学案从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

10/10从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3．3．1从函数观点看一元二次方程 【学习目标】1．了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系。2．会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况。3．用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养。【学习重难点】会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况。【学习过程】一、新知初探1．二次函数的零点一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点。2．二次函数图象、一元二次方程的根与零点之间的关系（当a>0时）判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异实根x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)两相等实数x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点有两个零点x1，2＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)有一个零点x1＝x2＝－eq\f(b,2a)无零点二、初试身手1．二次函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是________。2．二次函数y＝x2－x＋1有________个零点。3．二次函数的零点与一元二次方程有何关系？零点是个点吗？三、合作探究题型一二次函数零点的判断【例1】判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点。（1）y＝－x2＋2x＋3．（2）y＝x2－x－6．（3）y＝2x2＋3x＋2．题型二函数零点与参数的值【例2】若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点。题型三一元二次方程根的分布【例3】已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在（0，2）内，求实数m的取值范围。【学习小结】1．结合二次函数的图象判断一元二次方程根的分布，提升直观想象素养和逻辑推理素养。2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点就是方程y＝0的实数根，也就是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标；所以函数的零点是一个数而不是一个点，在写函数零点时，所写的一定是一个数，而不是一个坐标。注意问题的相互转化。【精炼反馈】1．函数y＝x2＋x＋3的零点个数是（）A．0 B．1C．2 D．32．函数y＝2x2－5x＋2的零点是（）A．（2，0），eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) B．（－2，0），eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))C．2，eq\f(1,2) D．－2，－eq\f(1,2)3．若一元二次方程x2－4x＋2k＝0有实数根，则k的取值范围是________。4．函数y＝x2－5x－14的零点是________。5．判断下列函数是否有零点，若有，求出零点。（1）y＝x2－3x－4；（2）y＝x2－4x＋15．3．3．2从函数观点看一元二次不等式【第一学时】一元二次不等式的解法【学习目标】1．理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系。2．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。3．从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养。【学习重难点】理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系。【学习过程】一、新知初探“三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的重要依据Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅二、初试身手1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个2．不等式（x＋2）（x－3）>0的解集是________。3．不等式x2<2的解集是________。三、合作探究题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：（1）x2－5x－6>0；（2）（2－x）（x＋3）<0；（3）4（2x2－2x＋1）>x（4－x）。题型二“三个二次”间对应关系的应用【例2】已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)<x<\f(1,3)))，求2x2＋bx＋a<0的解集。题型三解含参数的一元二次不等式角度1讨论两根大小【例3－1】解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a∈R）。角度2讨论二次项系数【例3－2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax（x∈R）。角度3讨论判别式【例3－3】解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0（a∈R）。【学习小结】1．从函数观点认识不等式，感悟“三个二次”之间的关系，提升数学抽象素养和数学运算素养。2．对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏。一般方法是：（1）当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类。（2）判别式大于零时，还需要讨论两根的大小。（3）判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论。3．三个“二次”之间的关系（1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究。（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题。【精炼反馈】1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是（）A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(1,3))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))C．∅ D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,3)))2．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是（）A．1 B．2C．3 D．43．不等式x2－3x－10<0的解集是________。4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是______________。5．已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集。【第二学时】一元二次不等式的应用【学习目标】1．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。2．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决。3．从函数观点认识不等式，解决不等式的实际问题，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养，在解决实际问题时，培养数学建模素养。【学习重难点】借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。【学习过程】一、新知初探1．利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：（1）选取合适的字母表示题目中的未知数；（2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）；（3）求解所列出的不等式（组）；（4）结合题目的实际意义确定答案。2．简单的分式不等式的解法系数化为正，大于零要取“两端”，小于零要取“中间”二、初试身手1．不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集为________。2．若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≤－2C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤23．不等式①eq\f(x＋1,x＋2)>0；②eq\f(x＋1,x＋2)≥0.想一想（1）不等式①与（x＋1）（x＋2）>0同解吗？（2）不等式②与（x＋1）（x＋2）≥0同解吗？（3）不等式①和②是同解不等式吗？三、合作探究题型一简单分式不等式的解法【例1】解不等式：（1）eq\f(x＋1,2x－1)<0；（2）eq\f(1－x,3x＋5)≥0；（3）eq\f(x－1,x＋2)>1．题型二不等式在实际中的应用【例2】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担。政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x>0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点。（1）写出降税后税收y（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83．2%，试确定x的取值范围。题型三不等式恒成立问题角度1在R上恒成立问题【例3－1】（1）已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）<0恒成立，求实数k的取值范围；（2）若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围。角度2在给定闭区间上的恒成立问题【例3－2】设函数y＝mx2－mx－1．（1）若对于一切实数x，y<0恒成立，求m的取值范围；（2）对于x∈[1，3]，y<－m＋5恒成立，求m的取值范围。【学习小结】1．从函数观点认识不等式，列不等式解决实际问题，提升数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养。在实际问题解决中，提升数学建模素养。2．解分式不等式的思路是转化为整式不等式。注意分母不为零。3．一元二次不等式恒成立问题（1）转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0（a≠0）恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))ax2＋bx＋c<0（a≠0）恒成立⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题。【精炼反馈】1．不等式eq\f(x－1,x－2)≥0的解集为（）A．[1，2] B．（－∞，1]∪[2，＋∞）C．[1，2） D．（－∞，1]∪（2，＋∞）2．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的