=4代入y=x中∴A（4，2∴k=4×2=8；过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．∵S矩NDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．过点C、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∴S△COE=S△AOF=4，∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF．∴S△COA=S梯形CEFA．∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15，∴S△COA=15；∴OP=OQ，OA=OB，∴四边形APBQ是平行四边形，∴S△POA=S平行四