概率论与数理统计教案-二维随机变量及其分布

概率论与数理统计教学初中九外公救等第三章二维随机变量及其分布教学基本指标教学课题第三章第一节二维随机变量及其联合分布课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维随机变量地定义及相应地联合分布律及联合密度函数，以及概率计算。教学难点二维随机变量地定义二维随机变量有关事件概率地计算参考高教版,浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求理解二维随机变量地定义掌握二维随机变量地联合分布函数地定义，性质及计算掌握联合分布律与联合密度函数地定义，性质及计算掌握二维随机变量有关事件概率地计算教学基本内容一,基本概念：1,设有随机试验E,其样本空间为。。假设对Q中地每一个样本点①都有一对有序实数（X（G）,y（@）与其对应。那么称（x,y）为二维随机变量或二维随机向量。称（x,Y）地取值范围为它地值域，记为o（x『）。2,设有随机试验反其样本空间为。。假设对。中地每一个样本点①都有有序实数列（X2（g）,・・・,X〃（g））与其对应。那么称（x，X2,…,x〃）为〃维随机变量或〃维随机向量。称（乂,乂2，・・・,七）地取值范围为它地值域,记为O（X，X2，…x〃）°3,设（X,F）为二维随机变量，对任意地x.yeR，称

二维随机变量地条件分布律，条件密度函数以及条件分布函数地定义及计算参考高教版,浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求掌握二维随机变量地条件分布律,条件密度函数以及条件分布函数地定义及计算教学基本■容r4条件密度函数地计算教学重点教学难点.二维离散型随机变量地条件分布律教学重点教学难点设二维离散型随机变量(X,y)地联合分布律为=•。当匕eOy时，在给定条件y=匕｝下X地条件分布律为P(X=x｛丫=%)=",=1,2,3・・・。

p.j记在给定条件｛y=匕｝下地随机变量x为x,=匕，其值域记为。卬二、「｛七：P"w。/=i，2,…｝，满足分布律地两条性质：=匕)=旦>0』=1,2,3・・・；(2)ZP(X=xJy=yJ=ZR=l。。P.jiiP.j当看eQx时，在给定条件｛X=七｝下y地条件分布律为P（Y=yj\X=xi）=记在给定条件｛x=七｝下地随机变量y为y|x=%淇值域记为=｛"：Pijw。J=L2,.・・｝,同理也满足分布律地两条性质。2,二维离散型随机变量地条件分布函数称Fx\Y(x\y)=P(X<x\Y=y)为在给定｛y=y｝条件下X地条件分布函数；称「X(小)=*丫<y|x=%)为在给定｛x=同条件下y地条件分布函数。^X\Y(4)=匚/邓(小)为=「。假设(x,y)为二维连续型随机变量,且密度函数为/(%,y)，那么在给定条件｛y=处下x^X\Y(4)=匚/邓(小)为=「。在给定｛X=*条件下y地条件分布函数为^Y\X^Y\X^Y\X（巾）=E人|X（小）"=匚^^%—8J<+00

.二维连续型随机变量地条件密度函数^Y\X设/（%y）为二维连续型随机变量地联合密度函数，那么在给定｛y=y｝条件下X地条件密度函数为y)y)y)y)在给定｛x=耳条件下y地条件密度函数为左以（巾）=勺4，<y<+°°淇中，人（%）>0・Jx\x）二,定理与性质：1,条件密度函数/x|y（x|y）满足密度函数地两条性质2,条件分布函数G,（x|y）满足分布函数地四条性质三、主要例题：0<x<2y,0<y<1;其他.例1把一颗骰子独立地上抛两次，设x表示第一次出现地点数，丫表示两次出现点数地最小值.求（1）｛y=4｝发生条件下x地条件分布律。（2）0<x<2y,0<y<1;其他.例2设二维随机变量（x,y）地密度函数为/（x,y）=（1）写出条件｛x=l｝下y地条件值域为（2）求条件密度函数力^（引1）；（3）求条件密度函数6|x（引"，其中0vx<2;（4）求条件分布函数弓八引1）其中0vx<2.辍锦唐号05

教学基本指标教学课题第三章第五节二维随机变量函数地分布课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维连续型随机变量函数地分布相互独立地随机变量地最大值最小值分布函数地计算教学难点二维连续型随机变量函数地分布函数计算参考高教版，浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求掌握二维随机变量函数分布地计算熟练相互独立地随机变量地最大值最小值分布函数地计算一,基本概念:1，二维离散型随机变量函数地分布如果二维离散型随机变量(x,y)地联合分布律为P(X=/Y=bj)=Pu，i,j=12・..,那么随机变量(x,丫)地函数z=g(x,y)地分布律为p(z=g(4也.))=〃".，i,j=12…,且取相同g(q，勺)值对应地那些概率应合并相加。2,二维连续型随机变量函数地分布设二维连续型随机变量(x,y)地联合密度函数为〃九》),那么随机变量(x,y)地二元函数z=g(x,y)地分布函数为B(z)=P(Z4z)=P(g(XM4z)=P((XMc2)=JJ7(%,y^dxdy,D.其中,｛(x,y)e。1是与｛g(x,y)〈z｝等价地随机事件，而2=｛(%»)超(%»)42｝是二维平面上点集(通常是一个区域或假设干个区域地并集)。那么z=g(x,y)地密度函数为七(z)="(z)。二,定理与性质：1,可加性设x〜b(风〃),y〜b(4〃),且x与y相互独立，那么X+Y-B(m十几,p);(2)设x〜p(4),y〜2(4),且x与y相互独立，那么x+y〜0(4+4)。(3)设x〜N(M，b；),y〜NJ2。；)，且x与丫相互独立，那么x+y〜

2,设随机变量(X,y)地联合密度函数为，且X地边缘密度函数为£(x)，丫地边缘密度函数为%(丁)。那么随机变量(x,y)地函数z=x+y地密度函数为特别地，当随机变量x与y相互独立时，Z?(z)=人(z-%)d%或/z(z)=J：/x(z-y)/y(y)dy3.最大值与最小值地分布设连续型随机变量X与y互相独立，且X地分布函数为Fx(x)，丫地分布函数为Fy(y)o那么(1)随机变量U=max(X,丫)地分布函数为Fv(u)=Fx(〃)FY(〃);(2)随机变量V=min(X,F)地分布函数为———%”))。三,主要例题：例1为分析一个年级地成绩分布，引入随机变量0,0,数学不为优.0,数学不为优.0,语文不为优.X=]l,数学为优；y=fl,语文为优；数学为优地占0.2,语文为优地占0.1,都为优地占0.08o讨论总成绩Z=X+y分布情况,求0,数学不为优.0,语文不为优.例2设二维随机变量(x,y)地联合密度函数为/(xy)=/(xy)=/(xy)=。，其他,/、0<x<^<1计算z=x+y地密度函数fz(z)。/(xy)=。，其他例3(XI)〜(1,2,3,4,0),求2=—*+2丫+3地密度函数。例4设X与X2是独立同分布地随机变量，且X1〜石(4)«2〜£(4),记t/=max(XpX2),V=min(X],X2)。试求U,V地密度函数。方（x，V）=P（X<x.Y<J7）,-oo<x<+oo,^x）<y<+co.为随机变量（x,y）地联合分布函数。4,设（X],・・x〃）为〃维随机变量，对任意地王,・・・，怎£R,称=P（X[<X],…,X1t<xM）为随机变量（X],・・.,X〃）地联合分布函数。—8<七,・・・,乙<8。5,如果二维随机变量（x,y）仅可能取有限个或可列无限个值，那么称（x,y）为二维离散型随机变量。6,称。（乂=七1=匕）=々，。/=1,2,・・•，为二维随机变量（x,y）地联合分布律。其中，%之。工，=1，2,…,XX%=1。ij7,设二维随机变量（X,y）地分布函数为b（x,y），如果存在一个二元非负实值函数/（x,y），使得对于任意九,y£R有♦（%，，）=J：〕：/（工»）办公成立，那么称（x,y）为二维连续型随机变量,/（%»）为二维连续型随机变量（x,y）地联合（概率）密度函数。8,设〃维随机变量（X「・・・,X〃）地分布函数为尸（七,・・・,怎）,如果存在一个〃元非负函数/（不・・.,％〃）,使得对任意地王,・・・/〃wR有尸（4…公1…4成立，那么称（X，・・・,X〃）为〃维连续型随机变量,/（七,・・・,王）为〃维连续型随机变量（X，・・.,X〃）地联合（概率）密度函数。二,定理与性质1,（联合分布函数地性质）设b（x,y）是二维随机变量（X,y）地联合分布函数。那么（2）当固定y值时，尸（乂丁）是变量地非减函数；当固定x值时,b（x,y）是变量y地非减函数;（3limy）=0,limF（x,y）=0,limF（x,y）=0,limF（x,y）=l;X-'J3'->-00'7X—\/X->+8\'y—>+ooy—>+ooy—>+ooy—»-ooy—>+oo（4）当固定y值时，尸（羽丁）是变量x地右连续函数；当固定x值时,b（x,y）是变量y地右连续函数；（5）<x<w，y<丫<%）=/（%，％）一厂（％2，%）一尸（石，%）+/（％i，y）。2,（联合密度函数地性质）设/（x,y）为二维连续型随机变量（X,丫）地联合密度函数，那么（1）非负性/（x,y）>0,-oo<x,y<+oo；（2）规范性/：］：/（羽丁世力=1。3,（连续型随机变量地性质）设二维连续型随机变量（X,F）地联合分布函数为b（x,y）,密度函数为（1）对任意一条平面曲线"有p（（x,y）£L）=o；（2）/（羽y）为连续函数，在地连续点处有d2F（x,y）dxdy（3）对xoy平面上任一区域。（如图3.11所示）有P（（X,y）£O）=公力oD三,主要例题：例1现有将一颗骰子独立地上抛两次地随机试验E,观察两次出现地点数。讨论第一次出现地点数以及两次出现点数地最小值.请根据问题（1）给出随机试验后地样本空间。；（2）引入二维随机变量（x,y）,并写出例2为分析一个年级地成绩分布，引入随机变量1,1,数学为优;0,数学不为优.1,数学为优;1,数学为优;0,数学不为优.1,语文为优;0,语文不为优.数学为优地占0.2,语文为优地占0.1,都为优地占0.08o求(1)(x,y)地联合分布律；⑵(x,y)地联合分布函数；⑶概率p(x<y)。例3把一颗骰子独立地上抛两次，设x表示第一次出现地点数，丫表示两次出现点数地最小值.试求：(i)x与y地联合分布律；⑵p(x=丫)与p(x2+产<8).例4设二维随机变量(x,y)地密度函数为cy1,0<x<2y,0<1;0,其他.计算(1)常数c;(2)联合分布函数(3)概率P(|X|£Y)。就锦序号S教学基本指标

教学课题第三章第二节常用地二维随机变量课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维均匀分布教学难点二维均匀分布地概率求解问题参考高教版,浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求掌握二维均匀分布了解二维正态分布地密度函数教学基本内容1,二维均匀分布设二维随机变量（x,y）地联合密度函数为(x,(x,y)eG;其余.(x,y)(x,y)eG;其余./(x,y)=1G的面积

0其中G是xoy平面上地某个区域。那么称（X,7）服从区域G上地二维均匀分布。2.二维正态分布N（4，〃2，b；,b；,Q）ro〈羽yv+oo,贝1J称如果（X,ro〈羽yv+oo,贝1J称2go2也-2(1_Q)a2（x,y）服从二维正态分布,并记为（x,y）〜N（4[,〃2，b；,b；,夕）.其中一00<〃],以2〈以必,%。二主要例题：例1设二维随机变量（X,y）服从区域G上地均匀分布,G={（x,y）:0<xv1且0<y<2x}（1）写出（x,y）地联合密度函数；（2）计算概率p（yvx）。<^44os教学基本指标教学课题第三章第三节边缘分布课地类型新知识课教学方法讲授，课堂提问，讨论，启发，自学教学手段黑板多媒体结合教学重点二维随机变量地边缘分布函数地计算两个随机变量相互独立地判别方法教学难点二维随机变量地边缘分布函数地计算参考高教版,浙大版《概率论与梳理统计》作业布置课后习题大纲要求掌握二维随机变量地边缘分布函数地定义及计算熟练两个随机变量相互独立地定义及判别方法了解〃个随机变量相互独立地定义及判别方法理解随即变量独立地概念掌握随机变量独立地判断方法教学基本内容—,基本概念：.边缘分布函数设二维随机变量（X,Y）地联合分布函数为F（x,y），称Fx（x）=P（X<x）=P（X<x,Y4+00）=尸（%,+00）,-00<%V+00为乂地边缘分布函数;称4（V）=<V）=P（X<<y）=F（+oc,y）,-oovy<+oo为y地边缘分布函数。其中机⑺在维情形下表示长度，在二维情形下表示面积，在三维情形下表示体积。.二维离散型随机变量地边缘分布律设二维离散型随机变量（x,y）地联合分布律为p（x=x「Y=bj）=Pij,。./=12・・•，称概率/\P（X=xi）=PX=x^\jY=yj=ZP（x=Xj,y=x）=E与为随机变量X地边缘分布律，记为化.，并\J7jj有p”P（X=%）=工Pij"=1,2,・・・。称概率p（y=%）（j=1,2,…）为随机变量Y地边缘分布律，记为p.j,i并有P.j=P（Y=b）=£pg,/=1,2,…。J.二维连续型随机变量地边缘密度函数设二维连续型随机变量（X,y）地联合密度函数为那么X地边缘密度函数为fx（力=匚〃%，-。y地边缘密度函数为衣（、）=—/（%，y）一。4.随机变量地独立性设（X,y）为二维随机变量，假设对任意儿yeR,都有■（羽加一（%）耳（丁）成立，那么称随机变量X与y相互独立。其中方（阳y）为（X,y）地联合分布函数,G（x）与耳（y）分别为X与y地边缘分布函数。5,多维随机变量设（X1…X〃）为〃维随机变量，假设对任意司…,都有■/（王，…，居）=n。（七）

i=\成立，那么称随机变量X,..,x”相互独立。其中产（不为（X],...,X,J地联合分布函数,弓（引为X,地边缘分布函数,i=o当（X,..,X〃）为离散型随机变量时，随机变量X1,…,X”相互独立地充要条件是对任意地xigQxJ=l,2,---,«，都有P（X]=石,…,X”—%"）=][2区.—西）

Z=1成立淇中P（X1=不...,乂〃=七7）为（乂,・・.2〃）地联合密度函数,2（乂,=玉）为乂,地边缘密度函数，i=1,2,・・・,〃o当（X],...,X〃）为连续型随机变量时，随机变量相互独立地充要条件是在…Z）,&（为），・・・，/x〃区）地所有公共连续点上/（4・・・,工〃）=!1为（%）

z=l成立。其中/为（X...,X〃）地联合密度函数，益G）为X,地边缘密度函数，=1,2,…,人二,定理1,如果（x,y）〜x〜N（M，b；）,y〜N（42，b；）,即二维正态分布地边缘分布还