201641高等代数(二)作业(高起本)

高等代数（二）作业一、以下判断是否正确，并说明理由1、实数域R可以看成复数域C上的向量空间。2、一个向量组若有线性无关的部分向量组，则该向量组线性无关。3、若矩阵A与B相似，则A与B的特征值相同。4、(xx1 2

,x)(x3

x,x2

x,x3

xR3上的线性变换。12 0 2 5、若二次型的矩阵是0 1 4，则二次型为 2 4 f(x,x1 2

,x)2x3 1

x2

3x23

2xx1

4xx2 36、数域F上次数小于n的全体多项式以及零多项式，对于多项式的加法和数乘构成F向量空间。7、因为kkk1 2 3

0k1 1

k2

k3

0，所以,,1 2

线性相关。8,,V中的线性变换，若，则。9、W1

x, x|xxxR（i=1，2，3）}R3的子空间。2 3 1 2 3 i2 1 2 110、二次型f(x,x11 2

,x)2x25x3 3

xx1

2xx1

3xx2

的矩阵是1 0 3。 2 3 Pn阶对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数量乘法，构成数域P上的向量空间。12f(xx1 2

,x)2x3 1

5x3

2是正定二次型。13、是向量空间V 中的线性变换，若,, 是V 中线性相关的向量，则1 2 3),),也线性相关。1 2 31、设,是欧氏空间中夹角为的两个非零向量，若,(kR，则k为正实数的充分必要条件为0。15、W{(x,x1 2

,1)|x,x1

R}是向量空间R3的子空间。16、n(1)次实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法，构成实数域上的向量空间。17、(aa1 2

,a)(a3

a,a2

a,0),a3

F （i=23，是F3上的线性变换。18、n阶矩阵A与B相似的充分必要条件是A与B的特征多项式相同。19、若,线性无关，则+，也线性无关。1 2 1 2 1 220、在欧氏空间中，若与，，都正交，则与，，的任意线性组合也1 2 3 1 2 3正交。二、证明 1、1 2

,n

',1

',2 n

是n维向量空间V的两组基，前者到后者的过渡矩阵为A，设V中向量在这两组基下的坐标分别为x,x1 2

,xn

和y,y1

,yn

。试证x y 1 1x2

y2x yn n2可以由,,,,,,1 2 r 1 2 r3、已知R3中的两组向量1

，20) 2

(0)，30)

(0, ，和1 ， 2 ， 31）,,和,,分别是3的两组基；1 2 3 1 2 3（2）求两组基之间的过渡矩阵。4、设V的线性变换，V下的基

,

下的矩阵是A，向 1 2 n量 在这组基下的坐标是x 1

x, 2

x 。试证，n

( )在这组基下的坐标y, y1 2

y 满足n5、用正交变换化二次型f(x,x1 2

,x)6x3 1

5x22

7x23

4xx1

4xx1

为标准型，并写出所用的正交变换。y x 1 1y2

x2 。y xn n6、若,,,是向量空间V的一组基，试证，，+，+也是V的1 2 3 4 1 2 2 3 3 4一组基。7、1、在向量空间R3中，(1 1 2求证：,线性无关；1 2把,R3的一组基；1 2

（3）求出(

2, 在这组基下的坐标。8、设V的线性变换，V的基,1 2

,n

下的矩阵为A，向量在这组基下的坐标是x,1

x x2

试证()在这组基下的坐标, y1 2

y满n足y x 1 1y2

x2 y xn n1 2 29、设A2 2

，求正交矩阵P，使PAP为对角形。 2 4 101 2

是线性变换的两个不同的特征值1

是分别属于2 1

的特征向量，试证：不是的特征向量。1 2、是数域F上向量空间V的线性变换，在V的基, , 下的矩阵为1 2 3a a a1 2 3

,

,

, 0b b b

在基k

下的矩阵，这里k Fk 。1 2 3

2 3 1c c c1 2 3122,

和,

是n维向量空间V1 2 n 1 2 n的过渡矩阵为A，设V中向量在这两组基下的坐标分别是（x1

x, x）和2 n（y, y1 2

, y ）nx y 1 1试证x2

y2 。x yn n13、证明，如果W,W1 2

都是线性变换W1

W也是的不变子空间。214f(xx1 2

,x)3x3 1

3x22

3x23

2xx1

2xx1

2xx2 3为标准型，并写出所用的正交变换。三、计算t满足什么条件时f(xx1 2

,x)x3