2020-2021学年七年级数学上册期末复习第一章《有理数》复习讲义含答案解析

2020-2021学年人教版七年级上册期末复习精选题考点讲义第一章有理数知识点1：有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：细节剖析（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．细节剖析（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．细节剖析（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．知识点2：有理数的运算1．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．细节剖析“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：，．2．运算律：（1）交换律:①加法交换律:a+b=b+a；②乘法交换律:ab=ba；（2）结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知识点3：有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．知识点4：科学记数法、近似数及精确度1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000=．2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.细节剖析一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.3.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.细节剖析（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些.考点1：正数和负数【例题1】（2013秋•龙口市期末）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有“、、”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差A． B． C． D．【解答】解．故选：．【变式1-1】（2009秋•宝应县校级期末）学校、家、书店，依次坐落在一条南北走向的大街上，学校在家的南边20米，书店在家的北边70米，小明同学从家出发，向北走了50米，接着又向南走了米，此时小明的位置是A．在家 B．在书店 C．在学校 D．在家的北边30米处【解答】解：向南走了米，实际是向北走了20米，此时小明的位置是在家的北边米处，即在书店．故选：．【变式1-2】（2019秋•芮城县期末）每袋大米以为标准，其中超过标准的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则图中第3袋大米的实际重量是49.3．【解答】解：，故答案为：．【变式1-3】（2019秋•息县期末）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：第1批第2批第3批第4批第5批（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？【解答】解：（1）答：接送完第五批客人后，该驾驶员在公司的南边10千米处．（2）（升答：在这个过程中共耗油4.8升．（3）（元答：在这个过程中该驾驶员共收到车费68元．【变式1-4】（2019秋•漳州期末）某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：“”表示进库，“”表示出库），，，，，．（1）经过这6天，仓库里的货品是减少（填增多了还是减少了）．（2）经过这6天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品460吨，那么6天前仓库里有货品多少吨？（3）如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费？【解答】解：（1）（吨，，仓库里的货品是减少了．故答案为：减少了．（2），即经过这6天仓库里的货品减少了40吨，所以6天前仓库里有货品吨．（3）（吨，（元．答：这6天要付860元装卸费．【变式1-5】（2018秋•恩施市期末）出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，（1）小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？（2）如果汽车耗油量为0.4升千米，油价每升5.80元，那么这天下午汽车共需花费油价为多少元？【解答】解：（1）．故小李距下午出发地有6千米远．（2）（元．故这天下午汽车共需花费油价为120.64元．考点2：数轴【例题2】（2019秋•新都区期末）已知有理数，，在数轴上的对应位置如图所示，则化简后的结果是．【解答】解：由有理数，，在数轴上的位置可知，，，，，，，故答案为：．【变式2-1】（2019秋•曲沃县期末）阅读与计算：出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：如下：，，，，，，，．（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？（2）将第几位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远？（3）若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？（4）若出租车起步价为5元，起步里程为（包括，超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？【解答】解：（1），答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在迎泽公园门口西边处．（2），，，，，，，．，将第6位乘客送到目的地时，小李离迎泽公园门口最远．（3）答：这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米．（4）元，答：小李这天上午共得车费56.8元．【变式2-2】（2019秋•万州区期末）有理数，，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是A． B． C． D．【解答】解：由有理数，，，在数轴上对应的点的位置可得，，，因此选项不正确；，，则，因此选项不正确；，，，因此选项不正确；，，且，，因此选项正确，故选：．【变式2-3】（2019秋•济源期末）如图，数轴上点、分别对应数、，其中，．（1）当，时，线段的中点对应的数是2．（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点对应着数．①当，，且时，求代数式的值；②．且时学生小朋通过演算发现代数式是一个定值，老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？【解答】解：（1），故答案为：2；（2）①由，，且，可得，整理得．所以，，②当，且时，需要分两种情形．Ⅰ：当时，，整理得．Ⅱ：当时，，整理得综上，小朋的演算发现并不完整．考点3：绝对值【例题3】（2020秋•市中区期中）已知是一个正整数，记．若（1）（2）（3），则的值为A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：当时，则，；当时，则，，（1）（2）（3）（4），设第个数时，即，开始为0，即，，（1）（2）（3）（4），即，解得，（舍去）．故选：．考点4：有理数大小比较【例题4】（2015秋•铁西区期末）如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为点，，，，若点，表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的有理数的点是A．点 B．点 C．点 D．点【解答】解：点，表示的有理数互为相反数，原点在的中点，此时点距原点最远，因此点所表示的数的绝对值最大，故选：．【变式4-1】（2019秋•凤翔县期末）有理数、在数轴上如图，（1）在数轴上表示、；（2）试把这、、0、、五个数按从小到大用“”连接．（3）用、或填空：，．【解答】解：（1）在数轴上表示为：（2）；（3），，故答案为：，．考点5：有理数的加法【例题5】（2018秋•铜陵期末）如图的正方形方格中共有9个空格，小林同学想在每个空格中分别填入0、1、2三个数字中的一个，使得处于同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和均不相等，你认为小林的设想能实现吗？A．一定可以 B．一定不可以 C．有可能 D．无法判断【解答】解：在每个空格中分别填入0、1、2三个数字中的一个，和有，共有7种情况，而同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和有8个，．故小林的设想一定不可以实现．故选：．【变式5-1】（2020春•肇东市期末）小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为：（单位：厘米），，，，，，．（1）小虫最后是否回到出发点？（2）小虫离开原点最远是多少厘米？（3）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？【解答】解：（1），所以小虫最后回到出发点；（2）第一次爬行距离原点是，第二次爬行距离原点是，第三次爬行距离原点是，第四次爬行距离原点是，第五次爬行距离原点是，第六次爬行距离原点是，第七次爬行距离原点是，从上面可以看出小虫离开原点最远是；（3）小虫爬行的总路程为：．（粒所以小虫一共得到54粒芝麻．考点6：有理数的减法【变式6】（2018秋•岳池县期末）数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如：如图①，若点，在数轴上分别对应的数为，，则的长度可以表示为．请你用以上知识解决问题：如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后向右移动5个单位长度到达点．（1）请你在图②的数轴上表示出，，三点的位置．（2）若点以每秒1个单位长度的速度向左移动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．①当时，求和的长度；②试探究：在移动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【解答】解：（1），，三点的位置如图所示：（2）①当时，点表示的数为，点表示的数为5，点表示的数为12，，．②的值不变．当移动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，即的值为定值12．在移动过程中，的值不变．考点7：有理数的加减混合运算【例题7】（2020秋•顺德区校级月考）计算：（1）．（2）．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【变式7-1】（2020秋•兰州期中）某仓库6天内粮食进、出库的吨数如下“”表示进库，“”表示出库），，，，，（1）经过这6天后，库里的粮食增多或减少了多少吨？（2）经过这6天后，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？【解答】（1）解：，答：经过这6天，库里的粮食减少了23吨．（2）解：，答：6天前库里存粮503吨．考点8：有理数的乘法【例题8】（2019秋•镇江期末）有理数、在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是A． B． C． D．【解答】解：由题意：，，，，，，，故选：．【变式8-1】（2018秋•嵊州市期末）已知、、为非零实数，请你探究以下问题：（1）当时，1；当时，．（2）若．那么的值为．【解答】解：（1）当时，；当时，．故答案为：1；．（2），、、均不为0，、、两正一负或两负一正．当、、两正一负时，，；当、、两负一正时，，故答案为：0．考点9：有理数的除法【例题9】（2019秋•大安市期末）阅读下面的解题过程：计算解：原式（第一步）（第二步）（第三步）回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是，第二处是第步，错误的原因是．（2）把正确的解题过程写出来．【解答】解：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错误，第二处是第三步，错误的原因是得数错误．（2）．故答案为：二、运算顺序错误；三、得数错误．【变式9-1】（2019秋•江都区月考）现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；②若两个数（非互为相反数，则它们相除的商等于；故原命题错误；③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数；故原命题错误；④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故原命题错误；⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．故选：．【变式9-2】（2018秋•无为县月考）阅读下列材料：计算：．解法一：原式．解法二：原式．解法三：原式的倒数．所以，原式．（1）上述得到的结果不同，你认为解法一是错误的；（2）请你选择合适的解法计算：．【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的；故答案为：一；（2）原式的倒数为：，则原式．考点10：有理数的乘方【例题10】（2019秋•遵化市期末）一根长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是A． B． C． D．【解答】解：第一次剪去绳子的，还剩；第二次剪去剩下绳子的，还剩，第100次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为；故选：．【变式10-1】（2017秋•绍兴期末）小明爸爸给小明出了一道题，说明他本月炒股的盈亏情况（单位：元）股票每股净赚（元股票招商银行500浙江医药1000晨光文具1500金龙汽车2000请你也来计算一下，小明爸爸本月投资炒股到底是赔了还是赚了？赔了或赚了多少元？【解答】解：（元答：赚了，赚了950元．考点11：有理数的混合运算【例题11】（2020春•上虞区期末）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为；（其中是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取．则：若，则第449次