实数经典例题及习题 竞赛

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类型一．有关概念的识别

1．下面几个数：，…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）

A、1B、2C、3D、4

解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，…，3π，是无理数

故选C

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的是（）

A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）

A、1B、C、D、

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．

【变式3】

【答案】∵π=…，∴9＜3π＜10

因此3π-9＞0，3π-10＜0

∴

类型二．计算类型题

2．设，则下列结论正确的是（）

A.B.

C.D.

解析：（估算）因为，所以选B

举一反三：

【变式1】1）的算术平方根是__________；平方根是）-27立方根是__________.3）___________，___________，___________.

【答案】1）；.2）-3.3），，

【变式2】求下列各式中的

（1）（2）（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合

3.点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，

举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）．

A．－1B．1－C．2－D．－2

【答案】选C

[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

化简

【答案】：

类型四．实数绝对值的应用

4．化简下列各式：

(1)||(2)|π|

(3)|-|(4)|x-|x-3||(x≤3)

(5)|x2+6x+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。

解：(1)∵=…＜

∴||=

(2)∵π=…＜

∴|π|=π

(3)∵＜,∴|-|=-

(4)∵x≤3,∴x-3≤0,

∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3|=

说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。

(5)|x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0,∴(x+3)2+1＞0

∴|x2+6x+10|=x2+6x+10

举一反三：

【变式1】化简：

【答案】=+-=

类型五．实数非负性的应用

5．已知：=0，求实数a,b的值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a,b的值。

解：由题意得

由(2)得a2=49∴a=±7

由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7,b=21为所求。

举一反三：

【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0,≥0,|y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴解这个方程组得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65

【变式2】已知那么a+b-c的值为___________

【答案】初中阶段的三个非负数：，

a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2

类型六．实数应用题

6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为xcm，

根据题意得x2=112+13×8

∴x2=225

∴x=±15

∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新的正方形边长应取15cm。

举一反三：

【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么

（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积

多24cm2，求中间小正方形的边长.

解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：

，所以面积为=

大正方形的面积=，

一个长方形的面积=。

所以，

答：中间的小正方形的面积，

发现的规律是：（或）

(2)大正方形的边长：，小正方形的边长：

，即，

又大正方形的面积比小正方形的面积多24cm2

所以有，

化简得：

将代入，得：

cm

答：中间小正方形的边长cm。

类型七．易错题

7．判断下列说法是否正确

（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.

（3）当x=0或2时，（4）是分数

解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故

（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，

故的平方根是.

（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，

发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.

（4）错在对实数的概念理解不清.形如分数，但不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高

8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.

（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③

（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．

解：由得

的整数部分a=5,的小数部分，

∴

（2）解：(1)设x=①

则②

②-①得

9x=6

∴.

(2)设①

则②

②-①，得

99x=23

∴.

(3)设①

则②

②-①，得

999x=107，

∴.学习成果测评：

A组（基础）

一、细心选一选

1．下列各式中正确的是（）

A．B.C.D.

2.的平方根是()

A．4B.C.2D.

3.下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是

无理数。其中正确的说法有（）

A．3个B.2个C.1个D.0个

4．和数轴上的点一一对应的是（）

A．整数B.有理数C.无理数D.实数

5．对于来说（）

A．有平方根B．只有算术平方根C.没有平方根D.不能确定

6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数

的个数有（）

A．3个B.4个C.5个D.6个

7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）

A．B.C.D.

8．下列各组数中，互为相反数的是（）

A．-2与B.∣-∣与C.与D.与

9．-8的立方根与4的平方根之和是（）

A．0B.4C.0或-4D.0或4

10．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）

A．B.C.D.

二、耐心填一填

11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。

12．的算术平方根是_______，=______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。

14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。

15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：___+___=6。

16．大于，小于的整数有______个。

17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。

18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。

19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。

20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。

三、认真解一解

21．计算

⑴⑵⑶

⑷∣∣+∣∣⑸×+×

⑹4×[9+2×（）]（结果保留3个有效数字）

22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：

参考答案：

一:1、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C10、D

二：11、，π-312、3，

13、0；0，；0，114、15、答案不唯一如：16、5

17、18、-1519、220、1，9

三：

21、⑴⑵-17⑶-9⑷2⑸-36⑹

22、

B组（提高）

一、选择题：

1．的算术平方根是（）

A．B．C．D．

2．的平方根是（）

A．－6B．36C．±6D．±

3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，

其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．在下列各式中，正确的是（）

A．;B．;C．;D．

5．下列说法正确的是（）

A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数

6．下列说法错误的是（）

A．B．C．2的平方根是D．

7．若，且，则的值为（）

A．B．C．D．

8．下列结论中正确的是（）

A．数轴上任一点都表示唯一的有理数;B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;

C.两个无理数之和一定是无理数;D.数轴上任意两点之间还有无数个点

9．-27的立方根与的平方根之和是（）

A．0B．6C．0或-6D．-12或6

10．下列计算结果正确的是（）

A．B．C．D．

二．填空题:

11．下列各数：①、②……、③、④π、⑤、⑥、

⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有

______