高一用高中数学必修2知识点总结1

直线与圆归纳 毛老师直线与圆的归纳总结一、直线与方程直线的倾斜角定义：x轴之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x0度。因此，倾斜角的取值范围是直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 0

时，k0； 当90

时，k0； 当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：ky2y1(x x)x x 1 22 1注意下面四点：(1)当x1

x时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；2P1(2)k与PP1

的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；2(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。直线方程y

k(x

)直线斜率k，且过点x,y1 1 1 1注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y。1当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x，1所以它的方程是x=x。1ykxb，直线斜率为，直线在y轴上的截距为b③两点式：

yy1

xx（ 1 （

x,y

y）直线两点

x,y，x,yyy2 1

xx2

1 2 1

1 1 2 2④截矩式：xy1a blx轴交于点(a,0),y轴交于点(0,b),lxy轴的分别为a,b。AxBy

0（A，B不全为0）注意1各式的适用范围 2特殊的方程如：平行于x轴的直线：yb（b为常数； 平行于y轴的直线：xa（a为常数；直线系方程：即具有某一共同性质的直线①平行直线系A0

xB0

yC0

0（A,B0 0

是不全为0的常数）的直线系：A0

xB0

yC0（C为常数）②过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：yy 0

xx0

，直线过定点

x,y；0 0（ⅱ）过两条直线l:AxByC 0，l :AxBy

0的交点的直线系方程为1 1 1 1 2 2 2 2xBy

AxByC0（为参数，其中直线l

不在直线系中。1 1

2 2 2 2两直线平行与垂直当l :yk1

xb，l1

:yk2

xb时，2l//l1

k k,b1 2

b；l l2 1

kk1

1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。两条直线的交点1直线与圆归纳 毛老师l:AxByC0 l :AxBy

0相交1 1 1 1 2 2 2 2交点坐标即方程组AxByC0的一组解。1 1 1AxB2 2

yC 02方程组无解l1

//l2

； 方程组有无数解l1与l2重合(xx)2((xx)2(yy)2线距离公式：一点Px,2 12 1

，B

y是平面直角坐标系中的两个点，则|AB|（9

1 1 2

AxByC0 0A2B2AxByC0 0A2B21）点到直（10）两平行直线距离公式

y 到直线0 0

的距离d在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程

2yb2

r2，圆心

，半径为r；12D2E12D2E24F

y

DxEyF0D

E

4F0时，方程表示圆，此时圆心为

D E，半径为 , r 2 2D2E24F0D2E24F0时，方程不表示任何图形。求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：d设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到ld

AaAaBbCA2B2drl与C相离drl与C相切drl与C相交设直线l:AxByC0，圆C:xa其中的判别式为，则有

yb

r2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令0l与C相离；0l与C相切；0l与C相交 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx表示半径。 过圆上一点的切线方程：

yy0

r2

x,y0

表示切点坐标，r22

+y=r2，圆上一点为(x

，y)

r

(课本命题)．200②圆 ， 0 0200(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x

y)，则过此点的切线方程为(x

-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．0 0 0 04通过两圆半径的和（差，与圆心距）之间的大小比较来确定。设圆C:xa

2

2r2，C :

2yb2R2两圆位置关1 常通过1圆半径的2（差，2圆心距）之间的大小比较来确定当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；RrdRr当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线当dRr时，两圆内含； 当d0时，为同心圆。2直线与圆归纳 毛老师三、空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M(x,yz)，x叫做点My叫做点M的纵坐标，z叫做点标。4空间两点间的距离公式

M的竖坐1、空间中任意一点P(xy

P(xy

)之间的距离公式1 1 1 1

2 2 2 2 yzPzPP21OMHNM1M22N1N(x x(x x)2(y y)2(z z)21212121 2【题型归类】题型一：直线的倾斜与斜率问题例1 已知坐标平面内三点C(2,

3.3AB、BC、ACD为ABCAB上一动点，求直线CD斜率为k【审题要津】由题目可获取以下主要信息（）A、B、C直线CDAB.（3）解答本题可借助图形，第（1）问利用斜率公式求斜率，由斜率与倾斜角的关系求倾斜角.第（2）观观察得直线CD斜率k（）由斜率公式得3直线与圆归纳 毛老师11 3113k k3AB 1331133

.21 k AC 23

.在区间00,1800

范围内.y3CADB-1O12xtan0y3CADB-1O12xtan600 3,BC的倾斜角为600.tan300

,AC的倾斜角为300.333如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CDAB恒有DAB上，此时k由

增大到k

，所以k的取值范围为

3, 3 .3 CA CB

3 x（或重合位置按逆时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐增大到（即斜率不存在；按顺时针方向旋转到与y轴平行（或垂直）时，斜率由零逐渐减少到（即斜率不存在题型二：直线的平行与垂直问题例2 已知直线l的方程为3x4y120，求直线l的方,l满足（1）过点(1,3)，且与l平行；（2）过(1,3)，且与l垂直.【审题要津】解答本题可先求出l的斜率，然后又平行（垂直）也可由两直线平行（垂直）解：由题设l的方程可化为y3x3,l的斜率为3.4 4（1）由l与ll的斜率为3.4又l过，由点斜式知方程为y33(x即3x4y90.44直线与圆归纳 毛老师（2）lll的斜率为

)，由点斜式可得方程为y3

4(x)3 34x3y130.【规律总结】与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxByC 0，再由其他条件列方程求出C；1 1与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyC 0，再由其他条件求出C.2 2题型三：直线的交点、距离问题例3 已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1

xy1与l2

:xy10M在直线xy30上，求直线l的方程.【审题要津】已知直线l过点A(2,4),要求直线l的方程，只需求另外一点或直线l的斜率即可.解： 点M在直线xy30上，设点M的坐标为(t,3t).又点M到l,l1 2

的距离相等，即解得t

t(3t(3t)122

，tt(3t)12( , ).2 2又l经过点A(2,4)，3 3y x由两点式得 2 2,即5xy60.43 232 2题型四：直线方程的应用4已知直线l5ax5ya30.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；为使直线不经过第二象限，求a5直线与圆归纳 毛老师解：将直线l的方程整理为y3

a(x1)，5 5( , ( , l的斜率为A13A1( , ( ,

在第一象限，故不论a为何值，l 恒过第一象.55 5530（2）直线OA的斜率为k515

3.要使lyx0ya35

0,a3.【自我检测】1.若直线过点(4,2 3),则此直线的倾斜角是）.（A）300

（B）450（C）600

（D）900F的直线与过点M(k,0N(0k直线的位置关系是）.2 4（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合过点且垂直与直线x2y30的直线方程为）.(A)2xy10(B) 2xy50(C) x2y50 (D) x2y70B两点距离相等的点的坐标满足的条件是（B）.（A）4x2y5（B）4x2y5（C）x2y5（D）x2y5直线l1

:axybl2

bxya0(abab在同一直角坐标系中的图形大致是（C）.ly1lOxlly1lOxlyl2Oyl2O1 2 l2 2x O x O xl CA B 1抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最值是）.（A）4

(B)

7 8(C)

(D)33 5l被两直线l1

5:4xy6l2

3x5y60截得线段的中点是原点Ol的方程为x6y0 .8.（08浙江）已知a若平面内三点B(2,a2),C(3,a3)共线，则a= 1 2.9.（09湖北）过点且纵、横截距的绝对值相等的直线共有）.（A）1条(B)2条(C)3条(D)4条6直线与圆归纳 毛老师10.如图所示，在ABCBC边上的高所在直线的方程为x2y10BAC的平分线所在直线的方程y0B的坐标为A和点CyDAOx解：由x2y1yDAOxy0AB的斜率为k AB

201

.1.x轴是BAC的平分线，故AC的斜率为1，ACy(x.BC上的高所在直线的方程为x2y10， CBC的斜率为BCy22(x.顶点C的坐标为（5，-6）.2新疆已知直线l过点且被平行直线3x4y130与3x4y70截得的线段长为4 ，2求直线l的方程.ly1k(x3x4y1304k310k3

4k1710k3l的方程与4k3 4k33x4y70联立得交点坐标为B(

, ).4k3 4k3由|AB|4

，得k7或k .21721所求直线l的方程为7xy60或x7y80.y312*.已知实数x、y满足yx22x2(1x，试求 的最大值和最小.x2解：y3

的几何意义表示动点(xy与定点(2,3yx2

2x2上，x2在A(1,1),B(1,5)两点之间运动，故k

kk

4

k8

y3的最大值为8，最小值为4.PA PB

3 x2 3直线与圆的位置关系（典例）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0位置关系的判定：判定方法1：联立方程组(1)△>0 相交；(2)△=0 相切；(3)△<0

得到关于x(或y)相离。判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为dd<r 相交； (2)d=r 相切； (3)d>r 相离。7直线与圆归纳 毛老师例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点∴直线L与圆O相交。

，∵点P在圆O内，OL∴m∈R 所以直线LO法三：联立方程，消去y得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0

当d<3(2m-12<9(22+2∴14m+4m+17>0∴△=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17)当m≠1时，△>0，直线与圆相交；当m=1时，直线L： ，此时直线L与圆O相交综上得直线L与圆O恒相交。例2、求圆x2+y2=13x+4y=25P(cosα，sinα)为圆上一点，则点P=当 时，d=4.minL3x+4y=25垂直于点M，与圆有两个交点AB，∵原点到直线3x+4y=253x+4y=25最小值为：8直线与圆归纳 毛老师切线问题：3：(1)P(x，yC：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C0 0(xx+yy=r2)0 0法一： 点P(x，y是圆C：x2+y2=r2上一点0 0x≠0y≠00 0∴切线方程为P(0，r)时，切线方程为y=r(1)；P(0，-r)时，切线方程为t=-rP(r，0)时，切线方程为x=r(1)；Pr，0)时，切线方程为x=-r综上，所求切线方程为xx+yy=r20 0法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x)2+(y-y)20 0∴xx+yy=r2P(xyxx+yy=r2。0 0 0 0 0 0已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心OPT综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0

所以PT的方程为[评](1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1) ； （2）B(4，5)9直线与圆归纳 毛老师解：(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C法一设切线方程为 ，则圆心到切线的距离，∴所求切线方程为法二： ∵AC⊥l，∴所求切线方程为(2)点BB设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为又直线x=4也是圆的切线方程，∴所求切线方程为例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求

的取值范围。法一：u表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线l的斜率，如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，直线PB的方程为ux-y+u+2=0，圆心到直线PB的距离为10直线与圆归纳 毛老师∴x=cosα，y=sinα，则[评]法一利用数形结合的思想，是解决这类问题的基本方法。法二把这个几何问题转化为求三角函数值域的问题，但此三角函数问题计算量偏大，难