建筑识图课件5

大家好大家好1熟练掌握点与直线的关系，直线与直线的关系。充分理解空间相互垂直的两直线的投影特征，熟练掌握并能灵活运用直角投影定理。上讲要点回顾:两直线有平行、相交、交叉三种情况交叉两直线可见性的判断(a)(b)(c)不垂直上讲要点回顾:两直线有平行、相交、交叉三种情况交叉两直线可见2

已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的V、H投影。（习题）复习题：f′e′a′aefd′dADscbcb′c′DB或DC的实长30°ADBC本题几解?有一解30°已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的V、31.已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的V、H投影。复习题：f′e′a′aef1′130°ADBC2.已知正方形ABCD，边BC属于EF，完成此正方形的V、H投影。3.已知长方形ABCD，边BC属于EF，且AB：BC=3：2，完成此长方形的V、H投影。4.已知菱形ABCD，另外一对角线BC属于EF，且AC=BD。完成此菱形的V、H投影。ADBCADBC32DABC1.已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的4复习题

已知点K至直线AB的距离为30mm，求作点K的水平投影k,以及距离KL的投影。分析因为AB是水平线，点L在AB上,由此可知垂线KL的Z坐标差，再由的KL实长已知,便可求出其水平投影长。投影作图步骤以ZA-ZK为直角边，30mm为斜边作直角三角形。作与ab相距为垂线段水平投影长的平行线（上述直角三角形的另一直角边长）。上述平行线和投影连线相交于k。k′b′baa′k30ll′kl′复习题已知点K至直线AB的距离为30mm，求作点K的水平投5当直线中有特殊位置直线(其中一条是垂直线或都是平行线、垂直线)时,应用直角投影定律,可以作出公垂线.dd′c′b′a′abcdee′Ⅱz–ⅠzScOcbaa(b)Xcd(e)eSCffbacd(a)bc(d)(e)(f)efSc两直线的公垂线(最短距离)当直线中有特殊位置直线(其中一条是垂直线或都是平行线、垂直线6bbcddcaaAFB(b2)CE(f2)c2H2e2Dd2a2当两直线都是一般位置直线时,用投影变换的方法,可以使公垂线的求解变得简单.两直线的公垂线(最短距离)dbc′c`a′b′ad′bacd(a)bc(d)(e)(f)efScbbcddcaaAFB(b2)CE(f2)c2H27直线的投影（五）专业级班姓名学号审核成绩3-19三角形ABC为一直角三角形，其中∠B=90°，边BC=25mm3-22已知等边三角形ABC一边BC属于EF，完成此三角形的3-21已知直线AB垂直于BC，BC=30mm，点C属于V面，求b′c′、bc。3-20已知点C到直线AB的距离为35mm，求c′。abb′a′acb′a′c′caba′b′adcba′c′XXXXXa′aefe′f′aba′b′XV、H面投影。且β=30°，试完成其两面投影。3-17已知对角线AC和点B的V面投影，试完成菱形ABCD的两投影。3-18矩形ABCD的对角线AC为水平线，试完成该矩形的V面投影。131bd′1′b′d′BC=2530°ccc′CDorDBADb′c′bcdd′βadBC=30c′c距离=35c′BC=30c′两解两解四解d直线的投影（五）专业级班姓8ee′复习题：已知对角线AC及B点的投影试完成矩形的ABCD两面投影。(与习题相似)a′c′acb′d′bd解题的关键点:求另一对角线BD的投影长(用直角三角形法);1.ac=AC=BD2.∣ZD-ZE︱=∣ZE-ZB∣3.求出ed或ebSCAE有两解be或deSCAE△ZBE△ZDE或△YDESCAEb′e′或d′e′△YBEee′复习题：已知对角线AC及B点的投影试完成矩形的AB9第五讲平面的投影

基本要求§4-1平面的表示法§4-2各种位置平面的投影特性§4-3属于平面的点和直线第五讲平面的投影基本要求10基本要求1掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法。2

熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法，能由已知平面的两个投影求作其第三投影。3熟练掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。熟练掌握平面内投影面平行线、投影面最大斜度线的投影特性。☆熟练掌握求平面对投影面倾角的作图方法。（最打斜度线法）☆基本要求1掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表11§4-1平面的表示法一、用几何元素表示平面二、平面的迹线表示法aabcbcbaacbcbaacbcabcabcdd用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。aabcbc§4-1平面的表示法一、用几何元素表示平面二、平面的迹线表12二、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPH1、平面迹线的定义

平面的迹线是平面与投影面的交线。平面P与H投影面的交线称作平面的水平迹线，用PH表示；平面P与V投影面的交线称作平面的正面迹线，用PV表示。（平面名称的大写字母加右下标注相应投影面名称）。PH、PV是平面P的两条直线，不是一直线的两投影。2、迹线的空间位置特点

平面迹线既属于平面，又属于投影面。3、迹线的投影特点

迹线的一个投影即其本身，其余投影在投影轴上。4、平面迹线的作图

先作出平面内任意两直线的迹点，再连接其同名迹点即平面的同面迹线，注意利用迹线共点。特殊位置平面用具有积聚性的迹线表示。

二、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPH1、平面迹线的定义13PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的迹线求法PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的迹线14作平面P（点K和直线AB）的正面迹线及水平迹线。PVPHk′b′baa′kPX注意:平面的正面迹线一定平行于平面上的正平线;平面的水平迹线一定平行于平面上的水平线。作平面P（点K和直线AB）的正面迹线及水平迹线。PVPHk′15§4-2各种平面对投影面的相对位置一、特殊位置平面1、投影面垂直面—垂直于一个投影面

(1)铅垂面⊥H(2)正垂面⊥V(3)侧垂面⊥W2、投影面平行面—垂直于两个投影面

(1)水平面∥H(2)正平面∥V(3)侧平面∥W二、一般位置平面平面对H面的倾角为α，对V为β，对W为γababbacccαababbacccabbbaaαβccccabbacbca实形abbbaccca实形cabbbaacc实形abbaccbac§4-2各种平面对投影面的相对位置一、特殊位置平面a16特殊位置平面小结投影面垂直面空间位置垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。投影特点在所垂直的投影面的投影积聚为一条倾斜于投影轴的直线，此具有积聚性的直线与相应的投影轴（该投影面反映的两投影轴）的夹角反映平面对其它两个投影面的倾角。另外两个投影与空间平面图形均为类似形（若为多边形，边数相等）。读图判断只要有一个投影积聚为倾斜于投影轴的直线，便可判断该平面垂直于积聚投影所在的投影面。投影面平行面空间位置平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投影面。或者说平面上所有的点到同一个投影面的距离均相等。投影特点在所平行的投影面的投影反映其实形，另两个投影积聚为平行于相应的投影轴的直线（所平行的投影面反映的那两个投影轴）。读图判断只要有一个投影积聚为平行于投影轴的直线，便可判断为投影面平行面。它一定平行于非直线投影所在的那个投影面。特殊位置平面小结投影面垂直面17特殊位置平面的迹线表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂面P正平面Q水平面R铅垂面S侧垂面U侧平面T特殊位置平面的迹线表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂18

三角形ABC为：例题1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚过Z轴的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚铅垂面判断题：指出正确答案。1.B点是Z轴上的点;2.AB是铅垂线!三角形ABC为：例题1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙19§4-3属于平面的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线四、属于平面的最大斜度线及一般位置平面对投影面的倾角

§4-3属于平面的点和直线20一、属于平面的点和直线

1几何条件⑴直线属于平面的几何条件（二者之一）

①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。⑵点属于平面的几何条件点在平面内的某一直线上。2投影作图或判断⑴在一般位置平面上取点和直线的作图或判断，实质上就是在平面内作辅助线的问题。⑵在特殊位置平面上取点和直线的作图或判断,实质上就是看点和直线的投影,是否在平面的积聚投影上。⑶利用在平面上取点和直线的作图，可解决以下三类问题:

①判别已知点、线是否属于已知平面；

②完成已知平面上的点和直线的投影；③完成平面的投影。(本讲难点之一)一、属于平面的点和直线1几何条件211.取属于一般位置平面的直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。ABCEDabcabcddeeFff1.取属于一般位置平面的直线取属于定平面的直线，要222.取属于一般位置平面的点

如要取属于平面的点，必须要取自属于该平面的已知直线ABCDEabcabcddee2.取属于一般位置平面的点如要取属于平面的点，必须23dd4433例题2：已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。abcabcee点D不属于平面,判断直线ⅠⅡ是否属于平面?2112直线ⅠⅡ属于平面dd4433例题2：已知ABC给定一平面，试判断点24例题3：已知点D在

ABC上，试求点D的水平投影。ddabcabcee例题3：已知点D在ABC上，试求点D的水平投影。d253d例题4：已知点E在

ABC上，试求点E的正面投影。edabcabce判断直线ⅠⅡ是否属于平面?21123直线ⅠⅡ不属于平面3d例题4：已知点E在ABC上，试求点E的正面投影263.取属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线abcabc关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上kk123123ggfeefnmmnEF属于ABCK属于ABCG不属于ⅠⅡⅢMN不属于ⅠⅡⅢ3.取属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线abcab27平面内的点和直线判断点和直线是否属于平面或在平面内取点和直线一般位置平面需作平面内的辅助线特殊位置平面不需作平面内的辅助线，只要确保点和直线的投影属于平面的同名积聚投影即可。平面内的点和直线小结:平面内的点和直线一般位置平面特殊位置平面平面内的点和直线小结28二、属于平面的投影面平行线

属于平面的投影面平行线是既在平面上又平行于投影面的直线。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。二、属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线是既29VHP属于平面的水平线和正平线PVPHPX同一个一般位置平面的水平线相互平行，均平行于该平面的水平迹线PH同一个一般位置平面的正平线相互平行，均平行于该平面的正面迹线PVVHP属于平面的水平线和正平线PVPHPX同一个一般位置平面30abcbac例题5：已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。mnnm注意同一平面的水平线和正平线是一对相交直线abcbac例题5：已知ABC给定一平面，试过点C31

例题6：已知点E

在△ABC平面上，且点E在B点的前方15、B点的下方10，试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrsee1015ee例题6：已知点E在△ABC平面上，且点E在B点的前方1532

例题6：已知点E

在△ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee例题6：已知点E在△ABC平面上，且点E距离H面15，距33三角形ABC为：例题7：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚过X轴的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚侧垂面判断题：指出正确答案。a′b′abc′cOX三角形ABC为：例题7：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚过34aabbcc

不补画W投影，只利用V、H投影区分一般位置平面与侧垂面。abcabc一般位置平面侧垂面侧垂面cabcab平面中存在一条侧垂线aabbcc不补画W投影，只利用V、H投影351、定义属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线。平面上的最大斜度线有三组，即分别对水平投影面的最大斜度线、对正立投影面的最大斜度线及对侧立投影面的最大斜度线。2、特性

（1）平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上同名投影面的平行线相互垂直。对H面的最大斜度线的H投影⊥平面水平线的H投影；对V面的最大斜度线的V投影⊥平面正平线的V投影；对W面的最大斜度线的W投影⊥平面侧平线的W投影。（2）属于平面的最大斜度线是平面上对某个投影面倾角最大的直线。3、几何意义属于平面的最大斜度线与投影面的倾角反映该平面对同一投影面的倾角。对H面的最大斜度线的α等于平面的α；对V面的最大斜度线的β等于平面的β。三、属于平面的最大斜度线1、定义属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称36VHWPBA（1）平面上对水平投影面的最大斜度线EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABEFVHWPBA（1）平面上对水平投影面的最大斜度线EFAB37VHW（2）平面上对正立投影面的最大斜度线CD

AB平行于V，CD垂直于

ABPCDBAVHW（2）平面上对正立投影面的最大斜度线CDAB平行38VHW（3）平面上对侧立投影面的最大斜度线MN

AB平行于W，MN垂直于ABPBAMNVHW（3）平面上对侧立投影面的最大斜度线MN39H属于平面且对投影面所成倾角为最大的直线称为平面的最大斜度线；平面对某投影面的最大斜度线垂直于该平面的同面迹线或同面的投影面平行线。最大斜度线的几何意义:用来测定平面对投影面的角度PCDaE1

S过点A作最大斜度线以外的属于平面P的任意直线AS。它对H面的角度为。证明＜。因AE⊥CD，且SE∥CD，故AE⊥SE。根据直角投影定理，aE⊥SE则aS(斜边)

＞aE(直角边)，两个直角△ASa和AEa，有相等的直角边Aa，而另一对直角边aS＞aE，故相应的锐角＜AEPHH属于平面且对投影面所成倾角为最大的直线称为平面的40例题8：求作

ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。ddeeabcabc作图步骤作平面上的水平线过平面上任意点作与平面上水平线垂直相交的直线例题8：求作ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。d41abacbcα

例题9：求

ABC平面与水平投影面的夹角α

。作平面的水平线作平面对H面的最大斜度线求对H面最大斜度线的αabacbcα例题9：求ABC平面与水平投影面42abacbc

例题10：求

ABC平面与正面投影面的夹角β。作平面的正平线作平面对V面的最大斜度线求对V面最大斜度线的ββabacbc例题10：求ABC平面与正面投影面的43例题11：过正平线作平面与正立投影面的夹角成30°。effe30°a′ba△YAB△YAB△YAB向右侧作也可以，但还是上述两平面bb与习题3-19相似!例题11：过正平线作平面与正立投影面的夹角成30°。ef44β例题12：

已知直线EF为某平面对H的最大斜度线，试作出该平面。ffeeaa并且求出该平面的β=?β例题12：已知直线EF为某平面对H的最大斜度线，试作出45c′例题13：已知△ABC对H面的最大斜度线AD和BC边的H投影，完成△ABC的V、H投影。a′d′badcb′c′例题13：已知△ABC对H面的最大斜度线AD和BC边的46例题14：

已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′e例题14：已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平47例题14：已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′ef′f（另一种方法）如果图形没有特殊形状,创造出一个特殊形状来方便解题.通常是用平行线的投影特性来创造特殊图形.例题14：已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平4811′d1例题15:已知平面ABCD的正投影如图,其中BC的α=β,AC是正平线,完成平面ABCD的水平投影.a′b′ac′Xd′cb2b1d2b″βαOc″b″11′d1例题15:已知平面ABCD的正投影如图,其中BC的49例题16：已知平面ABCD的一边CD=45mm，完成其H面的投影。a′b′c′d′ab分析：这是一个共面问题。解决这种问题的实质是根据平面的表达方法确定一个平面。这里AB和CD显然很难确定交点，因此可以根据两平行线确定平面的办法来解决(实际上是创造出特殊形状)。作图:根据直角三角形法，可以求得CD直线的△Y值。再创造出包含CD的特殊图形,根据平行线的投影性质，即可完成该平面图形。cd45d01′1例题16：已知平面ABCD的一边CD=45mm，完成其H面的5021例题16(改)：已知平面ABCD的一边CD=45mm，完成其H面的投影。a′b′c′d′ab分析：这是一个共面问题。解决这种问题的实质是根据平面的表达方法确定一个平面。这里AB和CD显然很难确定交点，因此可以根据两平行线确定平面的办法来解决(实际上是创造出特殊形状)。作图:根据直角三角形法，可以求得CD直线的△Y值。再创造出包含CD的特殊图形,根据平行线的投影性质，即可完成该平面图形。cd451′2′21例题16(改)：已知平面ABCD的一边CD=45mm，完51ddabba△△△△c

例题17：以水平线AB为边作正三角形与水平投影面H的夹角成30°。1.以ab=AB为边作正三角形c′30°与习题4-13相似!2.高CD是正三角形的最大斜度线高的实长有四解cd△ZCDddabba△△△△c例题152

cdabba△△△△c

例题18：以水平线AB为边作正三角形与水平投影面H的夹角成30°。1.以ab为边作正三角形c′30°45°高的实长45°ddc′

△ZDCc改在45°的情况下,有△ZDC=cd此题还可改为60°2.高CD是正三角形的最大斜度线有四解以水平线AB为边作正方形与水平投影面H的夹角成30°以水平线AB为边作长方形ABCD且它与水平投影面H的夹角成30°,AB:BC=3:2。以水平线AB为对角线作菱形ABCD,它与水平投影面H的夹角成30°且AC=BD。cdabba△△△△c例题18：53c30°a′abc′例题18:含AB作平面，使其β=30°分析：要使所作平面上的正平线与其对V面的最大斜度线是一对垂直相交的直线（运用直角投影定律）。投影作图步骤

以直角边YB-

YA(实际上是最大斜度线BC的Y坐标差)、β=30°作直角三角形，获得对V面的最大斜度线(BC)的V投影长。以b′为圆心，上述投影长为半径画圆。过a′向此圆作切线(与半径构成直角），获切点C的V、H投影。连接AC、BC，完成作图。b′设定正平线AC的水平投影位置最大斜度线BC的△Y最大斜度线BC的b′c′难题!c30°a′abc′例题18:含AB作平面，使其β=3054本讲重、难点熟练掌握平面的空间七种位置及其投影特征。充分理解平面的迹线概念，了解平面的迹线作法。熟练掌握平面上的各种直线的概念、求法。有关最大斜度线的问题为本讲的难点。熟练掌握平面上取点水平面、正平面、侧平面，铅垂面、正垂面、侧垂面、一般面PV、PH分别是平面上的两条特殊线，求迹线的方法同求迹点平面上作正平线、水平线，平面上作最大斜度线的方法，以最大斜度线求平面倾角的方法，如何完成各种平面的投影是有关最大斜度线的灵活应用本讲重、难点熟练掌握平面的空间七种位置及其投影特征。水平面、55习题﹕预习：1.直线与平面平行2.平面与平面平行3.直线与平面相交（特殊情况和一般情况☆）4.平面与平面相交（特殊情况和一般情况☆）P14:4-1,4-2(6选2),4-2P15:4-4,4-6,4-8,4-5or4-7P16:4-9,4-10(其一),4-11☆,4-12☆,4-13☆习题﹕预习：1.直线与平面平行P14:4-1,4-2(6选256本讲结束本讲结束57

例题19：

以AB为边长作正三角形，使其与V面成30°角。本题有几解？a′b′abd30°c′d′cc′d′有四解例题19：以AB为边长作正三角形，使其与V面成30°角58建筑识图课件559建筑识图课件560建筑识图课件561大家好大家好62熟练掌握点与直线的关系，直线与直线的关系。充分理解空间相互垂直的两直线的投影特征，熟练掌握并能灵活运用直角投影定理。上讲要点回顾:两直线有平行、相交、交叉三种情况交叉两直线可见性的判断(a)(b)(c)不垂直上讲要点回顾:两直线有平行、相交、交叉三种情况交叉两直线可见63

已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的V、H投影。（习题）复习题：f′e′a′aefd′dADscbcb′c′DB或DC的实长30°ADBC本题几解?有一解30°已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的V、641.已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的V、H投影。复习题：f′e′a′aef1′130°ADBC2.已知正方形ABCD，边BC属于EF，完成此正方形的V、H投影。3.已知长方形ABCD，边BC属于EF，且AB：BC=3：2，完成此长方形的V、H投影。4.已知菱形ABCD，另外一对角线BC属于EF，且AC=BD。完成此菱形的V、H投影。ADBCADBC32DABC1.已知等边三角形ABC，边BC属于EF，完成此三角形的65复习题

已知点K至直线AB的距离为30mm，求作点K的水平投影k,以及距离KL的投影。分析因为AB是水平线，点L在AB上,由此可知垂线KL的Z坐标差，再由的KL实长已知,便可求出其水平投影长。投影作图步骤以ZA-ZK为直角边，30mm为斜边作直角三角形。作与ab相距为垂线段水平投影长的平行线（上述直角三角形的另一直角边长）。上述平行线和投影连线相交于k。k′b′baa′k30ll′kl′复习题已知点K至直线AB的距离为30mm，求作点K的水平投66当直线中有特殊位置直线(其中一条是垂直线或都是平行线、垂直线)时,应用直角投影定律,可以作出公垂线.dd′c′b′a′abcdee′Ⅱz–ⅠzScOcbaa(b)Xcd(e)eSCffbacd(a)bc(d)(e)(f)efSc两直线的公垂线(最短距离)当直线中有特殊位置直线(其中一条是垂直线或都是平行线、垂直线67bbcddcaaAFB(b2)CE(f2)c2H2e2Dd2a2当两直线都是一般位置直线时,用投影变换的方法,可以使公垂线的求解变得简单.两直线的公垂线(最短距离)dbc′c`a′b′ad′bacd(a)bc(d)(e)(f)efScbbcddcaaAFB(b2)CE(f2)c2H268直线的投影（五）专业级班姓名学号审核成绩3-19三角形ABC为一直角三角形，其中∠B=90°，边BC=25mm3-22已知等边三角形ABC一边BC属于EF，完成此三角形的3-21已知直线AB垂直于BC，BC=30mm，点C属于V面，求b′c′、bc。3-20已知点C到直线AB的距离为35mm，求c′。abb′a′acb′a′c′caba′b′adcba′c′XXXXXa′aefe′f′aba′b′XV、H面投影。且β=30°，试完成其两面投影。3-17已知对角线AC和点B的V面投影，试完成菱形ABCD的两投影。3-18矩形ABCD的对角线AC为水平线，试完成该矩形的V面投影。131bd′1′b′d′BC=2530°ccc′CDorDBADb′c′bcdd′βadBC=30c′c距离=35c′BC=30c′两解两解四解d直线的投影（五）专业级班姓69ee′复习题：已知对角线AC及B点的投影试完成矩形的ABCD两面投影。(与习题相似)a′c′acb′d′bd解题的关键点:求另一对角线BD的投影长(用直角三角形法);1.ac=AC=BD2.∣ZD-ZE︱=∣ZE-ZB∣3.求出ed或ebSCAE有两解be或deSCAE△ZBE△ZDE或△YDESCAEb′e′或d′e′△YBEee′复习题：已知对角线AC及B点的投影试完成矩形的AB70第五讲平面的投影

基本要求§4-1平面的表示法§4-2各种位置平面的投影特性§4-3属于平面的点和直线第五讲平面的投影基本要求71基本要求1掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法。2

熟练掌握各种位置平面的投影特性及作图方法，能由已知平面的两个投影求作其第三投影。3熟练掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法。熟练掌握平面内投影面平行线、投影面最大斜度线的投影特性。☆熟练掌握求平面对投影面倾角的作图方法。（最打斜度线法）☆基本要求1掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表72§4-1平面的表示法一、用几何元素表示平面二、平面的迹线表示法aabcbcbaacbcbaacbcabcabcdd用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。aabcbc§4-1平面的表示法一、用几何元素表示平面二、平面的迹线表73二、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPH1、平面迹线的定义

平面的迹线是平面与投影面的交线。平面P与H投影面的交线称作平面的水平迹线，用PH表示；平面P与V投影面的交线称作平面的正面迹线，用PV表示。（平面名称的大写字母加右下标注相应投影面名称）。PH、PV是平面P的两条直线，不是一直线的两投影。2、迹线的空间位置特点

平面迹线既属于平面，又属于投影面。3、迹线的投影特点

迹线的一个投影即其本身，其余投影在投影轴上。4、平面迹线的作图

先作出平面内任意两直线的迹点，再连接其同名迹点即平面的同面迹线，注意利用迹线共点。特殊位置平面用具有积聚性的迹线表示。

二、平面的迹线表示法VHPPVPHPVPH1、平面迹线的定义74PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的迹线求法PVPHa′ab′bc′cm1m2n1n2一般位置平面的迹线75作平面P（点K和直线AB）的正面迹线及水平迹线。PVPHk′b′baa′kPX注意:平面的正面迹线一定平行于平面上的正平线;平面的水平迹线一定平行于平面上的水平线。作平面P（点K和直线AB）的正面迹线及水平迹线。PVPHk′76§4-2各种平面对投影面的相对位置一、特殊位置平面1、投影面垂直面—垂直于一个投影面

(1)铅垂面⊥H(2)正垂面⊥V(3)侧垂面⊥W2、投影面平行面—垂直于两个投影面

(1)水平面∥H(2)正平面∥V(3)侧平面∥W二、一般位置平面平面对H面的倾角为α，对V为β，对W为γababbacccαababbacccabbbaaαβccccabbacbca实形abbbaccca实形cabbbaacc实形abbaccbac§4-2各种平面对投影面的相对位置一、特殊位置平面a77特殊位置平面小结投影面垂直面空间位置垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面。投影特点在所垂直的投影面的投影积聚为一条倾斜于投影轴的直线，此具有积聚性的直线与相应的投影轴（该投影面反映的两投影轴）的夹角反映平面对其它两个投影面的倾角。另外两个投影与空间平面图形均为类似形（若为多边形，边数相等）。读图判断只要有一个投影积聚为倾斜于投影轴的直线，便可判断该平面垂直于积聚投影所在的投影面。投影面平行面空间位置平行于一个投影面，同时垂直于另外两个投影面。或者说平面上所有的点到同一个投影面的距离均相等。投影特点在所平行的投影面的投影反映其实形，另两个投影积聚为平行于相应的投影轴的直线（所平行的投影面反映的那两个投影轴）。读图判断只要有一个投影积聚为平行于投影轴的直线，便可判断为投影面平行面。它一定平行于非直线投影所在的那个投影面。特殊位置平面小结投影面垂直面78特殊位置平面的迹线表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂面P正平面Q水平面R铅垂面S侧垂面U侧平面T特殊位置平面的迹线表示法UHUVPVQHRVSHTVTH正垂79

三角形ABC为：例题1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚过Z轴的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚铅垂面判断题：指出正确答案。1.B点是Z轴上的点;2.AB是铅垂线!三角形ABC为：例题1：a′b′a〞b〞c′c〞﹙80§4-3属于平面的点和直线一、属于一般位置平面的点和直线二、属于特殊位置平面的点和直线三、属于平面的投影面平行线四、属于平面的最大斜度线及一般位置平面对投影面的倾角

§4-3属于平面的点和直线81一、属于平面的点和直线

1几何条件⑴直线属于平面的几何条件（二者之一）

①通过平面上的两点；②通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。⑵点属于平面的几何条件点在平面内的某一直线上。2投影作图或判断⑴在一般位置平面上取点和直线的作图或判断，实质上就是在平面内作辅助线的问题。⑵在特殊位置平面上取点和直线的作图或判断,实质上就是看点和直线的投影,是否在平面的积聚投影上。⑶利用在平面上取点和直线的作图，可解决以下三类问题:

①判别已知点、线是否属于已知平面；

②完成已知平面上的点和直线的投影；③完成平面的投影。(本讲难点之一)一、属于平面的点和直线1几何条件821.取属于一般位置平面的直线

取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。ABCEDabcabcddeeFff1.取属于一般位置平面的直线取属于定平面的直线，要832.取属于一般位置平面的点

如要取属于平面的点，必须要取自属于该平面的已知直线ABCDEabcabcddee2.取属于一般位置平面的点如要取属于平面的点，必须84dd4433例题2：已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。abcabcee点D不属于平面,判断直线ⅠⅡ是否属于平面?2112直线ⅠⅡ属于平面dd4433例题2：已知ABC给定一平面，试判断点85例题3：已知点D在

ABC上，试求点D的水平投影。ddabcabcee例题3：已知点D在ABC上，试求点D的水平投影。d863d例题4：已知点E在

ABC上，试求点E的正面投影。edabcabce判断直线ⅠⅡ是否属于平面?21123直线ⅠⅡ不属于平面3d例题4：已知点E在ABC上，试求点E的正面投影873.取属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线abcabc关键是看点和直线的投影是否在平面的积聚投影上kk123123ggfeefnmmnEF属于ABCK属于ABCG不属于ⅠⅡⅢMN不属于ⅠⅡⅢ3.取属于垂直面（几何元素表示法）的点和直线abcab88平面内的点和直线判断点和直线是否属于平面或在平面内取点和直线一般位置平面需作平面内的辅助线特殊位置平面不需作平面内的辅助线，只要确保点和直线的投影属于平面的同名积聚投影即可。平面内的点和直线小结:平面内的点和直线一般位置平面特殊位置平面平面内的点和直线小结89二、属于平面的投影面平行线

属于平面的投影面平行线是既在平面上又平行于投影面的直线。在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关系。二、属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线是既90VHP属于平面的水平线和正平线PVPHPX同一个一般位置平面的水平线相互平行，均平行于该平面的水平迹线PH同一个一般位置平面的正平线相互平行，均平行于该平面的正面迹线PVVHP属于平面的水平线和正平线PVPHPX同一个一般位置平面91abcbac例题5：已知

ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。mnnm注意同一平面的水平线和正平线是一对相交直线abcbac例题5：已知ABC给定一平面，试过点C92

例题6：已知点E

在△ABC平面上，且点E在B点的前方15、B点的下方10，试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrsee1015ee例题6：已知点E在△ABC平面上，且点E在B点的前方1593

例题6：已知点E

在△ABC平面上，且点E距离H面15，距离V面10，试求点E的投影。Xabcbacmnmnrsrs1015ee例题6：已知点E在△ABC平面上，且点E距离H面15，距94三角形ABC为：例题7：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚过X轴的平面﹙3﹚正平面﹙4﹚侧垂面判断题：指出正确答案。a′b′abc′cOX三角形ABC为：例题7：﹙1﹚一般位置平面﹙2﹚过95aabbcc

不补画W投影，只利用V、H投影区分一般位置平面与侧垂面。abcabc一般位置平面侧垂面侧垂面cabcab平面中存在一条侧垂线aabbcc不补画W投影，只利用V、H投影961、定义属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称为该平面的最大斜度线。平面上的最大斜度线有三组，即分别对水平投影面的最大斜度线、对正立投影面的最大斜度线及对侧立投影面的最大斜度线。2、特性

（1）平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上同名投影面的平行线相互垂直。对H面的最大斜度线的H投影⊥平面水平线的H投影；对V面的最大斜度线的V投影⊥平面正平线的V投影；对W面的最大斜度线的W投影⊥平面侧平线的W投影。（2）属于平面的最大斜度线是平面上对某个投影面倾角最大的直线。3、几何意义属于平面的最大斜度线与投影面的倾角反映该平面对同一投影面的倾角。对H面的最大斜度线的α等于平面的α；对V面的最大斜度线的β等于平面的β。三、属于平面的最大斜度线1、定义属于定平面并垂直于该平面的投影面平行线的直线，称97VHWPBA（1）平面上对水平投影面的最大斜度线EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABEFVHWPBA（1）平面上对水平投影面的最大斜度线EFAB98VHW（2）平面上对正立投影面的最大斜度线CD

AB平行于V，CD垂直于

ABPCDBAVHW（2）平面上对正立投影面的最大斜度线CDAB平行99VHW（3）平面上对侧立投影面的最大斜度线MN

AB平行于W，MN垂直于ABPBAMNVHW（3）平面上对侧立投影面的最大斜度线MN100H属于平面且对投影面所成倾角为最大的直线称为平面的最大斜度线；平面对某投影面的最大斜度线垂直于该平面的同面迹线或同面的投影面平行线。最大斜度线的几何意义:用来测定平面对投影面的角度PCDaE1

S过点A作最大斜度线以外的属于平面P的任意直线AS。它对H面的角度为。证明＜。因AE⊥CD，且SE∥CD，故AE⊥SE。根据直角投影定理，aE⊥SE则aS(斜边)

＞aE(直角边)，两个直角△ASa和AEa，有相等的直角边Aa，而另一对直角边aS＞aE，故相应的锐角＜AEPHH属于平面且对投影面所成倾角为最大的直线称为平面的101例题8：求作

ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。ddeeabcabc作图步骤作平面上的水平线过平面上任意点作与平面上水平线垂直相交的直线例题8：求作ABC平面上对水平面的最大斜度线BE。d102abacbcα

例题9：求

ABC平面与水平投影面的夹角α

。作平面的水平线作平面对H面的最大斜度线求对H面最大斜度线的αabacbcα例题9：求ABC平面与水平投影面103abacbc

例题10：求

ABC平面与正面投影面的夹角β。作平面的正平线作平面对V面的最大斜度线求对V面最大斜度线的ββabacbc例题10：求ABC平面与正面投影面的104例题11：过正平线作平面与正立投影面的夹角成30°。effe30°a′ba△YAB△YAB△YAB向右侧作也可以，但还是上述两平面bb与习题3-19相似!例题11：过正平线作平面与正立投影面的夹角成30°。ef105β例题12：

已知直线EF为某平面对H的最大斜度线，试作出该平面。ffeeaa并且求出该平面的β=?β例题12：已知直线EF为某平面对H的最大斜度线，试作出106c′例题13：已知△ABC对H面的最大斜度线AD和BC边的H投影，完成△ABC的V、H投影。a′d′badcb′c′例题13：已知△ABC对H面的最大斜度线AD和BC边的107例题14：

已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′e例题14：已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平108例题14：已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平投影。

a′b′ac′dOXd′cbe′ef′f（另一种方法）如果图形没有特殊形状,创造出一个特殊形状来方便解题.通常是用平行线的投影特性来创造特殊图形.例题14：已知BC为正平线，完成平面四边形ABCD的水平10911′